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圆锥曲线知识点全归纳(完整精华版)


圆锥曲线知识点全归纳(精华版)
圆锥曲线包括椭圆,双曲线,抛物线。其统一定义:到定点的距离与到定直线的距离的比 e 是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当 0<e<1 时为椭圆:当 e=1 时为抛物线;当 e>1 时为双 曲线。 一、圆锥曲线的方程和性质: 1)椭圆 文字语言定义:平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个小于 1 的正常 数 e。定点是椭圆的焦点,定直线是椭圆的准线,常数 e 是椭圆的离心率。 标准方程: 1.中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆标准方程:(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 其中 a>b>0,c>0,c^2=a^2-b^2. 2.中心在原点,焦点在 y 轴上的椭圆标准方程:(x^2/b^2)+(y^2/a^2)=1 其中 a>b>0,c>0,c^2=a^2-b^2. 参数方程: X=acosθ Y=bsinθ (θ 为参数 ,设横坐标为 acosθ,是由于圆锥曲线的考虑,椭圆伸缩变换 后可为圆 此时 c=0,圆的 acosθ=r) 2)双曲线 文字语言定义:平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于 1 的常数 e。定点是双曲线的焦点,定直线是双曲线的准线,常数 e 是双曲线的离心率。 标准方程: 1.中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线标准方程:(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 其中 a>0,b>0,c^2=a^2+b^2. 2.中心在原点,焦点在 y 轴上的双曲线标准方程:(y^2/a^2)-(x^2/b^2)=1. 其中 a>0,b>0,c^2=a^2+b^2. 参数方程: x=asecθ y=btanθ (θ 为参数 ) 3)抛物线 标准方程: 1.顶点在原点,焦点在 x 轴上开口向右的抛物线标准方程:y^2=2px 2.顶点在原点,焦点在 x 轴上开口向左的抛物线标准方程:y^2=-2px 3.顶点在原点,焦点在 y 轴上开口向上的抛物线标准方程:x^2=2py 4.顶点在原点,焦点在 y 轴上开口向下的抛物线标准方程:x^2=-2py 参数方程 x=2pt^2 y=2pt (t 为参数) t=1/tanθ(tanθ 为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率)特别地,t 可等于 0 直角坐标 y=ax^2+bx+c (开口方向为 y 轴, a<>0 ) x=ay^2+by+c (开口方向为 x 轴, a<>0 ) 圆锥曲线(二次非圆曲线)的统一极坐标方程为 其中 p>0 其中 p>0 其中 p>0 其中 p>0

ρ=ep/(1-e×cosθ) 其中 e 表示离心率,p 为焦点到准线的距离。 二、焦半径 圆锥曲线上任意一点到焦点的距离称为焦半径。 圆锥曲线左右焦点为 F1、F2,其上任意一点为 P(x,y),则焦半径为: 椭圆 |PF1|=a+ex |PF2|=a-ex P 在右支,|PF1|=a+ex |PF2|=-a+ex P 在下支,|PF1|= -a-ey |PF2|=a-ey P 在上支,|PF1|= a+ey |PF2|=-a+ey 抛物线 |PF|=x+p/2 三、圆锥曲线的切线方程 圆锥曲线上一点 P(x0,y0)的切线方程 以 x0x 代替 x^2,以 y0y 代替 y^2;以(x0+x)/2 代替 x,以(y0+y)/2 代替 y 即椭圆:x0x/a^2+y0y/b^2=1; 双曲线:x0x/a^2-y0y/b^2=1; 抛物线:y0y=p(x0+x) 四、焦准距 圆锥曲线的焦点到准线的距离 p 叫圆锥曲线的焦准距,或焦参数。 椭圆的焦准距:p=(b^2)/c 双曲线的焦准距:p=(b^2)/c 抛物线的准焦距:p 五、通径 圆锥曲线中,过焦点并垂直于轴的弦成为通径。 椭圆的通径:(2b^2)/a 双曲线的通径:(2b^2)/a 抛物线的通径:2p 六、圆锥曲线的性质对比 见下图: 七、圆锥曲线的中点弦问题 已知圆锥曲线内一点为圆锥曲线的一弦中点,求该弦的方程 ⒈联立方程法。 用点斜式设出该弦的方程(斜率不存在的情况需要另外考虑),与圆锥曲线方程联立求得关于 x 的一元二次方程和关于 y 的一元二次方程,由韦达定理得到两根之和的表达式,在由中点 坐标公式的两根之和的具体数值,求出该弦的方程。 2.点差法,或称代点相减法。 双曲线 P 在左支,|PF1|=-a-ex |PF2|=a-ex

设出弦的两端点坐标(x1,y1)和(x2,y2),代入圆锥曲线的方程,将得到的两个 方程相减,运用平方差公式得

[(x1+x2)·(x1-x2)]/(a^2)+[(y1+y2)·(y1-y2)/(b^2]=0
补充:

由斜率为

(y1-y2)/(x1-x2)可以得到斜率的取值。(使用时注意判别式的问题) 焦点三角形面积公式椭圆=b?tan(a/2)=c|y0| 双曲线=b?cot(a/2)。


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