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挖掘隐含信息解决数学问题


龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 挖掘隐含信息解决数学问题 作者:何秋萍 来源:《新校园· 中旬刊》2013 年第 01 期 所谓隐含信息,就是指题目没有直说却隐藏在文字本身的信息。这些信息要靠我们的思维 加工去分析、发掘、揭示。认真阅读分析并充分利用题干中的隐含信息,将会使我们准确、快 速地解决问题。如果忽视重要的隐含信息或没有充分利用隐含信息将会造成误解。因此在解数 学问题时,要挖掘隐含信息确定思维起点,充分发挥隐含信息在解题过程中的特殊功能。这有 利于探索题目的内在规律,进而形成正确的解题思路,获得简捷的求解方法。以下笔者举几例 予以说明。 一、从关键词中挖掘隐含信息 数学题目中常用一些关键词,如最、至少、都、不论、任意、平均、互不相等,等等,这 些词语背后隐藏着一些数学信息和思考途径。审题就是要以阅读题目为基础,边读边想,扣住 关键词,从语义信息中挖掘隐含信息。 例 1.已知关于 x 的方程(3k+1)x2-2■-1=0 有两个不相等的实数根,求 k 的取值范围。 分析与解:因为方程有两个不相等的实数根,所以必须满足 b2-4ac>0,即(-2■)2-4× (3k+1)× (-1)>0,解得 k>-■。此时解题并没有结束,因为此题还隐含着以下信息:①此方 程是一元二次方程;②k 在根号下。由①得 k≠-■,由②得 k≥0。综合以上可得 k 的取值范围为 k≥0。 二、从数字特征挖掘隐含信息 数学问题中一些特定的数字信息往往蕴含着一些特殊的数学关系,例如,3、4、5 三个数 字隐含着以它们为边长的三角形为直角三角形,三个数组成公差为 1 的等差数列等。仔细观 察、感知题目中数字的特征,捕捉它的内隐信息,能为解题者提供解题的线索。 例 2.按一定规律排列的一列数依次为■,■,■,■,■,■,…按此规律下去,这列数中的 第 7 个数是 。 分析与解:考查上述数字特征,第 1 个数为■=■,第 3 个数为■=■,第 5 个数为■=■,因 此,第 7 个数为■=■。深入探究发现数列中各奇数个数字隐含有双重规律,即■=■,■=■, ■=■。因此,第 7 个数还可以是■=■。所以第 7 个数是■或■。 三、从结构特征挖掘隐含信息 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 有些数学题,已知条件由这样或那样的关系式给出,部分条件巧妙地隐含于这些关系式之 中。这时,注意观察关系式中字母、数字、算式等在结构上的特征,从而由明显的已知条件中 发掘出隐含信息,找到解题方法。 例 3.解方程 x2-3x-1=■。 分析与解:如果直接去分母一定很麻烦,此时观察方程的结构可以发现,等号前后均含有 x2-3x 项,只是位置不同。于是可以采用换元法解方程,由原方程移项,得 x2-3x-■=1。设 x23x=■+m,-■=■-m,则有-12=■-m2,解得 m=±■。当 m=-■时,x2-3x=-3,Δ<0,此方程无实数 根。当 m=■时,x2-3x=4,解得 x1=4,x2=-1(检验略)。 四、从几何图形中挖掘隐含信息 正如希尔伯特所说,“几何图形就是直观空间的帮助记忆的符号”“几何图形是图象化的公 式,没有一个数学家能缺少这些图象化的公式”。几何图形可以暗示解题信息,激发数学灵 感。 例 4.如图,已知圆柱体底面圆的半径为■,高为 2,AB、CD 分别是两底面的直径,AD、 BC 是母线。若一只小虫从 A 点出发,从侧面爬行到 C 点,则小虫爬行的最短 D 路线的长度是 (结果保留根式)。 分析与解:小虫爬行的路线是曲

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