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1-2-1基本不等式第一课时


2.基本不等式 第一课时 学习目标 第 一 课 时 课前自主学案 课堂互动讲练 知能优化训练 学习目标 1.理解并掌握基本不等式的结构和成立的条 件,及它的几种变形形式和公式的逆运用; 2.利用基本不等式比较大小,证明不等式. 课前自主学案 1.对于任意实数a都有a2≥ __0;当且仅当a= __时等号成立; 0 2.对于任意实数a,b都有a2+b2__2ab,当 ≥ 且仅当____时等号成立; a=b 3. 对于任意正实数 a, 都有 a+b__2 ab, b ≥ a=b 当且仅当_____时等号成立; ?a+b?2 4. 对于任意正实数 a, 都有 ab__ b ≤ 4 , 当且仅当_____时等号成立; a=b a+b 5. 不等式 ab≤ 的几何解释: 如图, 2 AB 是⊙O 的直径, 是 AB 上任意一点, C DE 是过 C 点垂直 AB 的弦. AC=a, 若 BC=b, a+b 2 则 AB=_____,⊙O 的半径 R=_____, a+b Rt△ACD∽Rt△DCB,CD2___AC· BC = a+b ab≤ ab =ab,CD=____,CD≤R?_________, 2 当且仅当 C 点与 O 点重合时,CD=R a+b AB = ,即 ab= . 2 2 课堂互动讲练 考点突破 利用基本不等式比较大小 例1 若 0<a<1,0<b<1,且 a≠b,则 a+ b,2 ab,2ab,a +b 中最大的是( A.a2+b2 C.2ab B.2 ab D.a+b 2 2 ) 【思路点拨】 数定理来求. 运用算术平均数与几何平均 【解析】 ∵0<a<1,0<b<1,a≠b, ∴a+b≥2 ab,a2+b2≥2ab, 四个数中最大的一个应从 a+b,a +b 中选择. 而 a2+b2-(a+b)=a(a-1)+b(b-1). 2 2 又∵0<a<1,0<b<1, ∴a(a-1)<0,b(b-1)<0, ∴a2+b2-(a+b)<0, 即a2+b2<a+b, ∴a+b最大,选D. 【答案】 D 【名师点评】 为了得到几个数中的最 大者,可将这几个数分成若干组(如 a+ b,2 ab与 a2+b2,2ab 两组),将每组中的 最大数放在一起,其最大者即为所求, 这样做可以简化解题过程. 1 变式训练 1 设 0<a<b, a+b=1, , 则 2 b,2ab,a2+b2 中最大的是( ) 1 A. B.b 2 C.2ab D.a2+b2 1 1 解析:选 B.0<a< , <b<1, 2 2 a2+b2>2ab. ∴只需比较 a2+b2 与 b 的大小, a +b -b=(1-b) +b -b=2b -3b+1 =(b-1)(2b-1)<0, ∴a2+b2<b. 2 2 2 2 2 利用基本不等式证明不等 式 (1)已知 a、b、c∈R,求证:a + b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2; bc ac (2)设 a、 c 都是正数, b、 求证:a + b + ab ≥a+b+c. c 例2 4 【证明】 (1)a4+b4≥2a2b2, 同理a4+c4≥2a2c2,b4+c4≥2b2c2, 将以上三个不等式相加得: a4 + b4 + a4 + c4 + b4 + c4≥2a2b2 + 2a2c2 + 2b2c2, 即:a4+b4+c4≥a2b2+a2c2+b2c2. (2)∵当 a>0,b>0 时 a+b≥2 ab, bc ac

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