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17.2.5一元二次方程的解法复习(沪科版)


一元二次方程的解法复习

你学过一元二次方程的哪些解法?

开平方法 公式法

配方法
因式分解法

你能说出每一种解法的特点吗?

方程的左边是完全平方式,右边是非负数;

2 即形如x =a(a≥0)

x1 ? a ,x2

? ? a

用直接开平方法解下列方程:
2 (1)x -0.25=0

(2)(x-1)2=4

(3)4(x+1)2 = (3x-5)2

“配方法”解方程的基本步骤:

1.化1:把二次项系数化为1; 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边同加一次项系数 一半的平方; 4.变形:化成 (x ? h ) ? k ( k ? 0)
2

5.开平方,求解
★一化、二移、三配、四开、五解.

用配方法解下列方程:
2 (1)x +4x=5

(2)2x2-6x-1=0

用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程:

ax2+bx+c=0(a≠0).

2.b2-4ac≥0.
? b ? b ? 4ac 2 x? .b ? 4ac ? 0 . 2a
2

?

?

用公式法解下列方程:
2 (1)x -3=x

(2)(2x-1)2-5=x(x-5)

1.用因式分解法的条件是:方程左边能够 分解,而右边等于零; 2.理论依据是:如果两个因式的积等于零 那么至少有一个因式等于零. 因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程;

四解-----写出方程两个解;

用因式分解法解下列方程:
2 (1)5x =4x

(2) x2+x-42=0

(3)3x2 +8x-3=0 (4)2(2x-3)2=4x2-9

一元二次方程的定义

把握住:一个未知数,最高次数2, 整式方程
一般形式:ax? +bx+c=0(a?0)

一 元 二 次 方 程

直接开平方法: 适应于形如(x+h)? =k(k ≥ 0)型
一元二次方程的解法

配方法: 适应于任何一个一元二次方程 公式法: 适应于任何一个一元二次方程 因式分解法:

适应于左边能分解为两个一次式的积, 右边是0的方程

例1、填空:


④ ⑦

x2-3x+1=0
x2-4x=2 3y2-y-1=0


⑤ ⑧

3x2-1=0
2x2-x=0 2x2+4x-1=0 ② 3x2-1=0




-3t2+t=0
5(m+2)2=8

⑨ (x-2)2=2(x-2)
⑥ 5(m+2)2=8

适合运用直接开平方法 适合运用因式分解法

③ -3t2+t=0

⑤ 2x2-x=0 ⑨ (x-2)2=2(x-2) ⑧ 2x2+4x-1=0

适合运用公式法
适合运用配方法

① x2-3x+1=0 ⑦ 3y2-y-1=0 ④ x2-4x=2

规律: ① 一般地,当一元二次方程一次项系数为0时(ax2+c=0),

② 公式法虽然是万能的,对任何一元二次方程都适用,但不一定 应选用直接开平方法;若常数项为 0( ax2+bx=0),应选用因式分解法; 是最简单的,因此在解方程时我们首先考虑能否应用“直接开平 若一次项系数和常数项都不为 0 (ax2+bx+c=0),先化为一般式,看 方法”、“因式分解法”等简单方法,若不行,再考虑公式法 一边的整式是否容易因式分解,若容易,宜选用因式分解法,不然选 (适当也可考虑配方法) 用公式法;不过当二次项系数是1,且一次项系数是偶数时,用配方法 也较简单。

例2:用适当的方法求解下列方程

3 1)(3x -2)? -49=0 2)(3x -4)? =(4x -3)? 3)4y = 1 - y? 2 解: 法一: 3x-4=±(4x-3) 解:(3x-2)? =49 解:3y? +8y -2=0 3x -2=±7 ?3x -4=4x-3或3x-4=-4x+3 b? - 4ac 2?7 ? -x=1 或 7x=7 x= 35 =64 -4?3?(-2) ? x = -1 , x =1 1 2 x1=3,x2= - =88 3 法二: (3x-4)? -(4x-3)2=0 X= ? 8 ? 88 (3x-4+4x-3)(3x-4x+3)=0 6 (7x-7)(-x-1)=0 ? 4 ? 22 ? 4 ? 22
7x-7=0或-x-1=0
x1 ? 3 , x2 ? 3

? x1 = -1, x2 =1 总结:方程中有括号时,应先用整体思想考虑有没 有简单方法,若看不出合适的方法时,则把它去括号并 整理为一般形式再选取合理的方法。

练习
1.关于y的一元二次方程2y(y-3)= -4的一般形式是 2y2-6y+4=0 它的二次项系数是_____, 2 ___________, 一次项是_____, -6y 常数项是_____ 4

( B ) 2.请判断下列哪个方程是一元二次方程

? A? x ? 2 y ? 1
3 ?C ? x ? ? 8 x
2

? B? x

2

?5 ? 0

? D? 3x ? 8 ? 6x ? 2

3.若x=2是方程x2+ax-8=0的解,则a= 2

4.下面是某同学在一次数学测验中解答的填空题, 其中答对的是( C ) A、若x2=4,则x=2
2 x ? ? 3x ? 2 ?

B、若3x2=6x,则x=2

C、若x2+x-k=0的一个根是1,则k=2

D、若

? x ? 2?

的值为零,则x ? 2

选择适当的方法解下列方程: 16 2 2 ?1? x ? 1 ?2 ?5x ? 2x 25 2 2 2 ?3 ?3x ? 1 ? 4x ?4 ?(x ? 2) ? 9x

?5 ?x(3x? 7)? 2x
2 2

49 ?6 ?x(2x? 7)? ? 8 2x

?7?(2x ? 1) ?(3x ? 1) ?8 ?(x ? 1)(x? 1)? 2

1、

ax2+c=0 ax2+bx=0

====> 直接开平方法 ====> 因式分解法 因式分解法

ax2+bx+c=0 ====> 公式法(配方法) 2、公式法虽然是万能的,对任何一元二次方程都适用, 但不一定是最简单的,因此在解方程时我们首先考虑 能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单 方法,若不行,再考虑公式法(适当也可考虑配方法) 3、方程中有括号时,应先用整体思想考虑有没有简单 方法,若看不出合适的方法时,则把它去括号并整理为 一般形式再选取合理的方法。


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