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直线与方程知识点与经典例题


直线与方程知识点与经典例题
一、知识点
(1)直线的倾斜角 定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与 x 轴平行或重合时,我们 规定它的倾斜角为 0 度。因此,倾斜角的取值范围是 0°≤α <180° ? ? ? 9 0 ? 性质: 直线的倾斜角 α=90°时, 斜率不存在, 即直线与 y 轴平行或者重合. 当 α=0°时,

斜率 k=0; 当 0? 时,斜率 k ? 0 ,随着 α 的增大,斜率 k 也增大;当 90? ? ? ? 180? 时,斜率 k ? 0 ,随着 α 的增大,斜率 k 也增大. (2)直线的斜率 ①定义:倾斜角不是 90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用 k 表示。即 k ? tan ? 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当 ? ? 0? ,90? 时, k ? 0 ; ②过两点的直线的斜率公式: k ?

?

?

? 当 ? ? 90? ,180? 时, k ? 0 ; 当 ? ? 90 时, k 不存在。

?

?

y 2 ? y1 ( x1 ? x2 ) x2 ? x1

注意下面四点:(1)当 x1 ? x 2 时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为 90°; (2)k 与 P1、P2 的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 (3)直线方程 ①点斜式: y ? y1 ? k ( x ? x1 ) 直线斜率 k,且过点 ?x1, y1 ? 注意:当直线的斜率为 0°时,k=0,直线的方程是 y=y1。 当直线的斜率为 90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因 l 上每一点的横坐 标都等于 x1,所以它的方程是 x=x1。 ②斜截式: y ? kx ? b ,直线斜率为 k,直线在 y 轴上的截距为 b ③两点式: ④截矩式:

y ? y1 x ? x1 ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )直线两点 ?x1, y1 ? , ?x2 , y2 ? y2 ? y1 x2 ? x1

x y ? ?1 a b 其中直线 l 与 x 轴交于点 ( a,0) ,与 y 轴交于点 (0, b) ,即 l 与 x 轴、 y 轴的截距分别为 a , b 。

⑤一般式: Ax ? By ? C ? 0 (A,B 不全为 0) 1 各式的适用范围 2 特殊的方程如: 注意:○ ○ 平行于 x 轴的直线: y ? b (b 为常数) ; 平行于 y 轴的直线: x ? a (a 为常数) ; (5)直线系方程:即具有某一共同性质的直线 (一)平行直线系 平行于已知直线 A0 x ? B0 y ? C0 ? 0( A0 , B0 是不全为 0 的常数)的直线系: A0 x ? B0 y ? C ? 0 (C 为常数) (二)垂直直线系 垂直于已知直线 A0 x ? B0 y ? C0 ? 0 ( A0 , B0 是不全为 0 的常数)的直线系: B0 x ? A0 y ? C ? 0 (C 为常数) (三)过定点的直线系 (ⅰ)斜率为 k 的直线系: (ⅱ)过两条直线 l1 :

y ? y0 ? k ?x ? x0 ? ,直线过定点 ?x0 , y0 ? ;

A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的交点的直线系方程为

,其中直线 l 2 不在直线系中。 ?A1x ? B1 y ? C1 ? ? ?? A2 x ? B2 y ? C2 ? ? 0 ( ? 为参数) (6)两直线平行与垂直 当 l1 : y ? k1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b2 时,

l1 // l 2 ? k1 ? k 2 , b1 ? b2 ; l1 ? l 2 ? k1k 2 ? ?1 注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。
1

(7)两条直线的交点

l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 相交
A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 交点坐标即方程组 ? 的一组解。 ? A x ? B y ? C ? 0 2 2 ? 2

方程组无解 ? l1 // l 2 ; 则 | AB |? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2

方程组有无数解 ? l1 与 l 2 重合

B x2 , y2) (8)两点间距离公式:设 A( x1 , y1 ),( 是平面直角坐标系中的两个点,
(9)点到直线距离公式:一点 P?x0 , y0 ? 到直线 l1 : Ax ? By ? C ? 0 的距离 d ? Ax0 ? By0 ? C
A2 ? B 2

(10)两平行直线距离公式 在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解。 填空或选择可以用: l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 l 2 : Ax ? By ? C2 ? 0

d?

C1 ? C2 A2 ? B 2

二、经典例题
【例 1】(1)已知 A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线 AB, BC, CA 的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角. (2)已知三点 A(a,2),B(3,7),C(-2,-9a)在一条直线上,求实数 a 的值.

【例 2】已知两点 A (-2,- 3) , B (3, 0) ,过点 P (-1, 2)的直线 l 与线段 AB 始终有公共点,求直线 l 的斜率 k 的 取值范围.

【例 3】 (1)已知直线 l1 经过点 M(-3,0) ,N(-15,-6) , l2 经过点 R(-2,
l2 是否平行?

3 5 ) ,S(0, ) ,试判断 l1 与 2 2

(2) l1 的倾斜角为 45°, l2 经过点 P(-2,-1) ,Q(3,-6) ,问 l1 与 l2 是否垂直?

2

【例 4】已知直线 l 经过点 P(?5, ?4) ,且 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 5,求直线 l 的方程.

【例 5】经过点 A(1, 2) 并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条?请求出这些直线的方程

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特级教师 王新敞
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【例 6】写出过两点 A(5,0),B(0,-3) 的直线方程的两点式、点斜式、斜截式、截距式和一般式方程.

【例 7】已知直线 l 的方程为 3x+4y-12=0,求与直线 l 平行且过点(-1,3)的直线的方程.

【例 8】 已知 a 为实数,两直线 l1 : ax ? y ? 1 ? 0 , l 2 : x ? y ? a ? 0 相交于一点,求证:交点不可能 在第一象限及 x 轴上.

3

【例 9】若直线 l:y=kx ? 3 与直线 2x+3y-6=0 的交点位于第一象限,求直线 l 的斜率的取值范围.

【例 10】直线 2x-y-4=0 上有一点 P,求它与两定点 A(4,-1),B(3,4)的距离之差的最大值.

【例 11】已知点 A ? ?2,3? 到直线 y ? ax ? 1 的距离为 2 ,求 a 的值;

【例 12】求与直线 l1 : 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 及 l2 : 4 x ? 6 y ? 5 ? 0 都平行且到它们的距离都相等的直线方程.

4

经典例题
【例 1】(1)已知 A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线 AB, BC, CA 的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角. (2)已知三点 A(a,2),B(3,7),C(-2,-9a)在一条直线上,求实数 a 的值. 1? 2 1 解:(1) 直线 AB 的斜率 k1 ? ? >0, 所以它的倾斜角 α 是锐角; ?4 ? 3 7

?1 ? 1 1 ? ? <0, 所以它的倾斜角 α 是钝角; 0?4 2 ?1 ? 2 直线 CA 的斜率 k3 ? ? 1 >0, 所以它的倾斜角 α 是锐角. 0?3 7 ? (?9a) 7 ? 9a 7?2 5 (2) k AB ? , kBC ? . ? ? 3? a 3? a 3 ? (?2) 5 ∵ A、B、C 三点在一条直线上, 5 7 ? 9a ∴ k AB ? kBC , 即 , ? 3? a 5 2 解得 a ? 2 或 a ? . 9
直线 BC 的斜率 k2 ? 【例 2】已知两点 A (-2,- 3) , B (3, 0) ,过点 P (-1, 2)的直线 l 与线段 AB 始终有公共点,求直线 l 的斜率 k 的 取值范围. 2 ? (?3) 解:如图所示, 直线 PA 的斜率是 k1 ? ?5, ?1 ? (?2) 0?2 1 直线 PB 的斜率是 k2 ? ?? . 3 ? (?1) 2 当直线 l 由 PA 变化到 y 轴平行位置 PC, 它的倾斜角由锐角 ? (tan ? ? 5) 增至 90°, 斜率的变化范围是[5, ?? ) ; 1 1 当直线 l 由 PC 变化到 PB 位置,它的倾斜角由 90°增至 ? (tan ? ? ? ) ,斜率的变化范围是 (??, ? ] . 2 2 1 所以斜率的变化范围是 (??, ? ] ? [5, ??) . 2 【例 3】 (1)已知直线 l1 经过点 M(-3,0) ,N(-15,-6) , l2 经过点 R(-2,
l2 是否平行?

3 5 ) ,S(0, ) ,试判断 l1 与 2 2

(2) l1 的倾斜角为 45°, l2 经过点 P(-2,-1) ,Q(3,-6) ,问 l1 与 l2 是否垂直? 5 3 ? 1 0 ? (?6) 1 解: (1) ∵ k MN = ? , k RS ? 2 2 ? . ∴ l1 // l2 . 0 ? (?2) 2 ?3 ? (?15) 2 ?6 ? (?1) (2) ∵ k1 ? tan 45? ? 1 , k2 ? ? ?1 , k1k2 ? ?1 , ∴ l1 ⊥ l2 . 3 ? (?2) 【例 4】已知直线 l 经过点 P(?5, ?4) ,且 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 5,求直线 l 的方程. 解:由已知得 l 与两坐标轴不垂直. ∵直线 l 经过点 P(?5, ?4) ,∴ 可设直线 l 的方程为 y ? (?4) ? k[ x ? (?5)] ,即 y ? 4 ? k ( x ? 5) . 4 则直线 l 在 x 轴上的截距为 ? 5 ,在 y 轴上的截距为 5k ? 4 . k 根据题意得

1 4 ? ? 5 ? 5k ? 4 ? 5 ,即 (5k ? 4)2 ? 10 | k | . 2 k

2 8 当 k ? 0 时,原方程可化为 (5k ? 4)2 ? 10k ,解得 k1 ? , k2 ? ; 5 5 当 k ? 0 时,原方程可化为 (5k ? 4)2 ? ?10k ,此方程无实数解.

5

2 8 故直线 l 的方程为 y ? 4 ? ( x ? 5) ,或 y ? 4 ? ( x ? 5) . 5 5 即 2 x ? 5 y ? 10 ? 0 或 8 x ? 5 y ? 20 ? 0 .
【例 5】经过点 A(1, 2) 并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条?请求出这些直线的方程 解:当截距为 0 时,设 y ? kx ,过点 A(1, 2) ,则得 k ? 2 ,即 y ? 2 x ; 当截距不为 0 时,设

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x y x y ? ? 1, 或 ? ? 1, 过点 A(1, 2) , a a a ?a

则得 a ? 3 ,或 a ? ?1 ,即 x ? y ? 3 ? 0 ,或 x ? y ? 1 ? 0 这样的直线有 3 条: y ? 2 x , x ? y ? 3 ? 0 ,或 x ? y ? 1 ? 0
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【例 6】写出过两点 A(5,0),B(0,-3) 的直线方程的两点式、点斜式、斜截式、截距式和一般式方程. y ? (?3) 0 ? (?3) 解:两点式方程: ; ? x?0 5?0 点斜式方程: y ? (?3) ? 斜截式方程: y ? 截距式方程:

0 ? (?3) 3 ( x ? 0) ,即 y ? (?3) ? ( x ? 0) ; 5?0 5

0 ? (?3) 3 ? x ? 3 ,即 y ? ? x ? 3 ; 5?0 5

y x ? ?1; 5 ?3 一般式方程: 3x ? 5 y ? 15 ? 0 . 【例 7】已知直线 l 的方程为 3x+4y-12=0,求与直线 l 平行且过点(-1,3)的直线的方程. 3 解:直线 l:3x+4y-12=0 的斜率为 ? , 4 3 ∵ 所求直线与已知直线平行, ∴所求直线的斜率为 ? , 4 3 又由于所求直线过点(-1,3) ,所以,所求直线的方程为: y ? 3 ? ? ( x ? 1) ,即 3x ? 4 y ? 9 ? 0 .. 4
【例 8】 已知 a 为实数,两直线 l1 : ax ? y ? 1 ? 0 , l 2 : x ? y ? a ? 0 相交于一点,求证:交点不可能 在第一象限及 x 轴上. 解:解方程组 ?

?ax ? y ? 1 ? 0, a ?1 a2 ?1 , 得交点(- ). a ? 1 a ? 1 x ? y ? a ? 0, ?

a ?1 a2 ?1 若 >0,则 a >1.当 a >1 时,- <0,此时交点在第二象限内.又因为 a 为任意实数时,都有 a ?1 a ?1

a 2 ? 1 ? 1>0,故

a2 ?1 ≠0.因为 a ≠1(否则两直线平行,无交点) ,所以,交点不可能在 x 轴上 a ?1

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王新敞

【例 9】若直线 l:y=kx ? 3 与直线 2x+3y-6=0 的交点位于第一象限,求直线 l 的斜率的取值范围. 解:如图,直线 2x+3y-6=0 过点 A(3,0) ,B(0,2) ,直线 l:y=kx ? 3 必过点(0,- 3 ). 当直线 l 过 A 点时,两直线的交点在 x 轴;当直线 l 绕 C 点逆时针(由位置 AC 到位置 BC)旋转时,

6

交点在第一象限. 根据 k AC ?

3 ? 3?0 3 ,得到直线 l 的斜率 k> . ? 3 0?3 3

? 3 ? ∴倾斜角范围为 ? , ?? ? ? ?. ? 3 ? 【例 10】直线 2x-y-4=0 上有一点 P,求它与两定点 A(4,-1),B(3,4)的距离之差的最大值. 解:找 A 关于 l 的对称点 A′,A′B 与直线 l 的交点即为所求的 P 点. 设 A '(a, b) , 则
? b ?1 ? 2 ? ?1 ? ?a ? 0 ?a ? 4 ,解得 ? , 所以线段 | A' B |? (4 ? 1)2 ? (3 ? 0)2 ? 3 2 . ? b ? 1 4 ? a b ? 1 ? ?2 ? ? ?4?0 ? ? 2 2

【例 11】已知点 A ? ?2,3? 到直线 y ? ax ? 1 的距离为 2 ,求 a 的值; 解:? y ? ax ? 1,? ax ? y ? 1 ? 0, ? d ? ?2a ? 3 ? 1 ? 2a ? 2 ?

a ?1
2

a ?1
2

2, ? 2a ? 2 ? 2a 2 ? 2,

?4a 2 ? 8a ? 4 ? 2a 2 ? 2, ?2a2 ? 8a ? 2 ? 0,?a ? 3 ? 2或a ? ? 3 ? 2.
【例 12】求与直线 l1 : 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 及 l2 : 4 x ? 6 y ? 5 ? 0 都平行且到它们的距离都相等的直线方程. 解:直线 l1 的方程化为 4 x ? 6 y ? 2 ? 0 . 设所求直线的方程为 4 x ? 6 y ? C ? 0 , | ?2 ? C | | ?5 ? C | 7 7 ? 则 ,即 | C ? 2 |?| C ? 5 | ,解得 C ? ? . 所以所求直线方程为 4 x ? 6 y ? ? 0 . 2 2 2 2 2 2 4 ?6 4 ?6

7


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