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高一下学期期中考试复习资料——数学


一.选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.已知集合 A ? x x?3 ? x ? ? 0 , B ? x x ? 0 ,则 A ? B 等于( A. 0 B. 0 ? x ? 3 C. ?0? D. )

?

?

?

?

?x 0 ? x ? 3?

)

2.函数 y ? cos( ? x) 的一个单调递增区间为(

?

2 ? ? ?? ? ? 3? ? A. ? ? , ? B. ? 0, ? ? C. ? , D. ? ? , 2? ? ? ? 2 2? ?2 2 ? 3.若 a ? b ? 1, 则恒有( ) 1 1 1 2 2 A. ab ? B. ab ? C. D. a ? b ? 1 ?4 4 4 ab 1 4.在等差数列 ?a n ?中, a8 ? a11 ? 6 ,则数列 ?a n ?的前 9 项和 S 9 等于( ) 2 A. 24 B. 48 C. 72 D. 108 5.在 ?ABC 中, A, B 是三角形的内角,且 A ? 90? ,若 AB ? (2,?1), AC ? (sin B, 3 ) ,则角 B 等于( ) A. 30? B. 60? C. 60? 或 120 ? D. 30? 或 150 ? n ?1 6.已知等比数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? 2 ? t , 则常数 t 的取值是( ) A. 2 B. ? 2 C. 1 D. ? 1 7.已知数列 ?a n ? 中, a1 ? 1 , an ?1 ? a n ? 2n ? 1 ,则通项 a n 等于( )
A. a n ? ?

n ?1 ? 1, 2 ?n ? 2n ? 1, n ? 2
B.

B. a n ? 2n ? 1
2

C. a n ? 2n ? 1

D. a n ? n )

2

8.在 200m 高的山顶上,测得山下一塔的塔顶和塔底的俯角分别为 30o 和 60o,则塔高为 ( A.

400 m 3

400 3 m 3

C.

200 3 m 3

D. )

9.若 ? 是第三象限的角,且 tan? ? 2 ,则 sin(? ? A. ?

?

200 m 3

4

)?(

10 10 3 10 3 10 B. C. ? D. 10 10 10 10 10.设函数 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ? x ? 单调递减,若数列 ? an ? 是等差数列,且 a3 ? 0 ,则

f ? a1 ? ? f ? a2 ? ? f ? a3 ? ? f ? a4 ? ? f ? a5 ? 的值(
A.恒为正数 B.恒为负数 C.恒为 0 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11.设 x ? 1,则 x ?

) D.可正可负

2 的最小值是_________. x ?1 12.在 R 上定义运算@/: x @/ y ? xy ? 2 x ? y ,则满足 a @/ ?a ? 2 ? ? 0 的 a 的解集是 ____. 13.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格,即根据商品的最低销售限价 a ,最高销售限价 b ?b ? a ? 以及常数 x ( 0 ? x ? 1 )确定实际销售价格 c ? a ? x?b ? a ? ,这里, x 被称为乐观系数. 经验表明,最佳乐观系数 x 恰好使得 ?c ? a ? 是 ?b ? c ? 和 ?b ? a ? 的等比中项,据此可得,最佳乐 观系数 x 的值等于______________.
14.已知等差数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n , S 4 ? 10, S 5 ? 15 ,则 a 5 的最大值是____________. 三.解答题(15,16 小题各 12 分,17,18,19,20 小题各 14 分,共 80 分.) 15.在△ ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 a ? 2 , c ? 3 , cos B ? 1) 求 b 的值;
2

1 . 4

2) 求 sin C 的值.

16. 已知 f ?x ? ? x ? ax ? 6a ,其中 a 是常数. 1)若 f ?x ? ? 0 的解集是 x ? 3 ? x ? 6 ,求 a 的值,并解不等式

?

?

f ?x ? ? 0. x?a

2)若不等式 f ?x ? ? 0 有解,且解区间长度不超过 5 个长度单位,求 a 的取值范围. 17.已知正项等差数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ,若 S 3 ? 12 ,且 2a1 , a 2 , a3 ? 1 成等比数列. 1)求 ?a n ?的通项公式 a n 和 S n ; 2)记 bn ?

an 的前 n 项和 Tn ,求 Tn . 2n

? x ?1 ? 1 18.设 x, y 满足约束条件: ? y ? x 的可行域为 M 2 ? ?2 x ? y ? 10 1)在所给的坐标系中画出可行域 M (用阴影表示,并注明边界的交点或直线); 2 2 2)求 A ? y ? 2 x 的最大值与 B ? x ? y 的最小值; ?x ?? ?x ?? 3)若存在正实数 a ,使函数 y ? 2a sin? ? ? cos? ? ? 的图象经过区域 M 中的点, ?2 4? ?2 4? 求这时 a 的取值范围.
19.某企业投资 1 千万元于一个高科技项目,每年可获利 25%.由于企业间竞争激烈,每年底需要从利 润中取出资金 100 万元进行科研、技术改造与广告投入,方能保持原有的利润增长率.设经过 n 年 后该项目的资金为 a n 万元. 1)写出数列 ?a n ?的前三项 a1 , a 2 , a3 ,并猜想写出通项 a n . 2)求经过多少年后,该项目的资金可以达到或超过 2 千万元. 20.已知数列 ?a n ?, ?bn ?满足: a1 ?

bn 1 , a n ? bn ? 1, bn ?1 ? 2 4 1 ? an
? 1 ? ? 是等差数列,并求数列 ?bn ?的通项公式; ? bn ? 1 ?

1)求 b1 , b2 , b3 的值; 2)求证数列 ?

3)设 S n ? a1 a 2 ? a 2 a3 ? ? ? a n a n?1 , 若 4aSn ? bn 恒成立,求实数 a 的取值范围.

参考答案
一、选择题(共 10 小题,每题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 C 2 A 3 B 4 D 5 B 6 B 7 D 8 A 9 C 10 A

二、填空题(共 4 小题,每题 5 分,共 20 分) 11. 1 ? 2 2 12.

?x ? 2 ? x ? 1?
2 2 2

13.

?1? 5 2

14. 5

三、解答题(15,16 小题各 12 分,17,18,19,20 小题各 14 分,共 80 分.) 15.解: (I)由余弦定理, b ? a ? c ? 2ac cos B ,………………………………………2 分 得 b ? 2 ? 3 ? 2 ? 2 ? 3?
2 2 2

1 ? 10 ,…………………………………………………4 分 4
a 2 ? b2 ? c2 ,………………………………8 分 2ab
4 ? 10 ? 9 10 ? ,………………………10 分 8 2 ? 2 ? 10
2

? b ? 10 .……………………………………………………………………………6 分
(II)方法 1:由余弦定理,得 cos C ?

?
∵ C 是 ?ABC 的内角,

∴ sin C ? 1 ? cos C ?

3 6 .………………………12 分 8

15 1 2 ,且 B 是 ?ABC 的内角,∴ sin B ? 1 ? cos B ? .……8 分 4 4 b c 根据正弦定理, ,……………………………………………………10 分 ? sin B sin C
方法 2:∵ cos B ? 得 sin C ?

c sin B ? b

3?

15 4 ? 3 6 . ……………………………………12 分 8 10

2 16.解:1) ∵ f ?x ? ? x ? ax ? 6a ? 0 的解集是 x ? 3 ? x ? 6

?

?

∴ x ? ax ? 6a ? 0 的两根是 x1 ? ?3, x2 ? 6
2

∴ x1 ? x2 ? a ? ?3 ? 6, x1 ? x2 ? ?6a ? ?3 ? 6 ∴不等式

∴a ? 3

f ?x ? x 2 ? 3x ? 18 ? ?0 x?a x?3

x 2 ? 3x ? 18 ?x ? 6?( x ? 3) ? ?0 x?3 x?3

∴不

等式

2 2)设 f ?x ? ? x ? ax ? 6a ? 0 的解集是 x x1 ? x ? x 2

?

f ?x ? ? 0 的解集是 x ? 3 ? x ? 3或x ? 6 x?a

?

?

?

依题意

? ? ? ?? a ?2 ? 24 a ? 0 ? ? x1 ? x 2 ? a, x1 ? x 2 ? ?6a ? x2 ? x1 ? 5 ?
∴由 a ? 24a ? 0 得 a ? 0 或 a ? ?24
2

由 x 2 ? x1 ? 5 得 ?x1 ? x 2 ? ? 4 x1 x 2 ? 25
2

∴ a ? 24 a ? 25 ? 0
2

? 25 ? a ? 1 ∴ ? 25 ? a ? ?24 或 0 ? a ? 1 ∴所求 a 的取值范围是 ?? 25,?24 ? ? ?0,1?
⒘解:1) ∵数列 ?a n ?是等差数列 ∴ S 3 ? a1 ? a 2 ? a3 ? 3a2 ? 12 ∴ a 2 ? 4 ? a1 ? d
2

∵ 2a1 , a 2 , a3 ? 1 成等比数列 ∴ a 2 ? 2a1 (a3 ? 1)

∴ 16 ? 2a1 (a1 ? 2d ? 1)

?16 ? 2a1 (a1 ? 2d ? 1) ? a1 ? d ? 4 ?

解得 ?

?a1 ? 1 ? a1 ? 8 或? ? d ? 3 ? d ? ?4
∴?

?a ?8 ? an ? 0 ∴ ? 1 不合要求舍去. ? d ? ?4

?a1 ? 1 检验满足要求. ?d ? 3

n(n ? 1) 3 n d ? n2 ? 2 2 2 a 3n ? 2 1 4 7 3n ? 2 2) ∵ bn ? n ? ∴ Tn ? ? 2 ? 3 ? ?? ? n n 2 2 2 2 2 2n 1 1 4 7 3n ? 5 3n ? 2 1 1 1 1 1 1 3n ? 2 ∴ Tn ? ? 3 ? 4 ??? ? n?1 ∴ Tn ? ? 3( 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ) ? n?1 2 n 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
∴ a n ? a1 ? (n ? 1)d ? 3n ? 2, S n ? na1 ?

1 1 1 ? ? 1 2 2 2 2 n ? 3n ? 2 ? 1 ? 6 ? ? 1 ? 1 ? ? 3n ? 2 ? ? 3? ? n ?1 ? n ?1 1 2 2 2 n?1 ?4 2 ? 2 1? 2 3n ? 4 ∴ Tn ? 4 ? 2n
18.解:1)阴影部分如图

? x ?1 ? x ?1 1 ? 1 ,得 ? 由? ? y ? 1 ∴ A(1, ) y? x 2 ? ? 2 2 ? ? ? x ?1 ?x ?1 由? ,得 ? ∴ B(1,8) ?2 x ? y ? 10 ?y ? 8
由?

?2 x ? y ? 10 ?x ? 4 ? ,得 ? 1 ?y ? 2 ? y? 2x ? 可行域 M 为如图 ?ABC 1 2)∵ k AC ? 2
又∵ A ? y ? 2 x

∴ c(4,2)

∴ y ? 2 x ? A, A 是 y 轴的截距, k ? 2 ? k AC ?

1 2

∴过点 B(1,8) 时, A最大 ? 8 ? 2 ? 1 ? 6 ∵ B ? x ? y 是表示区域 M 上的点 ( x, y ) 到原点 O (0,0) 距离的平方.
2 2

如图 A(1, ) 使所求距离的平方最小,∴ B最小 ? 1 ? ? ? ?
2

1 2

?1? ?2?

2

5 . 4

3)∵ a ? 0

x ? x ? ? y ? 2a sin( ? ) cos( ? ) ? a sin(x ? ) ? a cos x 2 4 2 4 2 过区域 M 中的点,而区域中 1 ? x ? 4
又∵ a ? 0 ,函数 y ? a cos x 图象过点 ( 当 x ??

?
2

,0),1 ?

?
2

? 4,

3? ? ? 3? ? , ? 时, y ? 0, ?4 2 ?2 2 ?
1 ) 有公共点. 2

∴满足 y ? a cos x 过区域 M 中的点,只须图象与射线 x ? 1, ( y ? ∴只须 x ? 1时, a cos1 ?

1 1 ?a ? 2 2 cos1 ? 1 ? ,?? ? . ∴所求 a 的取值范围是 a ? ? ? 2 cos1 ?
2

19.解:1)依题意

5 5 ?5? ? 5? a1 ? 10 ? ? 100 , a 2 ? a1 ? ? 100 ? 10 3 ? ? ? ? 1 0 0 ?1 ? ? ? 4 4 ?4? ? 4?
3

3 ? 5 ? 5 ?2 ? 5 ?5? 3 a3 ? a2 ? ? 100 ? 10 ? ? ? ? 100 ? ?1 ? ? ? ? ? 4 ? 4? ? 4 ? 4? ? ? ?

猜想 a n ? 10 3 ? ? ? ? 100 ? ?1 ?

?5? ?4?

n

? ? ?

5 ?5? ?5? ? ? ? ??? ? ? 4 ?4? ?4?
n

2

n ?1

? ? ? ?

?5? 1? ? ? n n ?5? ? 4 ? ? 600 ? ? 5 ? ? 400 3 ? 10 ? ? ? ? 100 ? ? ? 5 ?4? ?4? 1? 4
2)由 a n ? 2000 ,得 600 ? ? ? ? 400 ? 2000 ∵ y ? ? ? 在 ?? ?,?? ? 上单调递增,
x

?5? ?4?

n

∴? ? ?
4

?5? ?4?

n

8 3
5

8 ?5? 8 ?5? ?5? 估算 ? ? ? , ? ? ? 3 ?4? 3 ?4? ?4? 答:要经过 5 年,该项目的资金超过 2 千万元. bn bn 1 20.解: (1) bn ?1 ? ? ? (1 ? an )(1+an ) bn (2 ? bn ) 2 ? bn
∵ a1 ?

∴n ? 5

5 ……………3 分 b3 ? , 6 2 ? bn 1 1 1 ?1 ∴ ? ? ?1 ? (2)∵ bn ?1 ? 1 ? 2 ? bn bn ?1 ? 1 bn ? 1 bn ? 1
1 3 , b1 ? 4 4
∴ b2 ? ∴数列{ ∴

4 , 5

1 }是以-4 为首项,-1 为公差的等差数列。 bn ? 1
∴ bn ? 1 ?

……………5 分 ……………7 分 ……………8 分 ∴

1 ? ?4 ? (n ? 1) ? ?n ? 3 bn ? 1

1 n?2 ? n?3 n?3

(3) an ? 1 ? bn ?

1 n?3
1 1 1 ? ? ??? 4? 5 5? 6 (n ? 3)(n ? 4)

Sn ? a1a2 ? a2 a3 ? ??? ? an an ?1 ? ? 1 1 n ? ? 4 n ? 4 4(n ? 4)

……………9 分

∴ 4aSn ? bn ?

an n ? 2 (a ? 1)n 2 ? (3a ? 6)n ? 8 ? ? n?4 n?3 (n ? 3)(n ? 4)
2

……………10 分

由条件可知 (a ? 1)n 2 ? (3a ? 6)n ? 8 ? 0 恒成立即可满足条件 设 f (n) ? (a ? 1)n ? 3(a ? 2)n ? 8 ……………11 分

a ? 1 时, f (n) ? ?3n ? 8 ? 0 恒成立, ∴ a ? 1 可取;
a ? 1 时,由二次函数的性质知不可能成立;∴ a ? 1 不可取;

a ? 1 时,对称轴 ? ?

3 a?2 3 1 ? ? (1 ? )?0 2 a ?1 2 a ?1

f (n) 在 ?1, ?? ? 为单调递减函数. 故只要 f (1) ? 0 即可,
由 f (1) ? (a ? 1)n ? (3a ? 6)n ? 8 ? (a ? 1) ? (3a ? 6) ? 8 ? 4a ? 15 ? 0
2



a?

15 4

∴ a ? 1 时 4aSn ? b 恒成立

……………13 分 ……………14 分

综上知:实数 a 的取值范围为 ? ??,1? .


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