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三角函数图象性质(二)值域


三角函数学案

三角函数(学案) (十)
1.4.2 正、余弦函数的图象性质 第 2 课时:三角函数的图像性质之值域【一】
学 习 目 标 : 1 、 利 用 函 数 y ? sin x , y ? cos x ( x ? R ) 的 最 值 求 函 数

y ? Asin ?? x ? ? ? ? B x ? R ?

A ? 0? 的值域;
2、 x ? R 的前提下求含有正、余弦的函数的值域。 教学过程: 【新课引入】 【思考】怎么样求一个函数的值域?以前我们是怎么样求 y ? 2 x 的值域的? 【思考】我们能不能用同样方法,求函数 y ? sin x , y ? cos x 的值域? 【思考】那么能不能用同样方法,求 y ? 2sin x , y ? sin x ? 2 的值域? 【思考】那么能不能用同样方法,求 y ? sin 2 x , y ? sin ? x ?

? ?

??
3? ?

的值域?

【思考】最后我们会不会求 y ? 2sin ? 3 x ? 【知识回顾】 三角函数的值域

? ?

??
4? ?

? 1 的值域?

函数 y ? sin x , y ? cos x ( x ? R )的值域: ?1,1

?

?

【例题讲解】 【例 1】课本 P38 例 3:下列函数有最大值、最小值吗?如果有,请写出取得最大值、最小 值时的自变量 x 的集合,并说出最大值、最小值分别是什么? (1) y ? cos x ? 1 , x ? R ) ; ( 当 x= 函数有最大值,最大值为: 当 x= 函数有最小值,最小值为: 【巩固练习 1】课本 P40 练习 3 时 (2) y ? ?3 sin2 x , x ? R ) ( 当 x= 函数有最大值,最大值为: 当 x= 函数有最小值,最小值为: 时





1

三角函数学案

【巩固练习 2】求 y ? 2sin ? 3 x ?

? ?

??
4? ?

? 1 的值域,并求出取得最大最小值时 x 的取值。

学生归纳:函数 y ? Asin ?? x ? ? ? ? B ( x ? R ) ? A ? 0? 的值域: 【例题讲解】 【例 2】 2010 年广东卷) ( 已知函数 f ( x ) ? A sin(3 x ? ? )( A ? 0, x ? ( ??, ??),0 ? ? ? ? ) 在x?

? 时取得最大值 4。 f ? x ? 的解析式为 12

【巩固练习 3】若函数 f ? x ? ? A sin ? 3 x ? ? ? , ? A ? 0, w ? 0,0 ? ? ? 2? ? 的最小值为

? 2 ,且它的图象过点 0, ? 2 ,则 f ? x ? ?
【例题讲解】换元法(二次函数)

?

?



【例 3】已知函数 f ? x ? ? sin x ? 2sin x ? 3 ,求函数 f ? x ? 的值域。
2

【课后练习】 1.函数 y ? 1 ? 2sin x 的值域是( (A) ?2,1 )

?

?

(B) ?1, 3

?

?

(C) 0,1

? ?

(D) ?2, 2

?

?

2.函数 y ? sinx 的值域为 3 若函数 f ? x ? ? a ? sin x 的最大值为 2,则 a ? 4.已知函数 f ? x ? ? cos x ? sin x ? 3 ,函数 f ? x ? 的值域为
2

5. 【提高】函数 y ? 2a ? b sin x 的最大值是 3 ,最小值是 1 ,求函数 y ? ?4a sin 值及相应的 x 的取值。 【课后作业】课本 P46-A 组#2

bx 的最 2

2

三角函数学案

1.4.2 正、余弦函数的图象性质 第 3 课时:三角函数的图像性质之值域【二】
学习目标:1、在上一节基础上,进一步学习闭区间内的值域问题 知识回顾: 三角函数的值域 1.函数 y ? sin x , y ? cos x ( x ? R )的值域: ?1,1

?

? ? ?

2.函数 y ? Asin ?? x ? ? ? ? B x ? R ? A ? 0? 的值域: ? A ? B, A ? B 教学过程 【例题讲解】 【例 1】已知函数 f ? x ? ? 2sin x , x ? ? ? 量的集合,并写出最大值、最小值。 当 x= 当 x= 时;函数有最大值 时;函数有最小值

? ? 7? ? , ? ,求 f ? x ? 取得最大值、最小值的自变 ? 4 4 ?

【巩固练习 1】函数 y ? 1 ? 2sin x , x ? ?

?? ? , ? ? 的值域是 ?3 ?

【例题讲解】求使下列函数取得最大值、最小值的自变量的集合,并写出最大值、最小值 各是多少。 【例 2】 f ? x ? ? 2sin ? 3 x ? 当 x= 当 x=

? ?

??

? ?? ? ? 1 , x ? ? 0, 2 ? 4? ? ?
时;函数有最大值 时;函数有最小值

【巩固练习 2】 (1) f ? x ? ? 当 x= 当 x=

1 ?? ? ? ?? cos ? 2 x ? ? ? 1 , x ? ? 0, ? ; 2 6? ? ? 2?
时;函数有最大值 时;函数有最小值

(2) f ? x ? ? 1 ? 2cos ? 当 x= 当 x= 【学生自主归纳小结】

?x ?? ? ? , x ? ?0,2? ? 。 ?3 6?
时;函数有最大值 时;函数有最小值

3

三角函数学案

【例 3】已知函数 f ? x ? ? cos x ? sin x ? 3 ,若 x ? ?
2

?? ? ? , ? ,求 f ? x ? 的最大值。 ?6 2?

【课后练习】 基础题为课后作业第 1 题的题型 提高 1. (2009 年广东模拟)若 A 为 ? ABC 的内角,则 2 sin ? A ? A. ?1, 2 ?

? ?

??
4? ?

的取值范围是(



?

?

B.

?

2, 2

?

C. ? 2, 2

?

?

D. ? 2, 2

?

?

2. 已知函数 f ( x ) ? 2a sin x ? b 的定义域为 ??

? ? 2? ? 函数的最大值为 1, 最小值为 ? 5 , , ?, ? 6 3 ?

a?

;b ?

【课后作业】 1.(作业本)求使下列函数取得最大值、最小值的自变量的集合,并写出最大值、最小值 各是多少。 (1) y ? 1 ? cos x ? x ? ? 0,

? ?

? ? ?? ?? ? 2??

(2) y ? 3sin ? 2 x ?

? ?

?? ?

? ? ?? ? ? x ? ? 0, 2 ? ? 4? ? ? ??

x 2.已知集合 A ? y y ? log2 x, x ? 1 , B ? ? y y ? ( ) ,

?

?

? ?

1 2

? x ? 1? . ?

(1)求出集合 A,B 并指出集合 A 与集合 B 之间的关系; (2)求 A ? B, CU A ? B .

?

?

4


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