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2009上海交大自主招生数学部分试题及解答(附解答修正)


2009 上海交大自主招生数学部分试题及解答 (附解答修正)
1.华罗庚,丘成桐 2.四面体一对棱长是 6,其余棱长均为 5,求内切球半径? 解:设四面体 A-BCD,AB=CD=6,AC=BC=AD=BD=5.取 AB 中点为 E,CD 中点为 F.连 EF,取 EF 中 点为 O.于是连 AF=BF=4,DE=CE=4,且 CD⊥ AF, CD ⊥ BF. ∴ CD ⊥ 面 ABF. AB⊥DE,AB⊥CE, AB ⊥ 面 CDE . 过 O 作 OG ⊥ AF, OH ⊥ BF, OI ⊥ CE, OJ ⊥ DE. 因?OGF~?AEF, EF = 同理:OH=OI=OJ=
3 7 8

7, OF =

7 2

,

OF OG

= AE ∴ OG =

AF

7 2

×3÷ 4=

3 7 8

.

. 又 OG? 面 ABF, CD ⊥ 面 ABF, OG ⊥ CD, CD ∩ AF 于 F,

∴ OG ⊥ 面 ACD. 同理:OH⊥ 面 BCD, OI⊥ 面 DAB, OJ⊥ 面 CAB ∴ OG 为内切球半径 =
3 7 8

D F C

A E

G J O H I B

3.已知 f{f(x)}有唯一的不动点,求证 f(x)也有唯一的不动点。 证明:设 f{f(x)}的唯一的不动点为 A(a,b),那么有 f{f(a)}=b. f(x)就有不动点(a,f(a)),如果 (a,f(a))不是唯一的,还存在第二个不动点 (c,f(c))(c≠ a) 。则 f[f(x)]必存在不动点(c,f[f(c)]) 。这与 f{f(x)}有唯一的 不动点矛盾。故 f(x)也有唯一的不动点。 4.P,Q 分别是圆x 2 + (y ? 3)2 = 1 与抛物线 y = x 2 上的点,求 PQ 的最小值。 解:设圆心为 A,则 A(0,3),Q(x,y),因y = x 2 ,则|AQ|2 =x 2 + (y ? 3)2 = y + (y ? 3)2 = y 2 -5y+9=(y ? 2)2 + |AQ|的最小值
11 2 5 11 4 11 2

的最小值为: 4 ?1

11

,∴ PQ 的最小值=

5.一圆锥的母线l与底面半径 r 的比为 k,OAB 为圆锥的轴截面,P 为 OA 的中点。 求 PB 沿圆锥面的最短距离。 解:把圆锥侧面展开为扇形 OBB , ,母线 OA 在扇形 OBB , 上的位置在 /BOB , 的平分线 OA, 上。 P 在 OA, 的中的P, 上。 PB 沿圆锥面的最短距离=|BP , |
l r

=k

2π r l

= /BOB , =
1 4

2π k

?BOA, 中,/BOA, = k , OB = kr, OA, =
π K

π

kr 2

|BP , |= (kr)2 +

(kr)2 ? (kr)2 cos

=

5 4

? cos

π K

kr =

kr 2

5 ? 4cos

π K

6..a1 = 1025 , q = ? 2 的等比数列,求πn = a1 a2 a3 ? ? an 的最大值。 解:方法 1 an = 1025 × (? 2)n ?1
1 1
n (n ?1) 2

1

1

∴ πn = a1 a2 a3 ? ? an = 1025n × (? 2)1+2+3+?+(n ?1) =(210 + 1)n × (? 2) = (210 + 1)n × ?1
|π n | |π n ?1 |
2 10 +1 n n ?1 ) 2 2 2 10 +1 ( n ?2 )n ?1 2 2 n n ?1 2

×

1
n n ?1 2 2

=(

210 +1 n
n ?1 2 2

) × ?1

n n ?1 2

(

=

=

210 +1 2n ?1

。当 n≤ 11 时, |π

|π n |
n ?1 |

> 1,|πn | > |πn ?1 |

即|π11 > |π10 > ? > |π1 | π11 < 0,π10 < 0 ,π9 > 0 ∴ π9 最大 当 n≥ 12 时, |π
|π n |
n ?1 |

< 1,|πn | < |πn ?1 |

即|π12 > |π13 > ? > |πn | π12 > 0, ∴ π12 最大 而
π 12 π9

=(

210 +1 210

) > 1. ∴ π12 最大 = (

3

210 +1 12 (210 +1) 11 ) = 266 22

12

方法 2. 当|b|< 1 时,|a||b|<|a|, 当|b|= 1 时,|a||b|=|a| 当|b|> 1 时,|a||b|>|a| 故考察|an | = 1025 × (2)n ?1 = 2n ?1
1 210 +1

当 n≤ 11时,|an | > 1 , |π1 | < |π2 | < ? |π10 | < |π11 | 当 n≥ 12时,|an | < 1 , |π12 | > |π13 | > ? |πn ?1 | > |πn | 前 11 项中,有 5 个负项,故|π9 | = π9 较大。 前 12 项中,有 6 个负项,故|π12 | = π12 较大。 |a10 ||a11 ||a12 | =(210 + 1)3 × π12 最大 = (
1 230

> 1 ,故
12

210 +1 12 (210 +1) 11 ) = 266 22

7.一个圆的圆心一直在边长为 60cm 的正方形内,圆的半径 r=10cm。取求正方形的角落在圆 内的概率。 解:圆心可能到达的面积=3600cm2 ,能使正方形的角落在圆内是的正方形的圆心可能到 达的面积=4× 100cm2 ,所求概率=9
1

8.求方程 x= x + 2 x + 2 x + ? ? + 2 x + 2 3x (n 重根式)的解。

解:一重根式时:x1 =

x1 + 2 3 x1

,则x1 2 =x1 + 2 3 x1 X1 2 x1 ? 1 2 = 12 x1 x1 x1 ? 1 2 =12=3× 2 × 2 x1 =3

n-1 重根式时:xn ?1 =

xn ?1 + 2 xn ?1 + 2 xn ?1 + ? ? + 2

xn ?1 + 2 3 xn ?1

n 重根式时:x n = xn + 2xn ?1 xn 2 =xn + 2 xn ?1 xn xn ? 1 = 2 xn ?1 因 x1 =3 ∴ x2 x2 ? 1 = 2 x1 =2× 3 ∴ x2 =3? ? ∴ x=3 为所求。 9.每行每列都是不同的数,要求每个数都唯一确定,只要填满 4 个。 不理解题意,无法解。抱歉。


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