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1.3.1(2)函数的最大(小)值


画出下列函数的草图,并根据图象解答下列问题:
2 f ( x ) ? ? x ? 2x ? 1 (1) f ( x) ? ?2 x ? 3 (2) 1 说出y=f(x)的单调区间,以及在各单调区间上的 单调性;

2 指出图象的最高点或最低点,并说明它能体现 函数的什么特征? y y 2
-1 o o x x

1.最大值
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果 存在实数M满足: (1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M; (2)存在x0∈I,使得f(x0) = M

那么,称M是函数y=f(x)的最大值

2.最小值 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果 存在实数M满足: (1)对于任意的x∈I,都有f(x)≥M; (2)存在x0∈I,使得f(x0) = M

那么,称M是函数y=f(x)的最小值

注意:
1、函数最大(小)值首先应该是某一个函数值, 即存在x0∈I,使得f(x0) = M; 2、函数最大(小)值应该是所有函数值中最大 (小)的,即对于任意的x∈I,都有f(x)≤M (f(x)≥M).

例3、“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时 一般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果在距地 面高度h m与时间t s之间的 关系为:h(t)= -4.9t2+14.7t+18 , 那么烟花冲出后什么时候是 它的爆裂的最佳时刻?这时 距地面的高度是多少(精确 到1m)

解:作出函数h(t)= -4.9t2+14.7t+18的图象(如图).显然, 函数图象的顶点就是烟花上升的最高点,顶点的横坐 标就是烟花爆裂的最佳时刻,纵坐标就是这时距地面 的高度. 由于二次函数的知识,对于 h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我们有:
14.7 当t ? ? ? 1.5时,函数有最大值 2 ? (?4.9) 4 ? (?4.9) ?18 ? 14.7 2 h? ? 29 4 ? (?4.9)

于是,烟花冲出后1.5秒是它爆裂的最佳时刻,这 时距地面的高度为29 m.

2 例3.求函数 y ? 在区间[2,6]上的最大值和 x ?1 最小值.
解:设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数,且x1<x2,则
2 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? x1 ? 1 x2 ? 1 2[(x2 ? 1) ? ( x1 ? 1)] ? ( x2 ? 1)(x1 ? 1) 2( x2 ? x1 ) ? ( x2 ? 1)(x1 ? 1)

由于2<x1<x2<6,得x2- x1>0,(x1-1)(x2-1)>0,于是

2 所以,函数 y ? 是区间[2,6]上的减函数. x ?1

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, 即 f ( x1 ) ? f ( x2 )

点上分别取得最大值和最小值,即在点x=2时取 最大值,最大值是2,在x=6时取最小值,最小值 为0.4 .

2 y? 因此,函数 x ? 1 在区间[2,6]上的两个端

2 y? x ?1

(二)利用函数单调性判断函数的最大(小)值的 方法
1.利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 2. 利用图象求函数的最大(小)值

3.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,则函数 y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处有最大值f(b) ; 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区 间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值 f(b);

课堂练习
P32 练习5

1、函数f(x)=x2+4ax+2在区间(-∞,6]内递减, 则a的取值范围是( ) D A、a≥3 B、a≤3 C、a≥-3 D、a≤-3 2、在已知函数f(x)=4x2-mx+1,在(-∞,-2]上 递减,在[-2,+∞)上递增,则f(x)在[1,2]上的 [21,39] 值域____________.

知识点总结 知识点一 用函数的图像求其最值

【例1】 已知函数f(x)=|x+1|+|x-1|.
(1)画出f(x)的图像; (2)根据图像写出f(x)的最小值. 分析:(1)讨论x与±1的大小,化解析式为分段函数解析式形式; (2)函数图像最低点的纵坐标是f(x)的最小值.

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?-2x,x≤-1, ? 解:(1)y=|x+1|+|x-1|= ?2,-1<x<1, 其图像如图所示. ? ?2x,x≥1,
(2)由图像,得函数的最小值是 2.

点评:图像法求函数y=f(x)最值的步骤: (1)画出函数y=f(x)的图像;

(2)依据函数最值的几何意义,借助于图像写出最值.
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【变式训练1】 求函数y=|x+1|-|x-1|的最大值.

?2,x>1, ? 解:y= ?2x,- 1< x≤1, ? ?-2,x≤-1,
画出该函数的图像,如图所示. 观察知函数图像最高点的纵坐标为 2,则该函数的最大值为 2.

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知识点二

用函数单调性法求其最值

4 【例 2】 已知函数 f(x)=x+ ,x∈[1,3]. x (1)判断 f(x)在[1,2]和[2,3]上的单调性; (2)根据 f(x)的单调性写出 f(x)的最值.

分析:(1)证明单调性的流程图为:取值→作差→变形→判断符号 →结论;(2)借助于最值与单调性的关系,写出最值.

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解:(1)设 1≤x1< x2≤3,
? 4 ? 4 4 ?. 则 f(x1)- f(x2)= x1- x2+ - = (x1- x2)?1- x x x1 x2 ? 1 2?

又 ∵x1< x2, ∴x1- x2< 0. 4 当 1≤x1< x2≤ 2 时, 1< x1x2< 4, ∴ > 1. x1x2 ∴1- 4 < 0. x1x2

∴f(x1)> f(x2). ∴f(x)在 [1,2]上是减函数. 当 2≤x1< x2≤ 3 时, 4< x1x2< 9,

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4 ∴0< < 1. x1x2 4 ∴1- > 0. x1x2 ∴f(x1)< f(x2). ∴f(x)在 [2,3]上是增函数. 4 (2)由 (1)知 f(x)的最小值为 f(2)= 2+ = 4, 2 4 13 又 ∵f(1)= 5, f(3)= 3+ = < f(1), 3 3 ∴f(x)的最大值为 5.

点评:单调性法求函数f(x)最值的步骤:(1)判断函数f(x)的单调性; (2)借助于最值与单调性的关系写出最值.

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2 【变式训练 2】 已知函数 f(x)=- . x-1 (1)求证:函数 f(x)在 [2,3]上是增函数; (2)求 f(x)在 [2,3]上的最大值和最小值.

解:(1)设 2≤x 1< x2≤ 3, 2 2 则 f(x1)- f(x2)=- + x1- 1 x2- 1
? 1 1 ? ? - =- 2? x - 1 x - 1 ? 1 ? 2

?x2- 1?- ?x1- 1? =- 2 ?x1- 1??x2- 1? x2- x1 =- 2 . ?x1- 1??x2- 1?
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∵2≤x1<x2≤3, ∴x2-x1>0,x1-1>0,x2-1>0. ∴f(x1)-f(x2)<0. ∴f(x1)<f(x2). 2 ∴函数 f(x)=- 在[2,3]上是增函数. x-1 (2)由(1)得 f(x)在[2,3]上的最大值是 f(3)=-1, 最小值是 f(2)=-2.

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归纳小结
1、函数的最大(小)值及其几何意义. 2、利用函数的图像求函数的最大(小)值. 3、利用函数的单调性求函数的最大(小)值.


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