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2012年高考真题汇编——理科数学(解析版)1:集合与简易逻辑


2012 高考真题分类汇编:1.集合与简易逻辑
1.【2012 高考真题浙江理 1】设集合 A={x|1<x<4},集合 B ={x| x2 -2x-3≤0}, 则 A∩(CRB)= A .(1,4) B .(3,4) C.(1,3) D .(1,2) ∪(3,4)

【 答 案 】 B 【 解 析 】 B ={x| x2 -2x-3 ≤ 0}= {x | ?1 ? x ? 3} , A ∩ ( CRB ) ={x|1 < x < 4} ? {x | x ? ?1, 或x ? 3} = {x | 3 ? x ? 4} 。故选 B. 2.【2012 高考真题新课标理 1】已知集合 A ? {1, 2,3, 4,5} , B ? {( x, y) x ? A, y ? A, x ? y ? A} ;,则 B 中 所含元素的个数为( )

( A) 3

(B) 6

(C ) ?

( D) ??

【答案】D【解析】要使 x ? y ? A ,当 x ? 5 时, y 可是 1,2,3,4.当 x ? 4 时, y 可是 1,2,3.当 x ? 3 时, y 可是 1,2.当 x ? 2 时, y 可是 1,综上共有 10 个,选 D. 3.【2012 高考真题陕西理 1】集合 M ? {x | lg x ? 0} , N ? {x | x2 ? 4} ,则 M ? N ? ( A. (1, 2) B. [1, 2) C. (1, 2] D. [1, 2] )

【答案】C.【解析】? M ? {x | lg x ? 0} ? {x | x ? 1 }, N ? {x | x 2 ? 4} ? {x | ?2 ? x ? 2} ,

? M ? N ? (1,2] ,故选 C.
4.【2012 高考真题山东理 2】已知全集 U ? ?0,1, 2,3, 4? ,集合 A ? ?1,2,3? , B ? ?2,4? ,则 CU A ? B 为 (A) ?1, 2, 4? (B) ?2,3,4? (C) ?0,2,4? (D) ?0,2,3,4?

【答案】C【解析】 CU A ? {0,4} ,所以 (CU A) ? B ? {0,2, 4} ,选 C. 5.【2012 高考真题辽宁理 1】已知全集 U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} ,集合 A={0,1,3,5,8} ,集合 B={2,4,5,6,8} , 则 (CU A) ? (CU B) 为 (A){5,8} (B){7,9} (C){0,1,3} (D){2,4,6}

【答案】B【解析】1.因为全集 U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} ,集合 A={0,1,3,5,8} ,集合 B={2,4,5,6,8} ,所以

CU A ? ?2,4,6,7,9?, CU B ? ?0,1,3,7,9?,所以 (CU A) ? (CU B) 为{7,9}。故选 B
2. 集合 (CU A) ? (CU B) 为即为在全集 U 中去掉集合 A 和集合 B 中的元素,所剩的元素形成的集合,由此 可快速得到答案,选 B【点评】本题主要考查集合的交集、补集运算,属于容易题。采用解析二能够更快 地得到答案。

6.【2012 高考真题辽宁理 4】已知命题 p: ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)≥0,则 ? p 是 (A) ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)≤0 (C) ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)<0 (B) ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)≤0 (D) ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)<0

【答案】C【解析】命题 p 为全称命题,所以其否定 ? p 应是特称命题,又(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)≥0 否定为 (f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)<0,故选 C【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定,属于容易题。 7.【2012 高考真题江西理 1】若集合 A={-1,1} ,B={0,2} ,则集合{z︱z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素 的个数为 A.5 B.4 C.3 D.2 【答案】C【命题立意】本题考查集合的概念和表示。 【解析】因为 x ? A, y ? B ,所以当 x ? ?1 时, y ? 0,2 ,此时 z ? x ? y ? ?1,1 。当 x ? 1 时, y ? 0,2 , 此时 z ? x ? y ? 1,3 ,所以集合 {z z ? ?1,1,2} ? {?1,1,2}共三个元素,选 C. 8.【2012 高考真题江西理 5】下列命题中,假命题为 A.存在四边相等的四边形不 是正方形 . B. z1 , z2 ? C, z1 ? z2 为实数的充分必要条件是 z1 , z2 为共轭复数 C.若 x, y ? R,且 x ? y ? 2, 则 x, y 至少有一个大于 1
0 1 n D.对于任意 n ? N , Cn 都是偶数 ? Cn ? ?? Cn

【答案】B【命题立意】本题考查命题的真假判断。 【解析】对于 B, 若 z1 , z2 为共轭复数,不妨设 z1 ? a ? bi, z2 ? a ? bi ,则 z1 ? z2 ? 2a ,为实数。设

z1 ? a ? bi, z2 ? c ? di ,则 z1 ? z2 ? (a ? c) ? (b ? d )i ,若 z1 ? z2 为实数,则有 b ? d ? 0 ,当 a , c 没有
关系,所以 B 为假命题,选 B. 2 9.【2012 高考真题湖南理 1】设集合 M={-1,0,1},N={x|x ≤x},则 M∩N= A.{0} B.{0,1} C.{-1,1} D.{-1,0,0} 【答案】B【解析】? N ? ?0,1? M={-1,0,1} ? M∩N={0,1}. 【点评】本题考查了集合的基本运算,较简单,易得分.先求出 N ? ?0,1 ? ,再利用交集定义得出 M∩N. 10.【2012 高考真题湖南理 2】命题“若α =

? ,则 tanα ≠1 4 ? C. 若 tanα ≠1,则α ≠ 4
A.若α ≠

B. 若α =

? ,则 tanα ≠1 4 ? D. 若 tanα ≠1,则α = 4 ? ”. 4

? ,则 tanα =1”的逆否命题是 4

【答案】C【解析】因为“若 p ,则 q ”的逆否命题为“若 ? p ,则 ? q ” ,所以 “若α = 的逆否命题是 “若 tanα ≠1,则α ≠

? ,则 tanα =1” 4

【点评】本题考查了“若 p,则 q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题,考查分析问题的能力.

11.【2012 高考真题湖北理 2】命题“ ?x0 ? ?R Q , x03 ? Q ”的否定是 A. ?x0 ? ?R Q , x03 ? Q B. ?x0 ? ?R Q , x03 ? Q C. ?x ? ?R Q , x3 ? Q D. ?x ? ?R Q , x3 ? Q

【答案】D 【解析】根据对命题的否定知,是把谓词取否定,然后把结论否定。因此选 D 12.【2012 高考真题广东理 2】设集合 U={1,2,3,4,5,6}, M={1,2,4 },则 CuM= A.U B. {1,3,5} C.{3,5,6} D. {2,4,6} 【答案】C【解析】 CU M ? {3,5,6} ,故选 C. 13.【2012 高考真题福建理 3】下列命题中,真命题是 A. ?x0 ? R, e
x0

?0

B. ?x ? R,2 x ? x 2

C.a+b=0 的充要条件是
x

a =-1 b

D.a>1,b>1 是 ab>1 的充分条件

【答案】 D. 【解析】 此类题目多选用筛选法, 因为 e ? 0 对任意 x ? R 恒成立, 所以 A 选项错误; 因为当 x ? 3 时 2 ? 8,3 ? 9 且 8<9,所以选项 B 错误;因为当 a ? b ? 0 时 a ? b ? 0, 而
3 2

b 无意义,所以选项 C 错误. a

14.【2012 高考真题北京理 1】已知集合 A={x∈R|3x+2>0} B={x∈R|(x+1)(x-3)>0} 则 A∩B= A (- ? ,-1)B (-1,-

2 2 ) C (- ,3)D (3,+ ? ) 3 3 2 , 利用二次不等式可得 B ? {x | x ? ?1 或 x ? 3} 3

【答案】 D 【解析】 因为 A ? {x ? R | 3 x ? 2 ? 0} ? x ? ? 画出数轴易得: A ? B ? {x | x ? 3} .故选 D.

15.【2012 高考真题安徽理 6】设平面 ? 与平面 ? 相交于直线 m ,直线 a 在平面 ? 内,直线 b 在平面 ? 内, 且 b ? m ,则“ ? ? ? ”是“ a ? b ”的( )

( A) 充分不必要条件

( B ) 必要不充分条件

(C ) 充要条件

( D) 即不充分不必要条件

【答案】A【命题立意】本题借助线面位置关系考查条件的判断 【解析】① ? ? ? , b ? m ? b ? ? ? b ? a ,②如果 a / / m ,则 a ? b 与 b ? m 条件相同. 16.【2012 高考真题全国卷理 2】已知集合 A={1.3. A 0或 3 B 0或3 C 1或 3

m },B={1,m} ,A ? B=A, 则 m=
D 1或3 则 A ? {1,3, 3}, B ? {1,3} , m .若 m ? 3 ,

【答案】 B 【解】 因为 A ? B ? A ,所以 B ? A ,所以 m ? 3 或 m ? 满足 A ? B ? A .若 m ?

解得 m ? 0 或 m ? 1 .若 m ? 0 , 则 A ? {1,3,0}, B ? {1,3,0} , 满足 A ? B ? A . m,

若 m ? 1 , A ? {1,3,1}, B ? {1,1}显然不成立,综上 m ? 0 或 m ? 3 . 17 【2012 高考真题四川理 13】 设全集 U ? {a, b, c, d }, 集合 A ? {a, b} , 则 CU A ? CU B ___ 。 B ? {b, c, d} , 【答案】 ?a, c, d? 【命题立意】本题考查集合的基本运算法则,难度较小. 【解析】 CU A ? {c, d}, CU B ? {a} ,?CU A ? CU B ? {a, c, d}

18.【2012 高考真题上海理 2】若集合 A ? {x | 2 x ? 1 ? 0} , B ? {x || x ? 1 |? 2} ,则 A ? B ? 【答案】 (?



1 1 ,3) 【解析】集合 A ? {x 2 x ? 1 ? 0} ? {x x ? ? } , B ? {x x ? 1 ? 2} ? {x ? 1 ? x ? 3} , 2 2 1 1 ? x ? 3} ,即 (? ,3) 。 2 2

所以 A ? B ? {x ?

19. 【2012 高考真题天津理 11】 已知集合 A ? {x ? R | x ? 2 ? 3}, 集合 B ? {x ? R | ( x ? m)(x ? 2) ? 0}, 且

A ? B ? (?1, n), 则 m =__________,n = __________.
【答案】 ? 1,1 【解析】由 x ? 2 ? 3 ,得 ? 3 ? x ? 2 ? 3 ,即 ? 5 ? x ? 1 ,所以集合 A ? {x ?5 ? x ? 1 }, 因为 A ? B ? (?1 ,n) ,所以 ? 1 是方程 ( x ? m)(x ? 2) ? 0 的根,所以代入得 3(1 ? m) ? 0 ,所以 m ? ?1 , 此时不等式 ( x ? 1)(x ? 2) ? 0 的解为 ? 1 ? x ? 2 ,所以 A ? B ? (?1 , 1) ,即 n ? 1 。

2, 4} , B ? {2 , 4, 6} ,则 A ? B ? 20.【2012 高考江苏 1】 (5 分)已知集合 A ? {1,





【答案】 ?1,2,4,6? 。 【考点】集合的概念和运算。 【分析】由集合的并集意义得 A ? B ? ?1,2,4,6? 。

2, n} , n ? N * .记 f (n) 为同时满足下列条件的集 21.【2012 高考江苏 26】 (10 分)设集合 Pn ? {1, …,
合 A 的个数: ① A ? Pn ;②若 x ? A ,则 2 x ? A ;③若 x ? C pn A ,则 2 x ? C p A 。
n

(1)求 f (4) ; (2)求 f (n) 的解析式(用 n 表示) . 【答案】解: (1)当 n =4 时,符合条件的集合 A 为:?2?, ?1, 4?, ?2,3?, ?1,3, 4? , ∴ f (4) =4。

( 2 )任取偶数 x ? Pn ,将 x 除以 2 ,若商仍为偶数.再除以 2 ,··· 经过 k 次以后.商 必为奇数.此时记商为 m 。于是 x =m?2k ,其中 m 为奇数 k ? N * 。 由条件知.若 m ? A 则 x ? A ? k 为偶数;若 m ? A ,则 x ? A ? k 为奇数。 于是 x 是否属于 A ,由 m 是否属于 A 确定。 设 Qn 是 Pn 中所有奇数的集合.因此 f (n) 等于 Qn 的子集个数。

? n 2 ?2 ? n为偶数 ? n n ?1 当 n 为偶数〔 或奇数)时, Pn 中奇数的个数是 ( ) 。∴ f (n)= ? n ?1 。 2 2 ?2 2 n为奇数 ? ? ?
【考点】集合的概念和运算,计数原理。 【解析】 (1)找出 n =4 时,符合条件的集合个数即可。

(2)由题设,根据计数原理进行求解。 22.【2012 高考真题陕西理 18】 (本小题满分 12 分) (1)如图,证明命题“ a 是平面 ? 内的一条直线,b 是 ? 外的一条直线( b 不垂直于 ? ) ,c 是直线 b 在 ? 上的投影,若 a ? b ,则 a ? c ”为真。 (2)写出上述命题的逆命题,并判断其真假(不需要证明) 【答案】


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