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2.1.2 指数函数及其性质


2.1.2指数函数及其性质 探究 课本48页问题1中函数 y ? 1.073 x ? x ? N , x ? 20 ? ? 的解析式与问题2中函数 ?1? P?? ? ? 2? t 5730 ? t ? 0? 的解析式有什么共同特征? 如果用a来代替 ?1? ? 2? ? ? 1 5730 和1.073,那么 以上两个函数的解析式都可以表示为 y?a x 的形式,其中自变量x是指数,底数a是 一个大于0且不等于1的常量. 理论 1.指数函数的定义: 一般地,函数 y = a x (a>0,且a≠1) 叫做指数函数(exponential function), 其中x是自变量,函数的定义域是R. 练习 1.下列函数中,那些是指数函数? (1) y=4x; (1) (5) (6) (8) . (2) y =x4; (3) y =-4x; (4) y =(-4)x;(5) y =πx; (6) y =42x; (7) y =xx; (8) y =(2a-1)x(a>1/2且a≠1). 探究 2. 指数函数的图象和性质 用描点法画出指数函数 y = 2 和 的图象. x y=2 1 2 x x x … … … -3 -2 -1 1 8 1 4 1 2 0 1 1 1 2 1 2 2 4 1 4 3 … … 8 1 8 y=( ) 8 4 2 … 1 x y=( ) 2 (-3,8) (-2,4) (-1,2) ( 0,1) 1 (1, 2 ) (2, (3, 1 ) 8 1 4) y 8765 43 2 1 (3,8) (2,4) (1,2) ( 0,1) 1 (-1, 2 ) 1 (-2, 4 ) y = 2x (-3, 1 ) 8 -3 -2 -1 0 1 2 3 x 思考 函数 y =2x的图象和函数 x 的图 象有什么关系?可否利用 y =2 的图象画出 的图象? 两个函数图象关 于 y 轴对称! ?1? y?? ? ? 2? x y=2x 2 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 指数函数y=ax (a>0,且a≠1)的图象和性质: a>1 y 0<a<1 y 图 象 y=1 (0,1) O y ? ax (a ? 1) y ? ax (0 ? a ? 1) y=1 (0,1) x O x 定义域:R 性 质 值域:(0,+∞) 过点(0,1),即x=0时,y=1 在R上增函数 在R上减函数 举例 例1 已知指数函数f (x)=ax(a>0,且a≠1) 的图象经过点(3,π),求f (0),f (1),f (-3)的值. 分析:f (0)、f (1)、f (-3)的值,我们需 要先求出指数函数f (x)=ax 的解析式,也就 是要先求a的值.根据函数图像过点(3,π) 这一条件,可以求得底数a的值. 解:因为f (x)=ax 的图象过点(3,π), 1 3 x 3 所以f (3)=π, 即a3= π,解得 所以f (0) a ?? ,于是 3 f ?x ? ? ? . ?1 =π0 1 =1, f ?1? ? ? ? ? , f ?? 3? ? ? ? . ? 1 3 举例 例2 比较下列各题中两个值的大小: (1) 1.72.5, 1.73; (2) 0.8-0.1, 0.8-0.2; (3) 1.70.3, 0.93.1. 解: (1) 考察指数函数y=1.7 x .由于底数1.7

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