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2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)理科数学含答案


2014 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)
数学(理工农医类)
一、 选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每个小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的 1. 满足 A.

z ?i ? i (i为虚数单位) 的复数 z ? z
B.

1 1 ? i 2 2

>
1 1 1 1 ? i C. ? ? i 2 2 2 2

D. ?

1 1 ? i 2 2

2.对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层 抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别是 p1 , p2 , p3 , 则 A. p1 ? p2 ? p3 B. p2 ? p3 ? p1 C. p1 ? p3 ? p2 D. p1 ? p2 ? p3 3.已知 f ( x), g ( x) 分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且 f ( x) ? g ( x) ? x3 ? x 2 ? 1,

则f (1) ? g (1) =
A.-3 B.-1 C.1 D.3
5 4. ( x ? 2 y ) 的展开式中 x 2 y 3 的系数是

1 2

A.-20 B.-5 C.5 D.20 5.已知命题 p : 若x ? y, 则 ? x ? ? y; 命题q : 若x ? y, 则x2 ? y 2 . 在命题 ① p ? q ② p ? q ③ p ? (?q) ④ (?p) ? q 中,真命题是 A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 6.执行如图 1 所示的程序框图,如果输入的 t ?[?2, 2] ,则输出的 S 属于 A. [?6, ?2] B. [?5, ?1] C. [?4,5] D. [?3, 6]

开始 输入t t<0? 否 是 t =2t +1
2

6 8 正视图
S=t-3

侧视图

12
输出S

结束
图1

俯视图
图2

7.一块石材表示的几何何的三视图如图 2 所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得 到的最大球的半径等于 A.1 B.2 C.3 D.4

第 1 页 共 10 页

8.某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为 p ,第二年的增长率为 q ,则该 市这两年生产总值的年平均增长率为 A.

p?q 2

B.

( p ? 1)( q ? 1) ? 1 C. pq 2
2? 3 0

D. ( p ? 1)(q ? 1) ?1

9.已知函数 f ( x) ? sin( x ? ? ), 且 ? A. x ?

f ( x)dx ? 0, 则函数 f ( x) 的图象的一条对称轴是

5? 6

B. x ?

7? 12

C. x ?

?
3

D. x ?

?
6

2 x 10.已知函数 f ( x) ? x ? e ?

1 ( x ? 0)与g ( x) ? x 2 ? ln( x ? a) 的图象上存在关于 y 轴对 2

称的点,则 a 的取值范围是 A. (??,

1 ) e

B. (??, e ) C. (?

1 , e) e

D. ( ? e ,

1 ) e

二、填空题:本大题共 6 小题,考生作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. (一)选做题(请考生在第 11,12,13 三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记 分) 11.在平面直角坐标系中,倾斜角为

? x ? 2 ? cos ? ? 的直线 l 与曲线 C : ? 交于 ,(?为参数) 4 ? y ? 1 ? sin ?

A,B 两点,则 |AB |=2 ,以坐标原点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则 直线 l 的极坐标方程是
12.如图 3,已知 AB, BC 是 O 的两条弦, AO ? BC, AB ? 3, BC ? 2 2, 则 O 的半 径等于
B

y G

F

A

O

A
O

D C

E

x

C

B

图3 图4 13.若关于 x 的不等式 | ax ? 2 |? 3 的解集为 {x | ? (二)必做题(14-16 题)

5 1 ? x ? } ,则 a ? 3 3

? y?x ? 14.若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ,且 z ? 2 x ? y 的最小值为-6,则 k ? ? y?k ?

第 2 页 共 10 页

15.如图 4,正方形 ABCD和正方形DEFG 的边长分别为 a, b(a ? b) ,原点 O 为 AD 的 中点,抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 经过 C , F 两点,则

b ? a

16.在平面直角坐标系中, O 为原点, A(?1,0), B(0, 3), C(3,0), 动点 D 满足 的最大值是 | CD |? 1, 则| OA ? OB ? OD | 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为 组研发新产品 A ,乙组研发新产品 B .设甲、乙两组的研发相互独立. (1) 求至少有一种新产品研发成功的概率; (2) 若新产品 A 研发成功,预计企业可获利润 120 万元;若新产品 B 研发成功,预计企业 可获利润 100 万元.求该企业可获利润的分布列和数学期望. 18. (本小题满分 12 分) 如图 5,在平面四边形 ABCD 中, AD=, 1 CD=2,AC= 7. (1) 求 cos ?CAD 的值; (2) 若 cos ?BAD ? ?

2 3 和 .现安排甲 3 5

A D

7 21 ,sin ?CBA ? , 求 BC 的长. 14 6

B
19. (本小题满分 12 分) 如图 6,四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的所有棱长都相等, AC 四边形 ACC1 A 1和四边形BDD 1B 1 均为矩形. (1) 证明: O1O ? 底面ABCD; (2) 若 ?CBA ? 60? ,求二面角 C1 ? OB1 ? D 的余弦值.

C
BD ? O, AC 1 1
A1 O1 B1 A B O C
图6

B1D1 ? O1 ,
D1 C1 D

第 3 页 共 10 页

20. (本小题满分 13 分) 已知数列{ an }满足 a1 ? 1,| an?1 ? an |? pn , n ? N *. (1) 若{ an }是递增数列,且 a1 , 2a2, 3a3 成等差数列,求 p 的值; (2) 若 p ?

1 ,且 ?a2n?1? 是递增数列, ?a2 n ? 是递减数列,求数列 ?an ? 的通项公式. 2

21. (本小题满分 13 分)

x2 y 2 如图 7, O 为坐标原点,椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 a b x2 y 2 F1 , F2 ,离心率为 e1 ;双曲线 C2 : 2 ? 2 ? 1 的左、右焦点分别为 F3 , F4 ,离心率为 a b

e2 .已知 e1e2 ?

3 , 且 | F2 F4 |? 3 ?1. 2

⑴ 求 C1 , C2 的方程; ⑵ 过 F1 作 C1 的不垂直于 y 轴的弦 AB 的中点.当直线 OM 与 C2 交于 P, Q 两点时, 求四边形 APBQ 面积的最小值.

22. (本小题满分 13 分) 已知常数 a ? 0, 函数f ( x) ? ln(1 ? ax) ?

2x . x?2

(1) 讨论 f ( x ) 在区间 (0, ??) 上的单调性; (2) 若 f ( x ) 存在两个极值点 x1 , x2 , 且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, 求 a 的取值范围.

第 4 页 共 10 页

答案: BDCAC DBDAB 11 ? cos ? ? ? sin ? ? 1 ? 0 15. 12. 1.5 13. -3 14. -2

2 ?1

16. 2 3

17. 解:(1)记事件 C={至少有一种新产品研发成功},A={甲组研发新产品 A 成功},B={乙 组研发新产品 B }

? 2 ?? 3 ? 13 P ? C ? ? 1 ? P ? C ? ? 1 ? P ? AB ? ? 1 ? P ? A ? P ? B ? ? 1 ? ?1 ? ??1 ? ? ? ? 3 ?? 5 ? 15
答: (2)设可获得利润为 X,X=0,120,100,220

3? 2? 1 ? 2 ?? 3 ? 2 , P ? X ? 100 ? ? ?1 ? ? ? P ? X ? 0 ? ? ?1 ? ??1 ? ? ? 5? 3? 5 ? 3 ?? 5 ? 15 2 3 2 2? 3? 4 , P ? X ? 220 ? ? ? ? P ? X ? 120 ? ? ?1 ? ? ? 3 5 5 3 ? 5 ? 15
X P(X) 0 100 120 220

1 4 2 5 15 5 2 1 4 2 E ? X ? ? 0 ? ? 100 ? ? 120 ? ? 220 ? ? 140 (万元) 15 5 15 5

2 15

答: 解:(1) cos ?CAD ?

AC 2 ? AD 2 ? CD 2 2 AC AD
2

? 7? ?
(2)

? 12 ? 22

2 7

?

2 7 7

?BAD, ?CAD ? ? 0, ? ?
27 3 , sin ?CAD ? 1 ? cos 2 ?CAD ? 2 7 7
3 3 2 ? 7? 3 3 ?? ? ? ? ? 2 2 7 7 ? ? 14 ? 7

∴ sin ?BAD ? 1 ? cos 2 ?BAD ?

sin ?BAC ? sin ? ?BAD ? ?CAD ? ?

由正弦定理可得

AC BC ? 代入数据即得 sin ?CBA sin ?BAC
∴ BC ?

7 BC ? 21 3 6 2

7?

3 6 ? ?3 2 21

第 5 页 共 10 页

19. 解:∵四边形 ACC1 A 1和四边形BDD 1B 1 均为矩形, ∴ AC AC , 1 1∥

B1D1∥ BD , AA1 ? AC , B1B ? BD
B1

z
A1 O1 C1 A O B D C D1

∵四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的所有棱长都相等,

1 1 A1C1 , AO ? CO ? AC 2 2 ∴ AAO 1 1O , BB 1O 1O 均为矩形,
∴ A1O1 ? C1O1 ? ∴ O1O ? AC , O1O ? BD ,

y

x

BD ? O ∴ O1O ? 底面 ABCD
又∵ AC (2)∵ ABCD 为菱形, ∴ AC ? BD ,由(1)可以 O 为原点, OC , OD , OO1 分别为 x, y, z 轴建立空间直 角坐标系,如图所示.由 ?CBA ? 60? ,不妨设 BC ? 2 , OC ? 1 , OB ? 3 ,

B 0, ? 3,0 B1 0, ? 3,2 , C ?1,0,0? , C1 ?1,0,2? D 0, 3,0 ,记平面 OB1D 的法
向量 m ? ?1,0,0? ,设平面 OB1C1 的法向量为 n ? ? x, y, z ? ,由 OB1 n ? 0 ,

?

? ?

?

?

?

OC1 n ? 0 , OB1 ? 0, ? 3, 2 , OC1 ? ?1,0, 2 ? 得
? ? 3? ?? 3 y ? 2 z ? 0 令 y ? 1 ,即得 n ? ? 3,1, ? ? ? 2 ? ? ?x ? 2z ? 0 ? ?

?

?

cos m, n ?

mn ? m n

3 3 ?1? 3 4

?

2 57 19
2

20. 解:(1) { an }是递增数列, a2 ? a1 ? a2 ? a1 ? p , a3 ? a2 ? a3 ? a2 ? p , a1 ? 1 可得 a2 ? 1 ? p , a3 ? a2 ? p2 ? 1 ? p ? p2 ,又 a1 , 2a2 ,3a3 成等差数列,即

4a2 ? a1 ? 3a3
4 ?1 ? p ? ? 1 ? 3 ?1 ? p ? p 2 ? 整理即 3 p2 ? p ? 0 解得 p ?
(2)依题意得 a2 ? 1 ? 当 a2 ?

1 , p ? 0 (舍) 3

1 1 3 , a2 ? 或 a2 ? 2 2 2

1 3 1 1 1 , a3 ? ? , a3 ? ? a1 ? 1 或 a3 ? ? a1 ? 1 ,与 ?a2n?1? 是递增数列矛盾. 2 4 4 2 4

∴ a2 ? a1 ?

1 3 ? 2 2

第 6 页 共 10 页

这时 a3 ? 当 a3 ?

5 7 3 1 ? , a3 ? 或 a3 ? 4 4 2 4

7 13 3 15 3 7 1 ? a2 ? 或 a4 ? ? a2 ? 与 ?a2 n ? 是递减数列 时, a4 ? ? , a4 ? 4 8 2 8 2 4 8

矛盾,∴ a3 ? a2 ? 当 a3 ?

1 1 1 5 ? a1 ? ? 2 ? 2 2 2 2 4

5 9 1 1 1 1 11 5 1 时, a4 ? ? , a4 ? (舍)或 a4 ? a3 ? 3 ? a1 ? ? 2 ? 3 ? 4 8 2 2 2 2 8 4 8

若 n 为偶数, an ? an?1 , an ? an?1 ? an ? an?1 ? 21?n 若 n 为奇数, an ? an?1 , an ? an?1 ? an?1 ? an ? 21?n 若 n 为偶数时,

?1? an ? an?1 ? ? ? ?2?
?1 1 ? 1? ? ? 3 ? ?2 2

n ?1

?1? ? an?2 ? ? ? ? 2?
?

n ?2

?1? ?? ? ? 2?

n ?1

1 1 1 ? 1? ? 2 ? 3 ? 2 2 2
1 ? ? 2 ?
n ?2

?1? ?? ? ?2?

n?2

?1? ?? ? ?2?

n ?1

1 ? ?1 1 ??? ? ? 2n?1 ? ? 22 24

?

1 1 1 1 1 1 ? n ?1 ? n?2 2 4 ? 1? 4 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? 1? 4 ? 1 ? 1 ? ? 4 ? 2 1 ? 1? 2 2 4 ? 2 2 ? ? ? ? 1 1 3 ? 2 2n ?1 22 2n ? 3 ? 4 2n ?1 ? 3 3 2n 1? 1? 4 4
若 n 为奇数时, an ? an?1 ? ? ?

?1? ?2?

n ?1

?

4 2 1 1 4 2 1 ? ? n?1 ? ? n ?1 3 3 2 2 3 3 2n

4 2? 1? ∴ an ? ? ? ? ? 3 3? 2?

n

? n ? N *?

2 21.解:⑴ a2 ? b2 ? c1 ①

2 ② a2 ? b2 ? c2

e1e2 ?

c1 c2 3 ? ③ a a 2

F1F2 ? c2 ? c1 ? 3 ? 1 ④
3 2 a 2

2 2 ①+②,得 2a2 ? c1 ,由③得 c1c2 ? ? c2

由④得 c1 ? c2 ? 2c1c2 ?
2 2

?

3 ?1 ? 4 ? 2 3
2

?

2

2 2 代入即得 2a ? 3a ? 4 ? 2 3 , a ? 2

第 7 页 共 10 页

a ? 2 , c1c2 ?

3 2 a ? 3 c2 ? c1 ? 3 ?1 , 2

c1 ? 1 , c2 ? 3 , b2 ? 1
∴ C1 :

x2 x2 ? y 2 ? 1 , C2 : ? y 2 ? 1 . 2 2 x2 ? y 2 ? 1 中, 2

(2)若 AB ? x 轴,在 C1 : 令 x ? ?1 得 y ? ?

AB ? PQ , S APBQ

2 , AB ? 2 y ? 2 , P ? 2, 0 , Q 2 1 1 ? AB ? PQ ? ? 2 ? 2 2 ? 2 . 2 2

?

?

?

2, 0 , PQ ? 2 2 ,

?

若 AB 不与 x 轴垂直, 设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , M ? x0 , y0 ? , AB : y ? k ? x ?1? 与椭

? y ? k ? x ? 1? ? 2 2 2 2 圆方程联立得 ? x 2 消去 y ,整理得 ? 2k ? 1? x ? 4k x ? 2k ? 2 ? 0 2 ? ? y ?1 ?2 4k 2 2k 2 ? 2 , x1 x2 ? x1 , x2 为上式方程的两根, x1 ? x2 ? ? 2 2k ? 1 2k 2 ? 1
AB ?
2 x ? x ? 4 x1 x2 ? ? 1 ? k 2 ?1 ? k 2 ? ? ?? 1 2 ? ?

? 2k

16k 4
2

? 1?
2

2

?

4 ? 2k 2 ? 2 ? 2k 2 ? 1

2 1? k 2 ? 2k 2 ? 1
kOM ?

2 1? k 2 4k ? ? 2k ? 2 ?? 2k ? 1? ? 2k 2 ? 1
4 2 2

2k ? 2 ?

2 2 ?1 ? k 2 ? 2k 2 ? 1

2k 2 ? 2 ? 2 2 ? 2 2k ? 1

y0 ? 0 2 y0 y1 ? y2 k ? x1 ? x2 ? 2 ? 2k 2k 2 ? 1 1 ? ? ? ?k? ? k ? ?? 2 4k x0 ? 0 2 x0 x1 ? x2 x1 ? x2 2k 2k 2 2k ? 1
1 x 与双曲线方程联立即得 2k

OM : y ? ?

1 ? y?? x ? ? ?2k ? ? 2k 1 ?1 ? ? 2k 解得 P ? , Q? , , ? 2 ? ? 2 2 2 2 ? 2k ? 1 2 k ? 1 ? ? 2k ? 1 2k ? 1 ? ? x ? y2 ? 1 ? ?2

? ?2k ? 1 P? , ? 到直线 AB : kx ? y ? k ? 0 的距离是 2 2 ? 2k ? 1 2 k ? 1 ?

第 8 页 共 10 页

?2k 2 d1 ? 2k ? 1
2

?

1 2k 2 ? 1

?k ?

2k 2 ? 1 ? k 2k 2 ? 1

1? k 2

?1 ? k ?? 2k
2

2

? 1?

? 2k ?1 ? Q? , ? 到直线 AB : kx ? y ? k ? 0 的距离是 2 2 ? 2k ? 1 2k ? 1 ?

2k 2 d2 ? 2k ? 1
2

?

1 2k 2 ? 1

?k ?

2k 2 ? 1 ? k 2k 2 ? 1

1? k 2

?1 ? k ?? 2k
2

2

? 1?

2 2 ?1 ? k 2 ? 1 S ? AB ? d1 ? d2 ? ? 2 2k 2 ? 1

?1 ? k ?? 2k
2

2 ? 2k 2 ? 1?
2

? 1?

?

2 2 1? k 2 2k 2 ? 1

?

2 2 k2 2k 2

?2

综上所述,当 AB ? x 轴时, S APBQ 有最小值 2.

2 ? x ? 2 ? ? 2 x a ? x ? 2 ? ? 4 ?1 ? ax ? a ax 2 ? 4a ? 4 ? ? ? 22. 解:(1) f ? ? x ? ? 2 2 2 1 ? ax ? x ? 2? ?1 ? ax ?? x ? 2 ? ?1 ? ax ?? x ? 2 ?
2

令 f ? ? x ? ? 0 ∵ a ? 0, x ? 0

∴ ax ? 4a ? 4 ? 0
2

x2 ?

?4 ? a ? 1? a

① 当 ② 当

?4 ? a ? 1? ≤ 0 ,即 a ≥ 1 时, f ? ? x ? ≥ 0 , f ? x ? 在 ? 0, ? ?? 上 单调递增 a ?4 ? a ? 1? 1? a ? 0 ,即 0 ? a ? 1 时, x ? 2 ,此时 a a
? ? ? 1? a ? 2 ? 时, ax ? 4a ? 4 ? 0 , f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递减. a ? ?

∴当 x ? ? 0, 2

当 x ?? 2

? ? ?

? 1? a 2 , ? ?? 时, ax ? 4a ? 4 ? 0 , f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递增. ? a ?

第 9 页 共 10 页

(2)由 ?

?1 ? ax ? 0 1 得 x ? ? 且 x ? ?2 ,又∵ f ( x ) 存在两个极值点, a ?x ? 2 ? 0

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ln ? ??1 ? ax1 ??1 ? ax2 ?? ??

2 x1 ? x2 ? 2? ? 2 x2 ? x1 ? 2 ? ? x1 ? 2?? x2 ? 2?

2 ? ln ? ?1 ? a ? x1 ? x2 ? ? a x1 x2 ? ??

? ? x1 x2 ? 2 ? x1 ? x2 ? ? 4? ?
4 ? a ? 1? a

4 ? x1 x2 ? x1 ? x2 ?

其中 x1 , x2 是方程 ax ? 4a ? 4 ? 0 的两根, x1 ? x2 ? 0 , x1 x2 ?
2

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ln ? 2a ? 1? ?
2

4 ? a ? 1? ?0 2a ? 1

g ? x ? ? ln ?1 ? 2 x ? ?
2

4 ? x ? 1? ? 0 ? x ≤1? ,考虑到 g ?1? ? 0 2x ?1

g? ? x? ?

4 ? 2 x ? 1? ? 8 ? x ? 1? 8 ? x ? 1? 4 ? ? ≤ 0 , g ? x ? 在 ? 0,1? 在单调递减 2 2 2x ?1 ? 2 x ? 1? ? 2 x ? 1?

g ? x ? ? 0 ? g ?1? ? x ? 1
∴ a ? ? 0,1? .

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