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高中数学必修4第二章《平面向量》测试题


高中数学必修 4 第二章《平面向量》测试题
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是最符合题目要求的.) 1.下列向量组中,能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( A. a ? (0,0) , b ? (1, ?2) C. a ? (3,5) , b

? (6,10) B. a ? (1, ?2) , b ? (2, ?4) D. a ? (2, ?3) , b ? (6,9) ).

2.若 ABCD 是正方形, E 是 CD 的中点,且 AB ? a , AD ? b ,则 BE ? ( A. b ?

??? ?

????

).

1 a 2

B. b ?

1 a 2

C. a ?

1 b 2

D. a ?

1 b 2
).

3.若向量 a 与 b 不共线,a ? b ? 0 ,且 c ? a ?

(a ? a) ? b ,则向量 a 与 c 的夹角为( (a ? b)
C.

A.

π 2

B.

π 6

π 3

D.0

4.设 i , j 是互相垂直的单位向量,向量 a ? (m ? 1)i ? 3 j , b ? i ? (m ? 1) j ,

(a ? b) ? (a ? b) ,则实数 m 为(
A. ? 2 B.2

).

C. ?

1 2

D.不存在 ).

5.已知向量 a , b 满足 a ? 1 , b ? 4 ,且 a ? b ? 2 ,则 a 与 b 的夹角为( A.

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2
).

6.若平面向量 b 与向量 a ? (2,1) 平行,且 | b |? 2 5 ,则 b ? ( A. ( 4,2) B. (?4,?2) C. (6,?3)

D. ( 4,2) 或 (?4,?2)

7.在四边形 ABCD 中, AB ? a ? 2b ,BC ? ?4a ? b ,CD ? ?5a ? 3b , 则四边形 ABCD 是( ). A.长方形 B.平行四边形 C.菱形 8.下列说法正确的个数为( ). ① (?a) ? b ? ?(a ? b) ? a ? (?b) ; ③ ( a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c ; A.1 B.2 C.3 D.梯形

??? ?

??? ?

??? ?

② a?b ? a ? b ; ④ ( a ? b) ? c ? a ? ( b ? c ) ; D.4

第 1 页 共 7 页

9.在边长为 1 的等边三角形 ABC 中,设 BC ? a ,CA ? b , AB ? c ,则 a ?b ? b ?c ? c ?a 等于( A. ). B. ?

??? ?

???

??? ?

3 2

3 2

C.0

D.3 ).

10.已知 a , b 均为单位向量,它们的夹角为 60 ? ,那么 | a ? 3b |? ( A. 7 B. 10 C. 13 D. 4 ). C. 2a ? 2a ? b ). D.4 MD

11.若非零向量 a , b 满足 a ? b ? b ,则( A. 2b ? a ? 2b B. 2b ? a ? 2b

D. 2a ? 2a ? b

12.如图,点 M 是△ ABC 的重心,则 MA ? MB ? MC 为( A. 0

?

B.4 ME

C.4 MF

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 把答案填在题中的横线上.) 13.已知 a ? (2,3) , b ? ( ?4,7) ,则 a 在 b 上的投影等于___________. 14.已知 a ? (1,2) , b ? ( ?3, 2) ,若 ka ? b 与 a ? 3b 平行,则 k ? 15.已知三点 A(1, 2), B(2, ?1), C(2, 2) , E , F 为线段 BC 的三等分点, 则 AE ? AF = .

??? ??? ? ?



16.设向量 a 与 b 的夹角为 ? ,定义 a 与 b 的“向量积”: a ? b 是一个向量,它的模

| a ? b |? | a | ? | b | sin .若 a ? (? 3, ?1) , b ? (1, 3) ,则 | a ? b |? ?

.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步 骤.) 17. (本小题满分 10 分) 设向量 OA ? (3,1) , OB ? (?1,2) ,向量 OC ? OB , BC ∥ OA ,又 OD + OA = OC , 求 OD .

18.(本小题满分 12 分)
第 2 页 共 7 页

以原点 O 和 A(4,2) 为两个顶点作等腰直角三角形 OAB ,?B ? 90? ,求点 B 的坐标和

AB .

19. (本小题满分 12 分) 已知向量 OA ? (3, ?4), OB ? (6, ?3), OC ? (5 ? x, ?3 ? y) . (1)若点 A, B, C 能构成三角形,求 x, y 满足的条件; (2)若△ ABC 为等腰直角三角形,且 ? B 为直角,求 x, y 的值.

??? ?

??? ?

??? ?

20.(本小题满分 13 分) 已知 A(2,0) , B(0,2) , C (cos? , sin ? ) , (0 ? ? ? ?) . (1)若 | OA ? OC |? 7 ( O 为坐标原点) ,求 OB 与 OC 的夹角; (2)若 AC ? BC ,求 tan ? 的值.

21.(本小题满分 13 分) 如图, O, A, B 三点不共线,且 OC ? 2OA, OD ? 3OB ,设 OA ? a , OB ? b .

??? ?

??? ?

D
(1)试用 a , b 表示向量 OE ; (2)设线段 AB, OE, CD 的中点分别为 L, M , N , 试证明 L, M , N 三点共线.

N B L O M A E C

22.(本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系中, O 为坐标原点,已知向量 a ? ( ?1, 2) ,又点 A(8,0) , B(n, t ) ,

C (k sin ? , t ) ,其中 0 ? ? ?

? . 2

(1)若 AB ? a 且 | AB |? 5 | OA | ,求向量 OB ; (2)若向量 AC 与向量 a 共线,当 k ? 4 时,且 t sin ? 取最大值为 4 时,求 OA? OC .

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

????

第 3 页 共 7 页

第二章《平面向量》测试题参考答案
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是最符合题目要求的.) 1.D 2.B A,B,C 选项中的两个向量均共线,故选 D.

??? ??? ??? ???? 1 ??? ???? 1 ??? ? ? ? ? ? 1 BE ? BC ? CE ? AD ? CD ? AD ? AB ? b ? a . 2 2 2 ( a ? a )b a?a ] ? a?a ? a ? b ? a ? a ? a ? a ? 0, ∴ a ? c . 3.A ∵ a ? c ? a ? [a ? a?b a?b
4.A

(a ? b) ? (a ? b) ? [(m ? 2)i ? (m ? 4) j ] ? [mi ? (m ? 2) j ] ? (m ? 2)m ? (m ? 4)(m ? 2)
? 4m ? 8 ? 0 , 故 m ? ?2 . ? a?b 2 1 cos ? ? ? ? ,故 ? ? . 3 a b 4 2
设 b ? ka ? (2k , k ) ,而 | b |? 2 5 ,则 5k 2 ? 2 5 ,即 k ? ?2 ,故 b ? (4, 2)或

5.C

6.D

(?4, ?2) .
7.D

???? ??? ??? ??? ? ? ? ??? ? AD ? AB ? BC ? CD ? ?8a ? 2b ? 2BC ,且 | AD |?| BC | .
3 . 2

8.A 易知①③正确, 9.B 原式 ?| a | ? | b | cos120?? | b | ? | c | cos120?? | c | ? | a | cos120? ? ? 10.C 11.A 12.C

a ? 3b ? a 2 ? 6a ? b ? 9b 2 ? 1 ? 6cos 60? ? 9 ? 13 .

| 2b |?| b | ? | b |?| a ? b | ? | b |?| a ? b ? b |?| a ? 2b | .

MA ? MB ? MC ? 2MF ? (?2MF ) ? 4MF .

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 把答案填在题中的横线上.)

65 a?b 13 65 . | a | cos? ? ? ? 5 |b| 5 65 1 ka ? b ? k (1,2) ? (?3,2) , a ? 3b ? (1,2) ? 3( ?3,2) ? (10, ?4) , 14. ? 3 1 由 (ka ? b) //(a ? 3b) ,得 ?4(k ? 3) ? 10(2k ? 2), k ? ? . 3 1 15. 3 AB ? (1,?3) , BC ? (0,3) , AE ? AB ? BC ? (1,?2) , 3 2 AF ? AB ? BC ? (1,?1) , AE ? AF ? 1?1 ? (?2) ? (?1) ? 3 . 3
13.

第 4 页 共 7 页

16. 2

cos? ?

1 1 a?b 3 ,则 sin ? ? , | a ? b |? 2 ? 2 ? ? 2 . ?? 2 2 |a |?| b | 2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步 骤.) 17.解:设 OC ? ( x, y) , ∵ OC ? OB , ∴ OC ? OB ? 0 , ∴ 2 y ? x ? 0 ,① ∴ 3( y ? 2) ? ( x ? 1) ? 0 ,

又∵ BC ∥ OA , BC ? ( x ? 1, y ? 2) , 即 3 y ? x ? 7 ? 0 ,② 由①,②解得 x ? 14 , y ? 7 ,

, ∴ OC ? (14,7) ,则 OD = OC - OA ? (11 6) .
18.解:如图,设 B( x, y) ,则 OB ? ( x, y) , AB ? ( x ? 4, y ? 2) , ∵ ?B ? 90? , ∴ OB ⊥ AB ,

y B A C O x

∴ x( x ? 4) ? y( y ? 2) ? 0 ,即 x 2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ,① 设 OA 的中点为 C ,则 C (2,1) , OC ? (2,1) , CB ? ( x ? 2, y ? 1) , ∵△ ABO 为等腰直角三角形, ∴ OC ⊥ CB , 即 2 x ? y ? 5 ,②

∴ 2( x ? 2) ? y ? 1 ? 0 ,

解①,②得 ?

? x ? 1, ? x ? 3, 或? ? y ? 3 ? y ? ?1,

∴ B(1,3) 或 B(3,?1) ,从而 AB ? (?3,1) 或 AB ? (?1,?3) . 19.解: (1)若点 A, B, C 能构成三角形,则这三点不共线,? AB ? (3,1),

??? ?

??? ? AC ? (2 ? x,1 ? y), ∴ 3(1 ? y) ? 2 ? x ,∴ x, y 满足的条件为 3 y ? x ? 1
(2) AB ? (3,1), BC ? (? x ?1, ? y) , ? B 为直角, AB ? BC , ∴ 3(? x ? 1) ? y ? 0 , 若 则 ? 又 | AB |?| BC | ,∴ ( x ? 1) ? y ? 10 ,再由 y ? 3(? x ? 1) ,
2 2

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

第 5 页 共 7 页

解得 ?

?x ? 0 ? x ? ?2 或? . ? y ? ?3 ? y ? 3

20.解: (1)∵ OA ? OC ? (2 ? cos?, sin ? ) , | OA ? OC |? 7 , ∴ (2 ? cos? ) 2 ? sin 2 ? ? 7 , 又 ? ? (0, ?) , 又 ?AOB ?

? , 2

1 . 2 ? ? ∴? ? , 即 ?AOC ? , 3 3 ? ∴ OB 与 OC 的夹角为 . 6
∴ cos ? ?

(2) AC ? (cos? ? 2, sin ? ) , BC ? (cos? , sin ? ? 2) , 由 AC ? BC ,
2

∴ AC ? BC ? 0 ,

可得 cos ? ? sin ? ?

1 ,① 2

∴ (cos ? ? sin ? ) ? ∵ ? ? (0, ?) ,
2

1 , 4

∴ 2 sin ? cos ? ? ?

3 , 4

∴ ? ? ( , ?) ,

? 2

又由 (cos ? ? sin ? ) ? 1 ? 2 sin ? cos ? ? ∴ cos ? ? sin ? =-

7 , cos ? ? sin ? ? 0 , 4

7 ,② 2

由①,②得 cos? ?

4? 7 1? 7 1? 7 , sin ? ? ,从而 tan? ? ? . 4 4 3

21.解: (1)∵ B, E , C 三点共线, ∴ OE ? x OC ? (1 ? x) OB ? 2 x a ? (1 ? x) b ,① 同理,∵ A, E, D 三点共线,可得 OE ? y a ? 3(1 ? y) b ,② 比较①,②,得 ? ∴ OE =

?2 x ? y, ?1 ? x ? 3(1 ? y )

解得 x ?

2 4 , y? , 5 5

4 3 a ? b. 5 5 ??? a ? b ???? 1 ??? 4a ? 3b ???? 1 ??? ???? ? ? ? ? 2a ? 3b (2)∵ OL ? , OM ? OE ? , ON ? (OC ? OD ) ? , 2 2 10 2 2 ???? ???? ???? 6a ? 12b ???? ??? ???? a ? 2b ? ? ? ? ∴ MN ? ON ? OM ? , ML ? OL ? OM ? , 10 10
∵ MN ? 6ML , ∴ L, M , N 三点共线.

第 6 页 共 7 页

22.解:(1) AB ? (n ? 8, t ) , 又∵ | AB |? 5 | OA | ,

∵ AB ? a ,

??? ?

∴ 8 ? n ? 2t ? 0 ,即 n ? 8 ? 2t ,

??? ?

??? ?

2 2 ∴ (n ? 8) 2 ? t 2 ? 5 ? 82 , 5t ? 5 ? 8 , ∴ t ? ?8 , 即

∴ OB ? (24,8) 或 OB ? (?8,?8) . (2) AC ? (k sin ? ? 8, t ) ,

??? ? ? AC 与向量 a 共线,

∴ t ? ?2k sin ? ? 16 ,

4 32 t sin ? ? (?2k sin ? ? 16) sin ? ? ?2k (sin ? ? ) 2 ? , k k 4 4 32 ∵k ? 4, ∴ 0 ? ? 1 , ∴当 sin ? ? 时, t sin ? 取最大值为 , k k k ? ? ??? 32 ? 4 ,得 k ? 8 ,此时 ? ? , OC ? (4,8) , 由 6 k
∴ OA ? OC ? (8,0) ? (4,8) ? 32.

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