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辽宁省沈阳铁路实验中学2016届高三数学上学期第二次月考试题 理


沈阳铁路实验中学 2015-2016 学年度上学期第三次月考 高三数学
时间:120 分钟 一、选择题(每小题 5 分) 1.已知集合 U ? {x | ?3 ? x ? 3, x ? Z } , A ? {1,2} , B ? {?2,?1,2} ,则 A ? (CU B) = A. {1} B. {2} C. {1,2} D. {0,1,2} ) D. 4 ? 3i

) 满分 150 分

2.设 i 为虚数单位,则复数 A. ?4 ? 3i

3 ? 4i 的共轭复数为( i

B. ?4 ? 3i

C. 4 ? 3i

3.数列 ?an ?满足 an+an+1= A.

1 (n≥1,n ? N),a2=1,Sn 是 ?an ?的前 n 项的和,则 S21 的值为( 2
C.6 D.10

9 2

11 2

4.下列有关命题的说法正确的是 A.命题“若 x 2 ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为:“若 x 2 ? 1 ,则 x ? 1 ”; B.命题“ ?x ? R, x 2 ? x ? 2 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R , x 2 ? x ? 2 ? 0 ,”; C. 命题“若 x ? y ,则 x 2 ? y 2 ”的逆否命题是假命题 ; D. 已知 m, n ? N ,命题“若 m ? n 是奇数,则 m, n 这两个数中一个为奇数,另一个为偶数”的逆命题为假 命题. 5.将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的左视图为(

)

6.从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数,事件 A=“取到的 2 个数之和为偶数”,事件 B=“取到的 2 个数 均为偶数”,则 P(B︱A)=

1 (A) 8

1 (B) 4

2 (C) 5

1 (D) 2

7.一个算法的程序框图如图所示,若该程序输出的结 果是 断框内应填入的条件是 A. i <4 B. i >4

1 , 则判 63

1

C. i <5 D. i >5

8.函数 f(x)= A.在 ? ?

3 sin2x+cos2x(

) B.在 ?

? ? ?? , ? ? 单调递减 ? 3 6? ? ? ? ,0 ? 单调递减 ? 6 ?

?? ? ? , ? 单调递增 ?6 3? ? ?? ? 单调递增 ? 6?

C.在 ? ?

D.在 ? 0,

9.已知 A, B, C 点在球 O 的球面上, ?BAC ? 90? , AB ? AC ? 2 .球心 O 到平面 ABC 的距离为 1,则球 O 的表面积为( A. 12? ) B. 16? C. 36? D. 20?

?x ? 4 y ? 4 ? 0 ? 10. 在平面直角坐标系中,若 P ( x, y ) 满足 ? 2 x ? y ? 10 ? 0 ,则当 xy 取得最大值时,点 P 的坐标是 ( ?5 x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
(A) (4, 2) (B) (2, 2) (C) (2, 6) (D) ( ,5)



5 2

11.若对 ?x, y ?[0, ??) ,不等式 4ax ? e A.

x ? y ?2

? e x ? y ?2 ? 2 恒成立,则实数 a 的最大值是(
D. 1



1 4

B.

1 2

C.2

12. 已知函数 g ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) 的导函数为 f ( x ) ,a ? b ? c ? 0 , 且 f (0 ) ?( f 1 )

>0 , 设 x1 、

x2 是方程 f ( x) ? 0 的两个根,则 x1 ? x2 的取值范围为(
A.



? 3 2? , ? ? ? ? 3 3?

B. ? , ? ?3 9 ?

?1 4 ?

C. ? ,

?1

3? ? ? ?3 3 ?

D. ? , ? ?9 3 ?

?1 1 ?

二、填空题(每小题 5 分) 13. 已知 f ? x ? ?

? ? 2t ? 4?dt ,则当 x ???1,3? 时,函数 f ? x ? 的最小值为
x 0

.

14. 在矩形 ABCD 中,AB ? 2 ,BC ? 1 ,E 为 BC 的中点, 若 F 为该矩形内 (含边界) 任意一点, 则 AE ? AF 的最大值为 15 .已知定义在 R 上的偶函数 f ( x) 在 [0, ??) 上单调递增,且 f (1) ? 0 ,则不等式 f ( x ? 2) ? 0 的解集是
2

_______. 16.已知等差数列 {an } 的前n项和S n ? 10n ? n 2 , 数列 {bn }的每一项都有 bn ?| an |, 则数列 {bn } 的前 n 项和

Tn . =
三、解答题 17. (本小题 12 分)已知 A, B, C 是 ?ABC 的三个内角,向量 m ? (?1 ,3),

??

?? ? ? n ? (cos A,sin A) ,且 m ? n ? 1 .
(1)求角 A ; (2)若

1?sin2 B ? ?3 ,求 tan C . cos2 B?sin2 B

CD 中点. 18. (本小题 12 分)如图,在长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中 AA 1 ? AD ? 1, E 为
(Ⅰ)求证: B1E ? AD1 (Ⅱ)在棱 AA1 上是否存在一点 P ,使得 DP / / 平面 B1 AE ?若存在,求 AP 的长;若不存在,说明理由. (Ⅲ)若二面角 A ? B1E ? A1 的大小为 30 ? ,求 AB 的长.

19.(本小题满分 12 分)已知数列 {an } 中, a1 ? 1 ,其前 n 项的
2 S n ,且满足 an ? 2Sn (n ? 2) .

和 为

2Sn ? 1

(1)求证:数列 ?

?1? ? 是等差数列; ? Sn ?
1 1 1 3 S 2 ? S3 ? ... ? S n ? . 2 3 n 2

(2)证明:当 n ? 2 时, S1 ?

3

20. (本小题 12 分)某市职教中心组织厨师技能大赛,大赛依次设基本功(初赛) 、面点制作(复赛) 、热菜 烹制(决赛)三个轮次的比赛,已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是 与否相互独立. (I)设该选手参赛的轮次为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望; (Ⅱ)对于(I)中的 ? ,设“函数 f ( x) ? 3sin

3 2 1 , , 且各轮次通过 4 3 4

x ?? ? ( x ? R) 是偶函数”为事件 D, 求事件 D 发生的概率. 2

21. (本小题 12 分)已知函数 f(x)=-

1 3 a 2 x + x -2x(a∈R). 3 2

(1)当 a=3 时,求函数 f(x)的单调区间; (2)若对于任意 x∈[1,+∞)都有 f′(x)<2(a-1)成立,求实数 a 的取值范围; (3)若过点 ? 0, ? ? 可作函数 y=f(x)图象的三条不同切线,求实数 a 的取值范围.

? ?

1? 3?

(从 22/23/24 三道解答题中任选一道作答,作答时,请注明题号;若多做,则按首做题计入总分,满分 10 分. 请将答题的过程写在答题卷 中指定 的位置) (本小题满分 10 分) ... .. 22.(本题满分 12 分)如图,⊙ O 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的延长线相交于点 P , E 为⊙O 上一点,弧 AE 等 于弧 AC, DE 交 AB 于点 F ,且 AB ? 2BP ? 4 ,求 PF 的长度.

23.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合.直线 l 的参数方

3 ? x ? ?1 ? t ? ? ? 5 ( 为参数) 程是 ? ,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2 sin(? ? ) . t 4 ? y ? ?1 ? 4 t ? 5 ? (Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 相交于 M , N 两点,求 M,N 两点间的距离.

4

24.设函数 f ( x) ?| x ? 1 | ? | x ? a | ⑴若 a ? ?1 时,解不等式 f ( x) ? 3 ; ⑵如果对于任意的 x ? R , f ( x) ? 2 ,求 a 的取值范围。

5

1.D 2.C 3.A

4.B 5.D

参考答案 6.B 7.C. 8.D 9.C 10.D 11 . B

12.A

9 13. ?4 . 14. 2

15. (??,1] ? [3, ??) .

2 ? ?10n ? n , n ? 5, 16. Tn ? ? 2 ? ?n ? 10n ? 50, n ? 5.

5 3 17. (1) A ? 60? (2) tan C ? 8? 11

【解析】
? 1 (1)因为 m ? n ? 1 ? ? cos A ? 3 sin A ? 1 ? sin( A ? ? 6) ? 2 ? A ? 3

?? ?

(2)

1?sin2 B ? ?3 ? (sin B?cos B)2 ? ?3 ? cos2 B?sin2 B cos2 B?sin2 B

tan B?1 ?1 ? tan B ? ?3 ? tan B ? 2

tan C ? ? tan( A ? B) ? ? tan( B ? 60? ) ?
5 3 所以 tan C ? 8? 11

8? 5 3 11

18.解:(1)以点 A 为原点建立空间直角坐标系,设 AB ? a ,则

a A(0, 0, 0), D(0,1, 0), D1 (0,1,1), E ( ,1, 0), B1 (a, 0,1) 2 ???? ? ???? ???? ??? ? a a ? AD1 ? (0,1,1), B1 E ? (? ,1, ?1), AB1 ? (a, 0,1), AE ? ( ,1, 0) 2 2 ???? ? ???? a AD1 ? B1 E ? ? ? 0 ? 1? 1 ? (?1) ? 1 ? 0 ,故 B1E ? AD1 2 ??? ? (2)假设在棱上存在一点 P(0, 0, t ) ,使得 DP / / 平面 B1 AE ,则 DP ? (0, ?1, t )

? ???? ? n ? AB1 ? 0 ? ax ? z ? 0 ? ? ? ? ? ax 设平面 B1 AE 的法向量为 n ? ( x, y, z) , 则有 ? ? ??? , 取 x ? 1 ,可 ? ? y ? 0 ? ? ? n ? AE ? 0 ?2
得 n ? (1, ?

??? ? ? a , ?a) ,要使 DP / / 平面 B1 AE ,只要 DP ? n 2 a 1 ? ? at ? 0 ? t ? , 又 DP ? 平 面 B1 AE , ? 存 在 点 P 使 DP / / 平 面 B1 AE , 此 时 2 2 1 AP ? . 2
?

(3)连接 A1 D, B1C ,由长方体 AA 1 ? AD ? 1 ,得 A 1 D ? AD 1

? B1C / / A1D ,? AD1 ? B1C ,由(1)知 B1E ? AD1 ,故 AD1 ? 平面 DCB1 A1 .

???? ? ???? ? AD1 是平面 DCB1 A1 的法向量,而 AD1 ? (0,1,1) ,则

???? ? ? ???? ? ? AD1 ? n ? ? ? cos ? AD1 , n ?? ???? | AD1 || n |

a ? ?a 2 a2 2 ? 1 ? ? a2 4

? 二面角是 30 ? ,所以,即 AB ? 2
19. 试题解析: (1)当 n ? 2 时, Sn ? Sn ?1 ?
2 2Sn 1 1 , Sn?1 ? Sn ? 2Sn Sn?1 , ? ?2, Sn Sn?1 2Sn ? 1

从而 ?

?1? ? 构 成 以 1 为 首 项 , 2 为 公 差 的 等 差 数 列 ;( 2 ) 由 ( 1 ) 可 知 , ? Sn ?

1 1 1 , ? ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 ,∴ Sn ? 2n ? 1 Sn S1
∴当 n ? 2 时, 从而 S1 ?

1 1 1 1 1 1 1 1 Sn ? ? ? ? ? ( ? ), n n(2n ? 1) n(2n ? 2) 2 n(n ? 1) 2 n ? 1 n

1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 3 S 2 ? S3 ? ??? S n ? 1 ? (1 ? ? ? ? ??? ? ? )? ? ? . 2 3 n 2 2 2 3 n ?1 n 2 2n 2
2分

20.试题解析: (I) ? 可能取值为 1,2,3. 记“该选手通过初赛”为事件 A,“该选手通过复赛”为事件 B,

P (? ? 1) ? P( A) ? 1 ?

3 1 ? , 4 4

3 2 1 P (? ? 2) ? P ( AB ) ? P ( A) P ( B ) ? ? (1 ? ) ? , 4 3 4
3 2 1 P(? ? 3) ? P( AB) ? P( A) P( B) ? ? ? . 4 3 2
5分

? 的分布列为: ?
P 1 2 3

1 1 1 4 4 2 1 1 1 9 ? 的数学期望 E? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 7分 4 4 2 4 x ?1 ? ? ? =3sin( x ? ) f ( x) 为偶函数; (Ⅱ)当 ? ? 1 时, f ( x) ? 3sin 2 2 2 x?2 ? ? ? 3sin( x ? ? ) f ( x) 为奇函数; 当 ? ? 2 时, f ( x) ? 3sin 2 2

当 ? ? 3 时, f ( x) ? 3sin ∴事件 D 发生的概率是

x?3 ? 3 ? ? 3sin( x ? ? ) 2 2 2
12 分

f ( x) 为偶函数;

3 . 4

21.(1) 单调递增区间为 ?1, 2 ? ,单调递减区间为 ? ??,1? 和 ? 2, ??? ;(2)

? ?1,8? ;(3)

? 2, ???
试题解析:(1)当 a ? 3 时,函数 f ? x ? ? ?

1 3 3 2 x ? x ? 2x , 3 2

得 f ' ? x ? ? ?x2 ? 3x ? 2 ? ? ? x ?1?? x ? 2? . 所以当 1 ? x ? 2 时, f ' ? x ? ? 0 ,函数 f(x)单调递增; 当 x<1 或 x>2 时, f ' ? x ? ? 0 ,函数 f(x)单调递减. 所以函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ?1, 2 ? ,单调递减区间为 ? ??,1? 和 ? 2, ??? .3 分 (2)由 f ? x ? ? ?

1 3 a 2 x ? x ? 2 x ,得 f ' ? x ? ? ?x2 ? ax ? 2 , 3 2

因为对于任意 x ??1, ?? ? 都有 f ' ? x ? ? 2 ? a ?1? 成立, 所以问题转化为对于任意 x ??1, ?? ? 都有 f ' ? x ?max ? 2 ? a ?1? . 4分

a a ? a2 ? 因为 f ' ? x ? ? ? ? x ? ? ? ? 2 ,其图象开口向下,对称轴为 x ? . 2 2? 4 ?
①当

2

a ? 1 ,即 a ? 2 时, f ' ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递减, 2

所以 f ' ? x ?max ? f ' ?1? ? a ? 3 , 由 a ? 3 ? 2 ? a ?1? ,得 a ? ?1 ,此时 ?1 ? a ? 2 . ②当 5分

a ? a? ?a ? ? 1 ,即 a ? 2 时, f ' ? x ? 在 ?1, ? 上单调递增,在 ? , ?? ? 上单调递减, 2 ? 2? ?2 ?

所以 f ' ? x ?max

?a? a ? f '? ? ? ? 2 , ?2? 4

2

a2 ? 2 ? 2 ? a ? 1? ,得 0 ? a ? 8 ,此时 2 ? a ? 8 . 由 4
综上可得,实数 a 的取值范围为 ? ?1,8? . 6分

(3)设点 P ? t , ? t 3 ?

? ?

1 3

a 2 ? t ? 2t ? 是函数 y ? f ? x ? 图象上的切点, 2 ?

则过点 P 的切线的斜率 k ? f ' ? x ? ? ?t 2 ? at ? 2 , 所以过点 P 的切线方程为 y ? t ?
3

1 3

a 2 t ? 2t ? ? ?t 2 ? at ? 2 ? ? x ? t ? , 2

8分

因为点 ? 0, ? ? 在该切线上,

? ?

1? 3?

1 1 3 a 2 ? t ? t ? 2t ? ? ?t 2 ? at ? 2 ? ? 0 ? t ? , 3 3 2 2 3 1 2 1 即 t ? at ? ? 0 . 3 2 3
所以 ? 若过点 ? 0, ? ? 可作函数 y ? f ? x ? 图象的三条不同切线,

? ?

1? 3?

2 3 1 2 1 t ? at ? ? 0 有三个不同的实数解. 10 分 3 2 3 2 3 1 2 1 令 g ? t ? ? t ? at ? ,则函数 y ? g ? t ? 的图象与坐标轴横轴有三个不同的交点. 3 2 3 a 令 g ' ?t ? ? 2t 2 ? at ? 0 ,解得 t ? 0 或 t ? . 2
则方程 因为 g ? 0 ? ?

1 1 3 1 ?a? ,g? ? ? ? a ? , 3 24 3 ?2?

所以必须 g ?

1 3 1 ?a? ? ? ? a ? ? 0 ,即 a ? 2 . 24 3 ?2?
12 分

所以实数 a 的取值范围为 ? 2, ??? .

22. 试题解析:解:连结 OC , OD, OE ,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系结合题中 条件弧 AE ? 弧AC 可得 ?CDE ? ?AOC ,又 ?CDE ? ?P ? ?PFD ,

?AOC ? ?P ? ?C ,从而 ?PFD ? ?PCO ,
故 ?PFD ? ?PCO ,∴
E A C O F B D P

PF PD ? , PC PO

由割线定理知 PC ? PD ? PA ? PB ? 12 ,故 PF ?

PC ? PD 12 ? ?3. PO 4

10 分

23.(1) x2 ? y 2 ? x ? y ? 0 (2) 【解析】 (Ⅰ)由 ? ? 2 sin(? ?

?
4

) 得, ? ? sin ? ? cos? ,两边同乘 ? 得,

? 2 ? ? cos? ? ? sin ? ? 0 ,再由 ? 2 ? x2 ? y 2 , ? cos? ? x , ? sin ? ? y ,得
曲线 C 的直角坐标方程是 x2 ? y 2 ? x ? y ? 0 ;-----5 分 (Ⅱ)将直线参数方程代入圆 C 方程得, 5t 2 ? 21t ? 20 ? 0 ,

t1 ? t2 ?

21 , t1t2 ? 4 , 5
41 .-------10 分 5

MN ? t1 ? t2 ? (t1 ? t2 )2 ? 4t1t2 ?
24.

解:⑴因为函数 f ( x) ?| x ? 1 | ? | x ? a | ,所以 a ? ?1 时不等式 f ( x) ? 3

3? ?3 ? ? ??, ? ? ? ? , ? ? ? ? 2? ?2 ?。 即 | x ? 1| ? | x ? 1|? 3 ,由绝对值的几何意义易知解为 ?
⑵因为对任意的 x ? R 都有 f ( x) ? 2 ,即需对任意的 x ? R 都有 | x ? 1| ? | x ? a |? 2

a ?? ??, ?1? ? ?3, ? ?? 也就是需要 a 与 1 之间距离 ? 2 ,所以 即可
所以 a 的取值范围是

? ??,

?1? ? ?3, ? ??




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