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成才之路人教A版数学必修2-4.2.1


成才之路 · 数学
人教A版 · 必修2

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第四章
圆的方程

第四章

圆的方程

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第四章
4.2 直线、圆的位置关系

4.2.1 直线与圆的位置关系

第四章

圆的方程

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1

预习导学

3

随堂测评

2

互动课堂

4

课后强化作业

第四章

4.2

4.2.1

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预习导学

第四章

4.2

4.2.1

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●课标展示 1.知道直线与圆的位置关系的分类. 2.能根据方程,判断直线和圆的位置关系. 3.能够解决有关直线和圆的位置关系的问题.

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4.2

4.2.1

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●温故知新
旧知再现 1.直线与圆的位置关系有三种: 两 个公共点; (1)直线与圆相交?直线与圆有______ 一 个公共点; (2)直线与圆相切?直线与圆有______ 没有 公共点. (3)直线与圆相离?直线与圆_______ 2.点到直线的距离公式:
|Ax0+By0+C| A2+B2 点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=__________.

第四章

4.2

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3.圆x2+y2+4x-6y-3=0的圆心和半径分别为(
A.(4,-6),r=16 C.(-2,3),r=4 [答案] C B.(2,-3),r=4 D.(2,-3),r=16

)

[解析] 由圆的一般式方程可知圆心坐标为(-2,3),半径 r 1 2 =2 4 +?-6?2+12=4.
|2+2+1| d= 2 2= 5 4.点P(1,-2)到直线y=2x+1的距离为________________. 1 +2

第四章

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新知导学 直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系及 判断
位置关系 公共点个数 几何法:设圆心到直线的距离 d |Aa+Bb+C| 判 = A2+B2 定 ? ?Ax+By+C=0 方 代数法: 由? 2 2 2 ? ? x - a ? + ? y - b ? = r ? 法 消元得到一元二次方程的判别式 Δ 相交 相切 相离

两 个 ____ < r d____

0 个 一 个 ____ ____ = r d____ > r d____

> < = Δ____0 Δ____0 Δ____0

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4.2

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●自我检测

1. 直线3x+4y+12=0与圆(x-1)2+(y+1)2=9的位置关
系是( ) B.相切 D.相交 A.过圆心 C.相离 [答案] D
[解析] 圆心 C(1,-1),半径 r=3,C 到直线 3x+4y+12 |3-4+12| 11 =0 的距离 d= 2 2 = 5 <r=3.所以直线与圆相交. 3 +4

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2 .直线 l : 3x - 4y - 5 = 0 被圆 x2 + y2 = 5 所截得的弦长为 ________. [答案] 4 3 . 过 点 ( - 3,4) 且 与 圆 x2 + y2 = 25 相 切 的 直 线 方 程 为

________.
[答案] 3x-4y+25=0

第四章

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互动课堂

第四章

4.2

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●典例探究 直线与圆的位置关系
已知直线方程 mx-y-m-1=0,圆的方程 x2+ y2-4x-2y+1=0.当 m 为何值时,圆与直线 (1)有两个公共点; (2)只有一个公共点; (3)没有公共点?

[分析]

直线与圆有两个公共点 ?直线与圆相交;直线与

圆只有一个公共点?直线与圆相切;直线与圆没有公共点?直

线与圆相离.
第四章 4.2 4.2.1

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[解析] 方法 1:将直线 mx-y-m-1=0 代入圆的方程化 简整理得, (1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0. ∵Δ=4m(3m+4), 4 ∴当 Δ>0,即 m>0 或 m<-3时,直线与圆相交,即直线 与圆有两个公共点;

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4 当 Δ=0,即 m=0 或 m=-3时,直线与圆相切,即直线与 圆只有一个公共点; 4 当 Δ<0,即-3<m<0 时,直线与圆相离,即直线与圆没 有公共点.

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方法 2:已知圆的方程可化为 (x-2)2+(y-1)2=4, 即圆心为 C(2,1),半径长 r=2. 圆心 C(2,1)到直线 mx-y-m-1=0 的距离 |2m-1-m-1| |m-2| d= = 2 2. 1+m 1+m

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4 (1)当 d<2,即 m>0 或 m<-3时,直线与圆相交,即直 线与圆有两个公共点; 4 (2)当 d=2,即 m=0 或 m=-3时,直线与圆相切,即直 线与圆只有一个公共点; 4 (3)当 d>2,即-3<m<0 时,直线与圆相离,即直线与圆 没有公共点.

第四章

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规律总结: 解决此类问题的关键是搞清直线与圆的 位置和直线与圆的公共点的个数间的等价关系.在处理直线与

圆的位置关系时,常用几何法,即比较圆心到直线的距离和半
径长的大小,而不用联立方程.

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(2013· 安徽高考 ) 若直线 x - y + 1 = 0 与圆 (x - a)2 + y2 = 2 有
公共点,则实数a取值范围是( A.[-3,-1] C.[-3,1] [答案] C [ 分析 ] 系? 直线和圆有公共点说明直线和圆是什么位置关 ) B.[-1,3] D.(-∞,-3]∪[1,+∞)

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[解析] 圆(x-a)2+y2=2 的圆心 C(a,0)到直线 x-y+1=0 |a+1| 的距离为 d, 则 d≤r= 2? ≤ 2?|a+1|≤2?-3≤a≤1. 2

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弦长问题

求直线 l:3x+y-6=0 被圆 C:x2+y2-2y-4 =0 截得的弦长.

[分析] 思路 1: 联立直线与 求出交 利用两点间的 → → 圆的方程 点坐标 距离公式求解 思路 2: 利用“半径长、弦心距、弦长的 直接 → 一半构成的直角三角形”列式 求解
第四章 4.2 4.2.1

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[解析]

方法 1:由直线 l 与圆 C 的方程,得 ,

? ?3x+y-6=0 ? 2 2 ? x + y -2y-4=0 ? ? ?x1=1 解得? ? ?y1=3

? ?x2=2 ,? ? ?y2=0

,所以交点的坐标为 A(1,3),B(2,0).

故直线 l:3x+y-6=0 被圆 C:x2+y2-2y-4=0 截得的 弦长|AB|= ?1-2?2+?3-0?2= 10.

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方法 2:圆 C:x2+y2-2y-4=0 可化为 x2+(y-1)2=5, 其圆心坐标为(0,1),半径长 r= 5,点(0,1)到直线 l 的距离为 d |3×0+1-6| 10 = = 2 . 2 2 3 +1 |AB| 设直线 l 与圆 C 的交点为 A , B ,则 2 = r2-d2 = 10 2 ? 5? -? 2 ? ,所以弦长|AB|= 10.
2

第四章

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规律总结:设直线l的方程为ax+by+c=0,圆O的方

程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2,求弦长的方法有以下三种:
①几何法:由圆的性质知,过圆心 O 作 l 的垂线,垂足 C 为线段 AB 的中点.如 图所示,在 Rt△OCB 中,|BC|2=r2-d2, 则弦长|AB|=2|BC|,即|AB|=2 r2-d2.

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? ?ax+by+c=0, ②代数法:解方程组? 2 2 2 ? ??x-x0? +?y-y0? =r ,

消元后可得

关于 x1+x2,x1· x2 或 y1+y2,y1· y2 的关系式,则 |AB|= ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2] = 1 ?1+k2?[?y1+y2?2-4y1y2].

注:上述公式通常称为弦长公式.

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③联立直线与圆方程,求出两交点坐标,再由两点间的距 离公式求弦长. 三种方法各有特点,解题时可以根据题目特点选用不同的 方法,但前两种方法比较常用.

(2)已知弦长,求其他问题时,也需利用以上思想方法.

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直线 l 经过点 P(5,5)并且与圆 C:x2+y2=25 相交截得的弦 长为 4 5,求 l 的方程.

[解析] 根据题意知直线l的斜率存在, 设直线 l 的方程为 y - 5 = k(x - 5) 与圆 C 相交于 A(x1 , y1) ,

B(x2,y2),

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方法

? ?y-5=k?x-5?, 1:联立方程组? 2 2 ? ?x +y =25,

消去 y,得(k2+1)x2

+10k(1-k)x+25k(k-2)=0. ∴Δ=[10k(1-k)]2-4(k2+1)· 25k(k-2)>0, 解得 k>0. 10k?1-k? 25k?k-2? 又 x1+x2=- 2 ,x1x2= 2 . k +1 k +1 由斜率公式,得 y1-y2=k(x1-x2).

第四章

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∴|AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2 = ?1+k2??x1-x2?2 = ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2] =
2 2 100 k ? 1 - k ? 25k?k-2? 2 ?1+k ?[ -4· 2 ] ?k2+1?2 k +1

=4 5. 两边平方,整理得 2k2-5k+2=0, 1 解得 k=2或 k=2 符合题意, 故直线 l 的方程为 x-2y+5=0 或 2x-y-5=0.
第四章 4.2 4.2.1

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方法 2:如右图所示,|OH|是圆心到直线 l 的距离,|OA|是 圆的半径,|AH|是弦长|AB|的一半, 1 在 Rt△AHO 中,|OA|=5,|AH|=2|AB| 1 =2×4 5=2 5. ∴|OH|= |OA|2-|AH|2= 5. |5?1-k?| 1 ∴ 2 = 5,解得 k=2或 k=2. k +1 ∴直线 l 的方程为 x-2y+5=0 或 2x-y-5=0.

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圆的切线问题
过点 A(4,-3)作圆 C:(x-3)2+(y-1)2=1 的 切线,求此切线的方程.
[分析] 分斜率存在与不存在两种情况讨论.

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[解析] ∵(4-3)2+(-3-1)2=17>1,∴点 A 在圆外. (1)若所求直线的斜率存在,设切线斜率为 k,则切线方程 为 y+3=k(x-4). 因为圆心 C(3,1)到切线的距离等于半径 1, |3k-1-3-4k| 15 所以 =1,解得 k=- 8 . 2 k +1 15 所以切线方程为 y+3=- 8 (x-4),即 15x+8y-36=0. (2)若切线斜率不存在, 圆心 C(3,1)到直线 x=4 的距离也为 1,这时直线与圆也相切,所以另一条切线方程是 x=4. 综上,所求切线方程为 15x+8y-36=0 或 x=4.
第四章 4.2 4.2.1

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规律总结: (1) 过一点求圆的切线方程,应先判断这
一点与已知圆的位置关系,然后再选择适当的方法求解.一般 情况下,常利用几何法求解. (2)已知一点求圆的切线方程时,切勿漏掉斜率不存在的情 况.

(1)过圆外一点(x0,y0)与圆相切的切线方程的求法.
①先假设切线斜率存在,有下列两种求切线斜率 k 的方 法:

第四章

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方法 1 :设切线方程为 y - y0 = k(x - x0) ,化成一般式 kx - y +y0 -kx0 = 0,因为直线与圆相切,所以圆心到直线的距离等 于半径,由此解出k; 方法2:设切线方程为y-y0=k(x-x0),与圆的方程联立,

化为关于x的一元二次方程,利用判别式为0,求出k.
②若通过上述方法只求出一个斜率 k ,则另一条切线斜率 一定不存在,此时另一切线方程为x=x0. 注:过圆外一点与圆相切的直线有且只有两条.

第四章

4.2

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(2)过圆上一点的圆的切线方程的求法.
利用斜率公式求出圆心和切点连线的斜率,进而求出切线 的斜率,利用点斜式求出切线方程. (3)斜率为k且与圆(x-a)2+(y-b)2=r2相切的切线方程的求 法.

方法1:先设切线方程为y=kx+b,然后变成一般式 kx-y
+b=0,利用圆心到切线的距离等于半径,列出方程求b; 方法2:设切线方程为y=kx+b,与圆的方程(x-a)2+(y- b)2=r2联立,化为关于x的一元二次方程,再利用判别式为0, 求出b.
第四章 4.2 4.2.1

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求满足下列条件的圆 x2+y2=4 的切线方程: (1)经过点 P( 3,1);(2)斜率为-1, (3)过点 Q(3,0)

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[解析] (1)∵点 P( 3,1)在圆上. ∴所求切线方程为 3x+y-4=0. (2)设圆的切线方程为 y=-x+b, 代入圆的方程,整理得 2x2-2bx+b2-4=0,∵直线与圆相切, ∴Δ=(-2b)2-4×2(b2-4)=0. 解得 b=± 2 2. ∴所求切线方程为 x+y± 2 2=0. 也可用几何法 d=r 求解.

第四章

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(3)解法 1:∵32+02>4,∴点 Q 在圆外. 设切线方程为 y=k(x-3),即 kx-y-3k=0. ∵直线与圆相切,∴圆心到直线的距离等于半径, |-3k| 2 ∴ 5, 2=2,∴k=± 5 1+k ∴所求切线方程为 2x± 5y-6=0.

第四章

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解法 2:设切点为 M(x0,y0),则过点 M 的切线方程为 x0x+y0y=4, ∵点 Q(3,0)在切线上, 4 ∴x0=3
2 又 M(x0,y0)在圆 x2+y2=4 上,∴x2 + y 0 0=4

① ②

第四章

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由①②构成的方程组可解得 4 ? ?x0=3, ? ?y0=2 5 3 ? 4 ? ?x0=3, ,或? ?y0=-2 5. 3 ?

∴所求切线方程为 4 2 5 4 2 5 3x+ 3 y=4 或3x- 3 y=4, 即 2x+ 5y-6=0 或 2x- 5y-6=0.

第四章

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规律总结: 求过定点的圆的切线方程,一定要先判
断点是在圆上还是在圆外. (1)可以利用圆心到直线的距离等于半径求切线方程.也可 利用判别式的值等于 0求切线方程.若设出切线斜率,用点斜 式写出切线方程,应注意斜率不存在的情况.

(2) 也可以先求出以 Q 和圆 x2 + y2 = 4 的圆心 ( 原点 )O 为端点
的线段 OQ 为直径的圆的方程,进而求出两圆交点即切点的坐 标,由两点式求得切线方程.

第四章

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●误区警示 易错点 忽视隐含条件 已知圆 x2+y2+2x+2y+k=0 和定点 P(1, -1), 若过点 P 的圆的切线有两条,则 k 的取值范围是( A.(-2,+∞) B.(-∞,2) C.(-2,2) D.(-∞,-2)∪(2,+∞) )

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[错解]

选A.由题意知点P(1,-1)必须在圆的外部,则12 产生错解的原因是忽视了一个隐含条件:必

+(-1)2+2×1+2×(-1)+k>0,解得k>-2.答:A [错因分析] 须保证方程x2+y2+2x+2y+k=0表示一个圆.

[正解]
故-2<k<2.

因为方程x2+y2+2x+2y+k=0表示一个圆,所以

4+4-4k>0,解得k<2.又由错解知,要使P在圆外,则k>-2, [答案] C.

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若直线 y=x+b 与曲线 y= 4-x2有公共点,试求 b 的取 值范围.
[错解]
? ?y=x+b,① ? 2 ? y = 4 - x ,② ?

由①②得 x+b= 4-x2,

所以(x+b)2=4-x2, 即 2x2+2bx+b2-4=0, 所以 Δ=(2b)2-4×2×(b2-4)=32-4b2≥0, 解得-2 2≤b≤2 2,

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[错因分析]

在上述求解过程中,对 x+b= 4-x2两边平

方后,x+b 的取值范围扩大了,平方前它只能取非负值,而平 方后,在等式(x+b)2=4-x2 中,x+b 可取负值.因此这一变形 不是等价变形,所以求得 b 的取值范围扩大了.

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[正解] 如右图所示,在坐标系内作 出曲线 y= 4-x2(半圆),直线 l1:y=x -2,直线 l2:y=x+2 2. 当直线 l: y=x+b 夹在 l1 与 l2 之间(包 含 l1,l2)时, l 与曲线 y= 4-x2有公共点, 所以 b 的取值范围为-2≤b≤2 2.

第四章

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随堂测评

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1.直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=1的位置关系是( A.相交 C.相离 [答案] B B.相切 D.无法判断

)

|-5| [解析] d= 2 2=1=r,∴选 B. 3 +4

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4.2

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2.直线 3x-y+m=0 与圆 x2+y2-2x-2=0 相切,则实 数 m 等于( ) B.- 3或 3 3 D.-3 3或 3 3 A. 3或- 3 C.-3 3或 3

[答案] C
[解析] | 3+m| = 3解得 m= 3或-3 3. 2 ? 3? +1

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4.2

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3.(2013· 安徽)直线 x+2y-5+ 5=0 被圆 x2+y2-2x-4y =0 截得的弦长为( A.1 C.4 ) B.2 D.4 6

[答案] C [分析] 构造由半径、弦心距和弦长的一半组成的直角三

角形,即可求出弦长.

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[解析] 依题意,圆的圆心为(1,2),半径 r= 5,圆心到直 |1+4-5+ 5| 线的距离 d= =1, 所以结合图形可知弦长的一半 5 为 r2-d2=2,故弦长为 4.

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4.2

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4.圆心坐标为(2,-1)的圆在直线 x-y-1=0 上截得的 弦长为 2 2,那么这个圆的方程为( A.(x-2)2+(y+1)2=4 C.(x-2)2+(y+1)2=8 ) B.(x-2)2+(y+1)2=2 D.(x-2)2+(y+1)2=16

[答案] A
|2+1-1| [解析] d= = 2,r= 2+2=2, 1+1 ∴圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=4.

第四章

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5.(2013·山东)过点(3,1)作圆(x-2)2+(y-2)2=4的弦,其 中最短弦的长为________.

[答案] 2 2
[分析] 先判断最短弦的位置,然后构造由半径、弦心距
和弦长的一半组成的直角三角形进行求解.
[解析] 最短弦为过点(3,1), 且垂直于点(3,1)与圆心的连线 的弦,易知弦心距 d = ?3-2?2+?1-2?2 ,所以最短弦长为 2 r2-d2=2 22-? 2?2=2 2.

第四章

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6 . (2013· 四川 ) 已知圆 C 的方程为 x2 + (y - 4)2 = 4 ,点 O 是 坐标原点.直线 l : y = kx 与圆 C 交于 M , N 两点.求 k 的取值范

围.
[分析] 联立直线与圆的方程,利用代数法求解.
[解析] 将 y=kx 代入 x2+(y-4)2=4 中, 得(1+k2)x2-8kx +12=0. 由 Δ=(-8k)2-4(1+k2)×12 >0,得 k2>3. 所以,k 的取值范围是(-∞,- 3)∪( 3,+∞).

第四章

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