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(人教B版)高中数学必修五:2.1《数列(2)》ppt课件


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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第二章
数 列

第二章





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第二章
2.1 第2课时 数 列

数列的递推公式(选学)

第二章





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1

课前自主预习

3

易错疑难辨析

2

课堂典例讲练

4

课 时 作 业

第二章

2.1

第2课时

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课前自主预习

第二章

2.1

第2课时

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某餐厅供应1000名学生用餐,每星期一有A、B两种菜可供 选择,调查资料显示星期一选A菜的学生中有20%在下周一选B 菜,而选B菜的学生中有30%在下周一选A菜.用An、Bn分别表 示在第n个星期一选A菜、B菜的学生数,试写出An与An-1的关 系及Bn与Bn-1的关系.

第二章

2.1

第2课时

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[解析] 由题意,得 ?An+Bn=1000 ? ?An=0.8An-1+0.3Bn-1 ?B =0.2A +0.7B ? n n -1 n-1 由An-1+Bn-1=1000,得 Bn-1=1000-An-1, ∴An=0.8An-1+0.3(1000-An-1)=0.5An-1+300. 同理,Bn=0.2(1000-Bn-1)+0.7Bn-1=0.5Bn-1+200.



第二章

2.1

第2课时

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1.如果已知数列的第1项(或前几项),且从第二项(或某一 前一项an-1 或前几项)间的关系 任一项an 与它的____________( 项)开始的__________
可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的 递推公式 ,如a1=1,an+1=an+2就是一个递推公式. __________ 2.给出递推公式及初始值的数列,例如:an+1=an+an-
1,a1=a2=1,这样给出的数列是一个确定的数列,即

__________ 递推公式 也是给出数列的一种方法.

第二章

2.1

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1.已知数列{an},a1=1,an-an-1=n-1(n≥2),则a6= ( ) A.7 B.11

C.16
[答案] C

D.17

第二章

2.1

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[解析] ∵a1=1,an-an-1=n-1(n≥2), ∴a2-a1=1,∴a2=a1+1=2, ∴a3-a2=2,∴a3=a2+2=4,

∴a4-a3=3,∴a4=a3+3=7,
∴a5-a4=4,∴a5=a4+4=11, ∴a6-a5=5,∴a6=a5+5=16.

第二章

2.1

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2.已知数列{an}对任意的p、q∈N*满足ap+q=ap+aq,且 a2=-6,那么a10等于( A.-165 C.-30 ) B.-33 D.-21

[答案] C
[解析] ∵对任意p、q∈N*都有ap+q=ap+aq. ∴a10=a8+a2=a4+a4+a2=5a2=-30.

第二章

2.1

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3.数列{an}满足关系anan+1=1-an+1(n∈N+),且a2
2,则a2 012等于( A.-3 C.-2 [答案] A ) B.3 D.2

014=

1-an+1 1 [解析] 由已知,得an= = -1,所以a2 an+1 an+1 1 1 1 1 -1= -1=- ,a2 012= -1= -1=-3. a2 014 2 2 a2 013 1 - 2 1

013=

第二章

2.1

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4.已知f(1)=2,f(n+1)= ________.

f?n?+1 2

(n∈N+),则f(4)=

9 [答案] 8

f?n?+1 [解析] ∵f(1)=2,f(n+1)= (n∈N*), 2 5 f?1?+1 3 f?2?+1 2 5 ∴f(2)= = ,f(3)= = = , 2 2 2 2 4 5 f?3?+1 4+1 9 f(4)= = = . 2 2 8
第二章 2.1 第2课时

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a6 5.已知数列{an},a1=1,an· an-1=n-1(n≥2),则 = a8 ________.

6 [答案] 7
[解析] 解法一:∵a1=1,an· an-1=n-1(n≥2), 1 2 3 3 4 8 ∴a2= =1,a3= =2,a4= = ,a5= = , a1 a2 a3 2 a4 3 5 15 6 16 7 35 a6 15 16 6 a6= = ,a7= = ,a8= = .∴ = · = . a5 8 a6 5 a7 16 a8 8 35 7 解法二:由题意得,a7· a6=6,a8· a7=7, a6 6 两式相除即得 = . a8 7
第二章 2.1 第2课时

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课堂典例讲练

第二章

2.1

第2课时

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根据数列的递推公式,写出它的前几项,并
归纳出通项公式

已知数列{an}分别满足下列条件,写出它的前 五项,并归纳出各数列的一个通项公式. (1)a1=0,an+1=an+(2n-1); (2)(2013~2014学年度湖北黄冈中学高二期中测试)a1= 3an 3,an+1= . an+3

第二章

2.1

第2课时

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[分析] 此数列是用递推公式给出的,已知a1就可递推出 a2,…,依此类推,可求出它的任一项.
[解析] (1)∵a1=0,an+1=an+(2n-1), ∴a2=a1+(2×1-1)=1, a3=a2+(2×2-1)=4, a4=a3+(2×3-1)=9, a5=a4+(2×4-1)=16, ∴它的前五项为0,1,4,9,16,此数列又可写成 (1-1)2,(2-1)2,(3-1)2,(4-1)2,(5-1)2,…,
第二章 2.1 第2课时

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(1-1)2,(2-1)2,(3-1)2,(4-1)2,(5-1)2,…, 故该数列的一个通项公式为an=(n-1)2. 3an (2)∵a1=3,an+1= , an+3 3 3 3 3 ∴a2= ,a3= ,a4= ,a5= , 2 3 4 5 3 3 3 3 它的前五项依次为3, , , , . 2 3 4 5 3 故它的一个通项公式为an= . n [点评] 已知数列的递推公式写出数列的前五项是高考的

基本要求.归纳猜想数列的通项公式可锻炼学生的观察能力与 推理能力.
第二章 2.1 第2课时

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在数列{an}中,a1=1,4an+1-anan+1+2an=9(n∈N+),写
出它的前4项并归纳出用n表示an的式子. [分析] 通过已知条件,我们可以找到an与an+1的递推关 系式,再通过所求的递推关系我们可以求出这个数列的前4 项. [解析] ∵4an+1-anan+1+2an=9(n∈N+),

∴an+1(4-an)+2an=9. ∴an+1(4-an)=9-2an. 9-2an ∴an+1= . 4-an
第二章 2.1 第2课时

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9-2a1 9-2×1 7 ∴a2= = = , 3 4-a1 4-1 7 9-2a2 9-2×3 13 a3= = = , 7 5 4-a2 4- 3 13 9-2a3 9-2× 5 19 a4= = = . 13 7 4-a3 4- 5 7 13 19 故这个数列的前4项为1, , , ,可归纳出通项公式 3 5 7 6n-5 an= . 2n-1
第二章 2.1 第2课时

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递推公式在实际问题中的应用 某人上一段11级的楼梯,如果一步可上一级,

也可上两级,则他共有多少种不同的上楼梯的方法?
[解析] 设此人上n级楼梯共有an种不同的方法.当第一步 上一级时,则余下n-1级楼梯,有an-1种不同的上法;当第一

步上两级时,则余下n-2级楼梯,共有an-2种不同的上法,
∴an=an-1+an-2. 显然,a1=1,a2=2,∴a3=3,a4=5,a5=8,a6=13, a7=21,a8=34,a9=55,a10=89,a11=144. ∴共有144种不同的上楼梯的方法.
第二章 2.1 第2课时

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△ABC是等边三角形,其边长为a1=a,取△ABC的三边中 点连线,则形成一个等边三角形△A1B1C1,其边长为a2,再取

△A1B1C1的三边中点连线,又形成△A2B2C2也为等边三角形,
其边长为a3,…,则数列{an}的递推公式为________.

? ?n=1? ?a [答案] an=?1 a - ?n≥2,且n∈N+? ? ?2 n 1

第二章

2.1

第2课时

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[解析] 由几何知识知,等边三角形各边中点连线为三角 形的中位线,其长度为原等边三角形边长的一半. ∴{an}的递推公式为 ? n=1 ?a an=?1 . a - ?n≥2,且n∈N+? ? ?2 n 1

第二章

2.1

第2课时

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由递推公式求通项公式

已知数列{an},a1=1,an=an-1+ (n≥2),求数列{an}的通项公式.

1 n?n-1?

1 [解析] an=an-1+ ,(n≥2), n?n-1? 1 1 1 ∴a2-a1= ,a -a = ,a -a = , 2×1 3 2 3×2 4 3 4×3 …… 1 an-an-1= (n≥2). n?n-1? 以上各式相加,得
第二章 2.1 第2课时

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1 1 1 1 an-a1= + + +…+ . 2×1 3×2 4×3 n?n-1? 1 1 1 又 = - , n?n-1? n-1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴an-a1=1- + - + - +…+ - =1- , 2 2 3 3 4 n n-1 n 1 1 2n-1 ∴an=a1+1- =2- = (n≥2). n n n 2n-1 a1=1满足上式,∴an= (n∈N*). n
[点评] 对于由递推公式给出的数列,认真观察,发现式 子特点,像an=f(n)+an-1或an-an-1=g(n)这种形式常用叠加法 解决.
第二章 2.1 第2课时

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已知数列{an},a1=1,(n+1)an+1=nan,求通项公式an.

an+1 n [解析] ∵(n+1)an+1=nan,∴ = . an n+1 a2 1 a3 2 a4 3 ∴ = , = , = ,…… a1 2 a2 3 a3 4 an n-1 = (n≥2). n an-1 an 1 以上各式相乘,得 = . a1 n a1 1 1 ∵an= = (n≥2),又a1=1满足上式,∴an= (n∈N*). n n n
第二章 2.1 第2课时

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易错疑难辨析

第二章

2.1

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已知数列{an},a1=a(a>0,a≠1),an=a· an- lgan,如果数列{bn}是递增数列,求a的取 1(n≥2),定义bn=an· 值范围.
an [错解] ∵an=a· an-1(n≥2),∴ =a(n≥2). an-1 a2 a3 a4 an ∴ =a, =a, =a,…, =a(n≥2). a1 a2 a3 an-1 将以上各式相乘,得
?n-1?个 an = a· a· a· …· a =an-1, a1

∴an=a1· an-1=an(n≥2),
第二章 2.1 第2课时

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又a1=a满足上式,∴an=an(n∈N*). ∴bn=an· lgan=an· lgan=nanlga, 由bn<bn+1,得nanlga<(n+1)an+1lga, n 1 * 即a> ,对一切n∈N 恒成立,∴a> . 2 n+1

[辨析] 上述解法分离参数a时,忽视了对正数a与1的大 n 小关系的比较.另外,对于数列{ }的项的变化趋势理解不 n+1 深刻是错求a的范围的又一原因.

第二章

2.1

第2课时

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an [正解] ∵an=a· an-1(n≥2),∴ =a(n≥2). an-1 a2 a3 a4 an ∴ =a, =a, =a,…, =a(n≥2). a1 a2 a3 an-1 将以上各式相乘,得 an =an-1,∴an=a1an-1=an(n≥2). a1 又a1=a满足上式,∴an=an(n∈N*). ∴bn=an· lgan=an· lgan=nan· lga. 由bn<bn+1得nan· lga<(n+1)an+1· lga
第二章


2.1 第2课时

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(1)当a>1时,lga>0,①式为n<(n+1)a对一切n∈N+恒成 立, n 即a> 对一切n∈N+恒成立, n+1 n 1 n 由于数列{ }={1- }为递增数列,且 <1, n+1 n+1 n+1 ∴a>1.

第二章

2.1

第2课时

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(2)当0<a<1时,lga<0, ①式为n>(n+1)a, n 即a< 对一切n∈N+恒成立. n+1 1 n 1 由于 ≤ <1,∴0<a< . 2 n+1 2 1 综上所述,数列{bn}是递增数列时a的取值范围是(0, )∪ 2 (1,+∞).

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2.1

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课时作业
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第二章

2.1

第2课时


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