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高职数学第七章平面向量题库


第七章平面向量题库 一、选择题 01-07-02 如图,每个小正方形的边长均为 1 个单位长度,分别以点 A,B,C 为起或终点,可以 构成若干向量。这些向量中模为 13 的向量是…………………………( ) A. B. 错误!未找到引用源。 C. D.

02-07-02 判断下列说法中正确的是………………( ) A.大小和方向是确定向量的两个要素 B.零向量是一个向量,所以它的方向是确定的 C.零向量的长度不确定 D.单位向量没有方向 03-07-02 判断下列说法中正确的是………………( ) A.若|a|>|b|,则 a>b B.单位向量都相等 C.0 和 0 相等

?

D.向量的模表示了向量的大小

04-07-02 在 4?5 方格纸中有一个向量错误!未找到引用源。 ,分别以图中的格点为起点和 终点作向量,其中与错误!未找到引用源。相等的向量(除 个?……………………………( ) A.6 个 B. 7 个 C. 8 个 D. 9 个 A B 本身外)有多少

F O E D

C

05-07-02 如图,O 是正六边形 ABCDEF 的中心,与错误!未找到引用源。平行的向量除 外共有多少个?………………( ) A.6 个 B. 7 个 C. 8 个 D. 9 个 06-07-02 下列结论中正确的是( ) A.若两个向量相等,则它们的起点和终点分别重合

B.模相等的两个平行向量是相等的向量 C.若 a 和 b 都是单位向量,则 a=b D.两个相等向量的模相等 07-07-02 设 O 是正三角形 ABC 的中心, 则向量错误! 未找到引用源。 ,错误! 未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。是…………………………………………………( ) A.相等向量 B.模相等的向量 C.共线向量 D.共起点的向量 08-07-02 下列结论中正确的是……………………( ) A.向量 a+b 与 b+a 不一定相等 B.因为 a+(-a)=0,所以|a|+|-a|=0 ? ? C.向量 ? a 的模等于向量 a 的模的 ? 倍 ? ? D.向量 ? a 与向量 a 是平行向量 09-07-02 在四边形 ABCD 中,设错误!未找到引用源。=a, =b, =c,则错误!未找到

引用源。等于…………………………………………( ) A.a+b-c B.b-a-c C.a-b-c D.b-a+c 10-07-02 已 知 ABCD 是 平 行 四 边 形 , 下 列 式 子 中 错 误 的 是…………………………………………………( ) A. -错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 B. -错误!未找

到引用源。=错误!未找到引用源。 C. +错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 D. +错误!未找

到引用源。=错误!未找到引用源。 11-07-02 平面向量定义得两个要素是…………( ) A.大小和起点 B.大小和方向 C.方向和起点 D.起点和终点 12-07-02 下列说法中错误的是…………………( ) A.零向量平行于任何向量 B.对于平面上任意三点 A,B,C,一定有错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=错误! 未找到引用源。 C.若 =m 错误!未找到引用源。 (m∈R) ,则错误!未找到引用源。∥错误!未找到引用

源。 D.若向量 a=m 错误!未找到引用源。 ,向量 b=n 错误!未找到引用源。 ,则当 m=n 时,向量 a=b. 13-07-02 错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。等 于……………………………( ) A.2 错误!未找到引用源。 B.2 错误!未找到引用源。 C.错误!未找到引用源。 D.0 14-07-02 设 点 M ( a , b ) ,N(m,n) ,则错误!未找到引用源。的坐标 是…………………………………………………( ) A.(a-m,b-n) B.(a-b,m-n)

C.(m-a,n-b) 15-07-02 已 知

C.(b-a,n-m)

? ? a ?b ? 8



? ? a ? 2, b ? 4 2





<

? a



? b

>

是…………………………………………………( ) A.0° B.90° C.180° D.270° 16-07-02 下列各组向量中互相垂直的是………( ) A.a=(-3,5) ,b=(-1,5) B.a=(3,2) ,b=(-3,-2) C.a=(3,4) ,b=(4,-3) D.a=(-3,3) ,b=(-1,1) 17-07-02 已知|a|=5,|b|=4,错误!未找到引用源。=60°,则 a?b 等于( ) A.10 B.12 C.15 D.18 18-07-02 已知 a= (-2,4) , b= (6, m) , 且 a? b=0, 则 m 的值是………………………………………… ( ) A.3 B.4 C.-3 D.-4 19-07-02 已知 a= (3,4) , b= (6, m) , 且 a∥b, 则 m 的值是………………………………………… ( ) A.8 B.5 C.6 D.4 20-07-02 已 知 a= ( 2 , -3 ), b= ( 1,1 ), 则 a 与 b 的 夹 角 的 余 弦 值 是…………………………………………( ) A. ?

1 29

B.

1 26

C.

1 29

D. ?

1 26

二、填空题 21-07-02 如图 7-7,在 4?5 方格纸中有一个向量错误!未找到引用源。 ,分别以图中的格点 为起点和终点作向量,其中与错误!未找到引用源。相等的向量有 个(错误!未找 到引用源。除外) 。 A B

F O E D

C

(图 7-7) (图 7-8) 22-07-02 图 7-7,在 4?5 方格纸中有一个向量错误!未找到引用源。 ,分别以图中的格点为 起点和终点作向量,其中与错误!未找到引用源。长度相等且共线的向量有 个(错 误!未找到引用源。除外) 。 23-07-02 如图 7-8,O 是正六边形 ABCDEF 的中心,写出与错误!未找到引用源。相等的向 量 。 24-07-02 如图 7-8,O 是正六边形 ABCDEF 的中心,写出与错误!未找到引用源。相反的向 量 。 25-07-02 如图 7-9,四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 O. 错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。= 错误!未找到引用源。+错误!

未找到引用源。= 错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。= 26-07-02 如图 7-9,四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 O (错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。)+错误!未找到引用源。= A B 错误!未找到引用源。+(错误!未找到引用源。 +错误!未找到引用源。 )= 错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用 源。= F C O 图 7-9 E D 27-07-02 如图 7-10,O 为正六边形 ABCDEF 的中心,则: (1) 错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。= (2)错误!未找到引用源。 +错误!未找到引用源。= 28-07-02 如图,O 为正六边形 ABCDEF 的中心,则 错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用 源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。= 7-10 29-07-02 错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。= ,错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。= 30-07-02 错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。= ,错误!未找到引用源。+ (错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。 )= 31-07-02 计算(-3)?4a= 32-07-02 计算 5(a+b)-2(a-b)= 33-07-02 写出向量 a= 5i ? 3 j 的坐标表示 34-07-02 向量 b= ? 5i 的坐标表示 ,向量 ?j 的坐标表示是 。

35-07-02 如图 7-11,已知错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。是单位向量,将图 中给出的向量 a,b,c,d 用坐标分别表示为 a= ,b= ,c= ,d=

(图 7-11)

图 7-12 36-07-02 如图 7-12,点 C,D,E 将线段 AB 四等分,则: (1)错误!未找到引用源。= 错误!未找到引用源。 (2)错误!未找到引用源。= 错误!未找到引用源。

37-07-02 如图 7-12,点 C,D,E 将线段 AB 四等分,则: (1)错误!未找到引用源。 = 错误!未找到引用源。 (2)错误!未找到引用源。= ,

错误!未找到引用源。 38-07-02 已知 A, B 两点的坐标 A (0,3) , B (0, -2) , 则错误! 未找到引用源。 的坐标 错误!未找到引用源。的坐标 39-07-02 已知向量 a=(3,-4) ,b= (? 5,2) ,则向量 a 的模是 40-07-02 已知|a|=|b|= 2 ,a?b= ? ,向量 b 的模是



2 则? =

41-07-02 向量 a=(3,-2) ,b=(1,5)的内积是 。 42-07-02 向量 a=(-3,1) ,b=(2,-5)的内积是 。 43-07-02 若 a⊥b,则 a?b= 。 44-07-02 若 a∥b,则 a?b= 。 45-07-02 已知|a|=4,|b|=5,错误!未找到引用源。=45°,则 a?b= 。 三、解答题 46-07-02 如图 7-3, 每个小正方形的边长均为 1 个单位长度, 分别以点 A,B,C 为起点或终点, 可以构成哪些向量?用有向线段表示这些向量并求出它们的模。

(图 7-3) 47-07-02 如图,3?4 方格纸中有一个向量错误!未找到引用源。 ,分别以图中的格点为起点 和终点作向量,其中与错误!未找到引用源。相等的向量有多少个?与错误!未找到引用源。 长度相等且共线的向量有多少个?(错误!未找到引用源。除外)

48-07-02 如图,分别写出菱形 ABCD 中与错误!未找到引用源。相等、相反、平行的向量.

D A C B

O

49-07-02 如图,O 是正方形 ABCD 对角线的交点,在以 A,B,C,D,O 五点中任意一点为起点, 另一点为终点的所有向量中,写出: (1)与错误!未找到引用源。相等的向量. A (2)与错误!未找到引用源。共线的向量 . D

O 50-07-02 计算 (1) (-5)?2a B C (2)3(2a-b)-4(3a+b) 51-07-02 计算(2a-3b-2c)-(3a+2b-c) 52-07-02 已知 e 是一个非零向量,将下列各题中的向量 b 表示为实数与向量 a 的乘积. (1)a=2e,b=8e (2)a=3e,b=-6e 53-07-02 计算: (a+4b-3c)-(2a-3b-5c). 54-07-02 写出下列向量的坐标表示,并在如图所示的正方形网格中作出下列向量(以 O 为 起点) : (1)a= ? 4i ? 3 j (2)b=2 i (3)c= ? 4 j 错误!未找到引用源。

(第 54 题) (第 55 题) 55-07-02 如图,用单位向量错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。分别表示向量 a, b,c,d,e,f,并求它们的坐标。

56-07-02 已知 a=(3,4) ,b=(5,-3) ,求 a+b,a-b,2a-3b. 57-07-02 向量 a=(错误!未找到引用源。 ) ,b=(4,x) ,当错误!未找到引用源。是何值时, (1)a∥b(2)a 与 b 方向相同?

58-07-02 已知向量 a,b 的坐标 a=(5,3) ,b=(2,-4) ,求 a+b,a-b,3a-2b 59-07-02 已知向量 a,b 的坐标 a=(-2,7) ,b=(3,-2) ,求 a+b,a-b,3a-2b 60-07-02 已知向量 a=(错误!未找到引用源。 ) ,b=(1,X) ,当 X 是何值时 a∥b. 61-07-02 求下列向量的模: (1)a=(3,6) (2)b=(-5,12) 62-07-02 求下列向量的模: (1)a=(-4,0) (2)b= ? 2 ,? 7

?

?

63-07-02 求下列向量 a、b 的内积:a=(0,-2) ,b=(1,0) 64-07-02 已知 a=(-1,2) ,b=(-3,1) ,求 a?b,|a|,|b| 和它们的夹角 ? 。 65-07-02 判断下列各组向量是否相互垂直: (1)a=(6,3) ,b=(-2,4) ; (2)a=(1,-2) ,b(0,3) 66-07-02 求下列向量的内积: (1)a=(4,-3) ,b=(-1,2) ; (2)a=(-2,3) ,b=(0,-3) 。 67-07-02 已知 a=(2,-1) ,b=(-1,5) ,求 3a?2b. 68-07-02 已知 a=(-2,0) ,b=(0,2) ,求 a?b,|a|,|b|,<a,b>。 69-07-02 已知向量错误!未找到引用源。=(-1,2) ,错误!未找到引用源。=(3,m) ,错误! 未找到引用源。⊥错误!未找到引用源。 ,求 m 的值。 70-07-02 已知向量 a=(4,-3) ,b=(5,12) ,求 a、b 夹角的余弦值。 四、作图题与证明题 71-07-02 已知 a=(3,4) ,b=(8,-6) ,求证:a⊥b 72-07-02 已知 a=(1,-3) ,b=(2,-6) , 求证:a∥b 73-07-02 如图 7-13,已知向量 a,b,用两项的三角形法则作和向量 a+b. b a (图 7-13) 74-07-02 如图 7-15,已知两个共线向量 a 与 b,用向量的三角形法则求它们的和向量 a+b. a b a

b

(1) (2) (图 7-15) 75-07-02 如图 7-18,已知向量 a 与 b,用向量加法的平行四边形法则作向量 a+b. b

a

(图 7-18) 76-07-02 如图 7-22,已知向量 a,b,c,求作向量 a-b,c-b.

a

b

c

(图 7-22) 77-07-02 如图 7-25,已知向量 a 和向量 b,求作向量 1.5a,-2b,2a-3b. a b

(图 7-25) 78-07-02 如图,已知向量 a,b,求作下列向量: (1) a+b (2)a-b (3)2a+2b (4)3a-b

a

b

第七章平面向量题库答案 一、选择题 01-07-02 B 02-07-02 A 03-07-02 D 04-07-02 B 05-07-02 D 06-07-02 D 07-07-02 B 08-07-02 D 09-07-02 B 10-07-02 B 11-07-02 B 12-07-02 D 13-07-02 B 14-07-02 C 15-07-02 C

16-07-02

C

17-07-02 A 18-07-02 A 19-07-02 A 20-07-02 D 二、填空题 21-07-02 7 22-07-02 15 23-07-02 24-07-02 25-07-02 26-07-02 27-07-02 28-07-02 29-07-02

CB , DO , EF

BC, OD, FE, AO AC, AO, AC AD, AD, 0
OB, 0
0

0, CB CB, 0

30-07-02 错误!未找到引用源。 31-07-02 32-07-02 33-07-02 34-07-02 35-07-02 36-07-02

? 12a 3a ? 7b
(5,-3) (-5,0) , ?0, ? ?

a ? ?3,1?, b ? ?4,0?, c ? ?0,?2?, d ? ?? 2,?3?
2, ?

1 2

37-07-02 38-07-02 39-07-02 40-07-02

2 ? ,3 3

AB ? ?0,?5?, BA ? ?0,5? a ? 5, b ? 3

? ?1 3 0 5

41-07-02 -7 42-07-02 -11 43-07-02 0 44-07-02 45-07-02

?ab
10 2

三、解答题 46-07-02 答: AB, BA ,模 5

BC, CB ,模 13 ; AC, CA ,模 4
47-07-02 答:5 个,11 个 48-07-02 答: ?1?DC; (2) BA, CD; ?3?DC, BA, CD 49-07-02 答: ?1?BA; ?2?CB, AD, DA 50-07-02 答: ?1? ?10a; ?2? ? 6a ? 7b 51-07-02 答: ? a ? 5b ? c 52-07-02 答: ?1?b ? 4a ; b ? ?2a 53-07-02 计算: (a+4b-3c)-(2a-3b-5c). 解 a+4b+3c-2a+3b+5c=-a+7b+2c 54-07-02(1)a= ? 4i ? 3 j =(-4,-3) (2)b=2 i =(-2,0) (3)c= ? 4 j =(0,-4)错误!未找到引用源。 55-07-02 答:向量 a,b,c,d,e,f,并求它们的坐标分别是(3,1) 、 (-1,3) 、 (2,-4) 、 (-3,-2) 、 (4,0) 、 (0,-2) 56-07-02 已知 a=(3,4) ,b=(5,-3) ,求 a+b,a-b,2a-3b. 解 a+b=(3,4)+(5,-3)=(8,1) a-b=(3,4)-(5,-3)=(-2,7) 2a-3b=2(3,4)-3(5,-3)=(6,8)-(15,-9)=(-9,17) 57-07-02 向量 a=(错误!未找到引用源。 ) ,b=(4,x) ,当错误!未找到引用源。是何值时, (1)a∥b(2)a 与 b 方向相同? 解(1)a∥b 错误!未找到引用源。? x -4?1=0 错误!未找到引用源。=±2; (1) 当错误!未找到引用源。=2 时,a 与 b 方向相同. 58-07-02 已知向量 a,b 的坐标 a=(5,3) ,b=(2,-4) ,求 a+b=(7,-1) ,a-b=(3,7) , 3a-2b=(11,17) 59-07-02 已知向量 a,b 的坐标 a=(-2,7) ,b=(3,-2) ,求 a+b=(1,5) ,a-b=(-5,9) , 3a-2b=(-12,25) 60-07-02 已知向量 a=(错误!未找到引用源。 ) ,b=(1,X) ,当 X 是何值时 a∥b.

答:当 x=3 或-3 时 61-07-02(1) a ? 3 5 (2)13

62-07-02(1)4; (2)3 63-07-02 求下列向量 a、b 的内积:a=(0,-2) ,b=(1,0) 解:a?b=0?1+(-2)?0=0 64-07-02 已知 a=(-1,2) ,b=(-3,1) ,求 a?b,|a|,|b|,错误!未找到引用源。 解:a?b=(-1)?(-3)+2?1=5 |a|= 5 |b|=错误!未找到引用源。 , cos? ?

2 0 , ? ? 45 2

65-07-02 判断下列各组向量是否相互垂直: (1)a=(6,3) ,b=(-2,4) ; (2)a=(1,-2) ,b(0,3) 解(1)因为 a?b=6?(-2)+3?4=0,所以 a⊥b (2)因为 a?b=1?0+(-2)?3=-6≠0,所以 a 与 b 不相互垂直。 66-07-02(1)向量的内积-10; (2)向量的内积-9 67-07-02 答:-42 68-07-02 答:0,2,2,900 69-07-02 答:m 的值 3/2 70-07-02 答:a、b 夹角的余弦值 ?

16 。 65

四、作图题与证明题 71-07-02 已知 a=(3,4) ,b=(8,-6) ,求证:a⊥b 证明:∵a.b=3*8+4*(-6)=0∴a⊥b 72-07-02 已知 a=(1,-3) ,b=(2,-6) ,求证:a∥b 证明:∵a:b=1:2,∴ a ?

1 b ,∴a⊥b 2

73-07-02 如图 7-13,已知向量 a,b,用两项的三角形法则作和向量 a+b. b a A a b

B a+b

C

(图 7-13) 解:如图 7-14(2) ,在平面内任取一点 A,作错误!未找到引用源。=a,错误!未找到引 用源。=b,则向量错误!未找到引用源。就是错误!未找到引用源。与错误!未找到引用 源。的和,即 a+b=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 74-07-02 如图 7-15,已知两个共线向量 a 与 b,用向量的三角形法则求它们的和向量 a+b. a b a

b

(2) (图 7-15)

(2)

(1)

解:如图 7-16(1) ,当两向量 a,b 同向时,在平面内任取一点 A,作错误!未找到引用源。 =a,错误!未找到引用源。=b,则向量错误!未找到引用源。就是错误!未找到引用源。 与错误!未找到引用源。的和,即 a+b=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=错 误!未找到引用源。 如图 7-16(2) ,当两向量 a,b 反向时,在平面内任取点 O,作错误!未找到引用源。 =a,错误!未找到引用源。=b,则向量错误!未找到引用源。就是错误!未找到引用源。 与错误!未找到引用源。的和,即 a+b=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=错 误!未找到引用源。 75-07-02 如图 7-18,已知向量 a 与 b,用向量加法的平行四边形法则作向量 a+b. b a (图 7-18) O b

a

A a+b C

B

解:如图 7-18(2) ,以任意一点 O 为起点,分别作错误!未找到引用源。=a,错误!未找 到引用源。=b,以 OA,OC 为邻边作 OABC,则以 O 为起点的对角线向量错误!未找 到引用源。就是所求作的向量 a+b. 76-07-02 如图 7-22,已知向量 a,b,c,求作向量 a-b,c-b. A c a O a-b b B c-b C

a

b

(图 7-22)

c

解:如图 7-22(2) ,在平面内任取一点 O,作错误!未找到引用源。=a,错误!未找到引 用源。=b,错误!未找到引用源。=c,作错误!未找到引用源。=a-b,错误!未找到引用源。 =c-b. 77-07-02 如图 7-25,已知向量 a 和向量 b,求作向量 1.5a,-2b,2a-3b.

a

b

-2b 1.5a A (图 7-25) 3b O 2a B 解:如图 7-26(1) ,向量 1.5a 的长度是向量 a 的长度的 1.5 倍,方向与向量 a 相同. 如图 7-26(2) ,向量-2b 的长度是向量 b 的长度的 2 倍,方向与向量 b 相反 如图 7-26(3) ,以 O 为起点,分别作错误!未找到引用源。=2a,错误!未找到引用源。=3b, 连接 BA,则错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=2a-3b. 78-07-02 如图,已知向量 a,b,求作下列向量: (2) a+b (2)a-b (3)2a+2b (4)3a-b 解: a b B 2a-3b

O 2a =2a+2b B O =3a-b A

2b

A


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