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高中数学选修2-3精讲精练第二章


高中数学选修 2-3

第二章

概率

第一讲 离散型随机变量的分布列................................................................................................. 3 第 1.1 练 ........................................................................................................................................... 5 第一练答案....................................................................................................................................... 6 第二练答案....................................................................................................................................... 6 第三练 参考答案............................................................................................................................. 6 第 1.2 练 离散型随机变量解答题............................................................................................ 7 第 1.3 练 离散型随机变量解答题............................................................................................ 9 离散型随机变量解答题答案......................................................................................................... 11 《概率》测试题 ............................................................................................................................ 15 选修 2-3《概率》测试题答案.................................................................................................... 17 第二讲 离散型随机变量的期望值和方差................................................................................... 18 第二练 ............................................................................................................................................ 19 第三讲 超几何分布 .................................................................................................................... 20 第三练 超几何分布..................................................................................................................... 22 第四讲 条件概率........................................................................................................................... 23 第四练 条件概率........................................................................................................................... 29 第五讲 独立重复试验与二项分布 ............................................................................................. 31 第五练 二项分布及其应用 ......................................................................................................... 36 45 分钟单元综合检测题答案 ........................................................................................................ 38 第六讲 正态分布......................................................................................................................... 39 第六练 正态分布........................................................................................................................... 41 第六练 概率分布参考答案: ................................................................................................... 43

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第二章

概率

第一讲 离散型随机变量的分布列
一、知识梳理 1.随机变量的概念 如果随机试验的结果可以用一个变量表示, 那么这样的变量叫做随机变量, 它常用希腊 字母ξ 、η 等表示. (1)离散型随机变量.如果对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,那么 这样的随机变量叫做离散型随机变量. (2)若ξ 是随机变量,η =aξ +b,其中 a、b 是常数,则η 也是随机变量. 2.离散型随机变量的分布列 (1)概率分布(分布列).设离散型随机变量ξ 可能取的值为 x1,x2,?,xi,?,ξ 取每一个值 xi(i=1,2,?)的概率 P(ξ =xi)=pi,则称表
ξ P x1 p1 x2 p2 ? ? xi pi ? ?

为随机变量ξ 的概率分布,简称ξ 的分布列. (2)二项分布.如果在一次试验中某事件发生的概率是 p,那么在 n 次独立重复试验中 这个事件恰好发生 k 次的概率是 P(ξ =k)=C k pkqn k. n 其中 k=0,1,?,n,q=1-p,于是得到随机变量ξ 的概率分布如下:
ξ P
0


0 C n p0qn
1

1 C n p1qn
-1

? ?
k

k C n pkqn
-k

? ?
n

n C n pnq0

我们称这样的随机变量ξ 服从二项分布,记作ξ ~B(n,p) ,其中 n、p 为参数,并记 C k pkqn k=b(k;n,p). n


特别提示
二项分布是一种常用的离散型随机变量的分布. (3). 几何分布:“ ? ? k ”表示在第 k 次独立重复试验时,事件第一次发生,如果把 k 次试验时事件 A 发
生记为 A k ,事 A 不发生记为 A k , P(Ak ) ? q ,那么 P(ξ ? k) ? P(A 1 A 2 ? A k ?1 A k ) .根据相互独立事件的概 率乘法分式: P(ξ ? k) ? P(A1 )P(A 2 ) ? P(A k ?1 )P(Ak ) ?q k ?1p (k ? 1,2,3, ?) 于是得到随机变量 ξ 的概率分布 列.

?

1 q

2 qp
k?1

3
q p
2

… …

k
q k ?1 p

… …

P

我们称 ξ 服从几何分布,并记 g(k, p) ?q

p ,其中 q ? 1 ? p. k ? 1,2,3?

三、例题剖析 【例 1】 在 10 件产品中有 2 件次品,连续抽 3 次,每次抽 1 件,求: (1)不放回抽样时,抽到次品数ξ 的分布列; (2)放回抽样时,抽到次品数η 的分布列.

特别提示
求离散型随机变量分布列要注意两个问题: 一是求出随机变量所有可能的值; 二是求出 取每一个值时的概率.

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【例 2】 一袋中装有 5 只球,编号为 1,2,3,4,5,在袋中同时取 3 只,以ξ 表示取 出的三只球中的最小号码,写出随机变量ξ 的分布列. 【例 3】 盒中装有一打(12 个)乒乓球,其中 9 个新的,3 个旧的(用过的球即为旧 的) ,从盒中任取 3 个使用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数ξ 是一个随机变量,求ξ 的分布列.

思考讨论
若本题改为:若每次取 1 个,用完放回再取 1 个,用完再放回,再取 1 个用完放回,则 怎样求此时ξ 的分布列呢?

【例 4】 (05 年山东卷)袋中装有黑球和白球共 7 个,从中任取 2 个球都是白球的概率 为 , 现有甲、乙两人从袋中轮流摸取 1 球,甲先取,乙后取,然后甲再取??取后不放回, 直到两人中有一人取到白球时既终止,每个球在每一次被取出的机会是等可能的,用 ? 表示 取球终止所需要的取球次数. (I)求袋中所有的白球的个数; (II)求随机变量 ? 的概率分布; (III)求甲取到白球的概率.

1 7

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概率

第 1.1 练
基础训练 1.抛掷两颗骰子,所得点数之和为ξ ,那么ξ =4 表示的随机试验结果是 A.一颗是 3 点,一颗是 1 点 B.两颗都是 2 点 C.两颗都是 4 点 D.一颗是 3 点,一颗是 1 点或两颗都是 2 点 2.下列表中能成为随机变量ξ 的分布列的是 A.
ξ P -1 0.3 0 0.4 1 0.4

B.
ξ P 1 0.4 -1 0.3 2 0.7 3 -0.1

C.
ξ P 0 0.4 1 0.3

D.
ξ P 1 0.3 2 0.4 3 0.4

3.已知随机变量ξ 的分布列为 P(ξ =k)= A.
3 16

1 2k

,k=1,2,?,则 P(2<ξ ≤4)等于 C.
1 16

B.

1 4

D.

1 5

4.某批数量较大的商品的次品率为 10%,从中任意地连续取出 5 件,其中次品数ξ 的分 布列为________. 5.设随机变量ξ ~B(2,p) ~B(4,p) ,η ,若 P(ξ ≥1)=
5 ,则 P(η ≥1)=______. 9

1 *6.如果ξ ~B(20, ) ,则使 P(ξ =k)取最大值的 k 的值是________. 3 同步练习 1.袋中有大小相同的 5 个球,分别标有 1,2,3,4,5 五个号码,现在在有放回抽取的 条件下依次取出两个球,设两个球号码之和为随机变量ξ ,则ξ 所有可能取值的个数是 A.5 B.9 C.10 D.25 2.一袋中有 5 个白球,3 个红球,现从袋中往外取球,每次任取一个记下颜色后放回, 直到红球出现 10 次时停止,设停止时共取了ξ 次球,则 P(ξ =12)等于 3 5 A.C 10 ( )10· ( )2 12 8 8
9 C.C 11 (

3 5 3 9 B.C 11 ( )9( )2· 8 8 8 3 5 9 D.C 11 ( )9· ( )2 8 8

5 9 3 ) · )2 ( 8 8

3.现有一大批种子,其中优质良种占 30%,从中任取 5 粒,记ξ 为 5 粒中的优质良种粒 数,则ξ 的分布列是______. 4.袋中有 4 只红球 3 只黑球,从袋中任取 4 只球,取到 1 只红球得 1 分,取到 1 只黑球 得 3 分,设得分为随机变量ξ ,则 P(ξ ≤6)=________.

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第一练答案 基础训练 1~3 DCA 4、
ξ P 0 0.9
5

1 0.5×0.9
4

2 0.1×0.9
3

3 0.01×0.9
2

4 4.5×0.1
4

5 0.15

5、

65 81

6、

解析:

P(? ? k ? 1) P(? ? k )

=

1 2 C k ?1 ( ) k ?1 ( ) 20? k ?1 20 3 3 1 k 2 20? k Ck ( ) ( ) 20 3 3

? = 20? 1k × 1 ≥1, 2 k

得 k≤6. 所以当 k≤6 时,P(ξ =k+1)≥P(ξ =k) , 当 k>0 时,P(ξ =k+1)<P(ξ =k) , 其中 k=6 时,P(ξ =k+1)=P(ξ =k) , 从而 k=6 或 7 时,P(ξ =k)取得最大值. 答案:6 或 7 同步练习
k 1~2 BB 3、P(ξ =k)=C 5 0.3k0.75 k,k=0,1,?,5


4、

13 35

第二练答案 1~6 BCBAAC 7、乙 8、
1 ,5。 9、1.2 2

第三练 参考答案

1-4 题 CACB;5、

5 ; 9

?
P

0 0.1

1 0.6

2 0.3

6、

7、略,8、0.007;9、略

6

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第 1.2 练

离散型随机变量解答题

1. 人忘记了电话号码的最后一个数字,因而他随意地拨号,假设拨过了的号码不再重复, 试求下列事件的概率: (1)第 3 次拨号才接通电话; (2)拨号不超过 3 次而接通电话.

2. 出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗, 假设他在各交通岗到红灯这一事件是相 互独立的,并且概率都是 . (1)求这位司机遇到红灯前,已经通过了两个交通岗的概率; (2)求这位司机在途中遇到红灯数ξ 的期望和方差。

1 3

3. 奖器有 10 个小球,其中 8 个小球上标有数字 2 , 2 个小球上标有数字 5 ,现摇出 3 个小 球,规定所得奖金(元)为这 3 个小球上记号之和,求此次摇奖获得奖金数额的数学期 望

4.某学生语、数、英三科考试成绩,在一次考试中排名全班第一的概率:语文为 0.9 , 数学为 0.8 ,英语为 0.85 ,问一次考试中 (Ⅰ)三科成绩均未获得第一名的概率是多少? (Ⅱ)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少

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概率

5.如图, A, B 两点之间有 6 条网线并联,它们能通过的最大信息量分别为 1,1, 2, 2,3, 4 .现 从中任取三条网线且使每条网线通过最大的信息量. (I) 设选取的三条网线由 A 到 B 可通过的信息总量为 x , x ? 6 时, 当 则保证信息畅通. 求线路信息畅通的概率; (II)求选取的三条网线可通过信息总量的数学期望.

6.三个元件 T1 , T2 , T3 正常工作的概率分别为

1 3 3 , , , 将它们中某两个元件并联后再和第三 2 4 4

元件串联接入电路. (Ⅰ)在如图的电路中,电路不发生故障的概率是多少? (Ⅱ)三个元件连成怎样的电路,才能使电路中不发生故障的概率最大?请画出此时 电路图,并说明理由.

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概率

第 1.3 练

离散型随机变量解答题

7.要制造一种机器零件,甲机床废品率为 0.05 ,而乙机床废品率为 0.1 ,而它们 的生产是独立的,从它们制造的产品中,分别任意抽取一件,求: (1)其中至少有一件废品的概率; (2)其中至多有一件废品的概率.

8.甲乙两人独立解某一道数学题,已知该题被甲独立解出的概率为 0.6 ,被甲或乙解出的 概率为 0.92 , (1)求该题被乙独立解出的概率; (2)求解出该题的人数 ? 的数学期望和方 差

9.某保险公司新开设了一项保险业务,若在一年内事件 E 发生,该公司要赔偿 a 元.设在 一年内 E 发生的概率为 p ,为使公司收益的期望值等于 a 的百分之十,公司应要求顾客交 多少保险金?

10.有一批食品出厂前要进行五项指标检验,如果有两项指标不合格,则这批食品不能出 厂.已知每项指标抽检是相互独立的,且每项抽检出现不合格的概率都是 0.2 . (1)求这批产品不能出厂的概率(保留三位有效数字); (2)求直至五项指标全部验完毕,才能确定该批食品是否出厂的概率(保留三位有效数字).

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概率

11.高三(1)班、高三(2)班每班已选出 3 名学生组成代表队,进行乒乓球对抗赛. 比赛 规则是:①按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛; ②代表队中每名队员至少参加一 盘比赛,不得参加两盘单打比赛. 已知每盘比赛双方胜出的概率均为 . (Ⅰ)根据比赛规则,高三(1)班代表队共可排出多少种不同的出场阵容? (Ⅱ)高三(1)班代表队连胜两盘的概率是多少?

1 2

12.袋中有大小相同的 5 个白球和 3 个黑球,从中任意摸出 4 个,求下列事件发生的概率. (1)摸出 2 个或 3 个白球 (2)至少摸出一个黑球.

练习: 1. 抛掷 2 颗骰子, 所得点数之和记为 ? , 那么 ? ? 4 表示的随机试验结果为____________。 2. 设某项试验的成功概率是失败概率的 2 倍,用随机变量 ? 描述 1 次试验的成功次数, 则 P(? ? 0) ? _______________。 3.若 ? 的分布列为:

?
P

0 p

1 q

其中 p ? (0,1) ,则 E? ? ____________________, D?

? ____________________,

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概率

离散型随机变量解答题答案
1、解:设 Ai ? {第 i 次拨号接通电话}, i ? 1, 2,3 (1)第 3 次才接通电话可表示为 A1 A2 A3 于是所求概率为 P( A1 A2 A3 ) ? 9 ? 8 ? 1 ? 1 ; 10 9 8 10 (2)拨号不超过 3 次而接通电话可表示为: A1 ? A1 A2 ? A1 A2 A3 于是所求概率为

P( A1 ? A 1A 2? A A A2 ) ? P( A )? P( A A ) 1 1 2 ? 1 3

P 1A 2A 3A 1 ( ? )

9 1 9 8 1 3 ? ? ? ? ? ?. 10 10 9 10 9 8 10

2、解: (1)因为这位司机第一、二个交通岗未遇到红灯,在第三个交通岗遇到红灯, 所以
1 1 1 4 P ? (1 ? )(1 ? ) ? ? . 3 3 3 27

(2)易知 ? ~ B(6, ).

1 3

∴ E? ? 6 ? 1 ? 2. 3

1 1 4 D? ? 6 ? ? (1 ? ) ? . 3 3 3

3、解:设此次摇奖的奖金数额为 ? 元, 当摇出的 3 个小球均标有数字 2 时, ? ? 6 ; 当摇出的 3 个小球中有 2 个标有数字 2 ,1 个标有数字 5 时, ? ? 9 ; 当摇出的 3 个小球有 1 个标有数字 2 , 2 个标有数字 5 时, ? ? 12 。
3 所以, P (? ? 6) ? C8 ? 7 3 C10 15
1 C82 C 2 7 ? 3 15 C10

P (? ? 9) ?

P(? ? 12 ) ?

1 2 C8 C 2 1 ? 3 15 C10

7 7 1 39 E? ? 6 ? ( ? 9 ? ?1 2 ? ? ) 15 15 15 5

答:此次摇奖获得奖金数额的数字期望是

39 元 5

4、解:分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为 A, B, C , 则 P( A) ? 0.9, P( B) ? 0.8, P(C) ? 0.85 (Ⅰ) P( A ? B ? C ) ? P( A) ? P( B) ? P(C )

? [1 ? P( A)][1 ? P( B)][1 ? P(C )] ? (1 ? 0.9)(1 ? 0.8)(1 ? 0.85) ? 0.003
答:三科成绩均未获得第一名的概率是 0.003 (Ⅱ) P( A ? B ? C ? A ? B ? C ? A ? B ? C ) ) (

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概率

? P( A ? B ? C ? P A? B? ) ? (P A B ) C ) ( C ? ?

? P( A) ? P( B)? P( C ) P( A) P( B) P( C ) ? ? ? ?

P( ?A) P(? B) P( C )

? [ 1 ?P (A ) P B P C? ) P A ?) [ 1P B( P ] C ( )P A ( P )?B ( ) [P C ( ) ] ] ( ) ( ( )? 1 ? ( 1 ? 0 . 9? 0 ?8 0 .?8 5 ?0 . 9 ( 1 ? 0 . 8 ) 0 . ? 5 ? . 9? 0 . 8 ( 1 ) . ? ? 8 0 ?0.329
答:恰有一科成绩未获得第一名的概率是 0.329 5、解: (I)?1 ? 1 ? 4 ? 1 ? 2 ? 3 ? 6,? P( x ? 6) ?
1 1 1 ? C2 ? C2 1 ? 3 4 C6

0.85)

5 1 ? 20 4 3 ?1 ? 3 ? 4 ? 2 ? 2 ? 4 ? 8,? P( x ? 8) ? 20 2 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 9,? P( x ? 9) ? ? 20 10 1 1 3 1 3 ? P( x ? 6) ? ? ? ? ? 4 4 20 10 4 ?1 ? 2 ? 4 ? 2 ? 2 ? 3 ? 7,? P( x ? 7) ?
(II)?1 ? 1 ? 2 ? 4, P( x ? 4) ?

1 3 ,?1 ? 1 ? 3 ? 1 ? 2 ? 2 ? 5, P( x ? 5) ? 10 20

∴线路通过信息量的数学期望

1 3 1 1 3 1 ? 5? ? 6? ? 7 ? ? 8? ? 9 ? ? 6.5 10 20 4 4 20 10 3 答: (I)线路信息畅通的概率是 . (II)线路通过信息量的数学期望是 6.5 4 ? 4?
6、解:记“三个元件 T1 , T2 , T3 正常工作”分别为事件 A1 , A2 , A3 ,则

P( A1 ) ?

1 3 3 , P( A2 ) ? , P( A3 ) ? . 2 4 4

(Ⅰ)不发生故障的事件为 ( A2 ? A3 ) A1 . ∴不发生故障的概率为

P1 ? P[( A2 ? A3 ) A1 ] ? P( A1 ? A3 ) ? P( A1 ) ? [1 ? P( A2 ) ? P( A3 )] ? P ( A1 ) ? [1 ? 1 1 1 15 ? ]? ? 4 4 2 32

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概率

(Ⅱ)如图,此时不发生故障的概率最大.证明如下: 图 1 中发生故障事件为 ( A1 ? A2 ) A3 ∴不发生故障概率为

P2 ? P[( A1 ? A2 ) A3 ] ? P( A1 ? A2 ) ? P( A3 ) ? [1 ? P( A1 ) ? P( A2 )]P( A3 ) ?
? P2 ? P 1
图 2 不发生故障事件为 ( A1 ? A3 ) A2 ,同理不发生故障概率为 P ? P2 ? P 3 1

21 32

7、解:设事件 A ? “从甲机床抽得的一件是废品” B ? “从乙机床抽得的一件是废品”. ; 则 P( A) ? 0.05, P( B) ? 0.1 (1)至少有一件废品的概率

P( A ? B) ? 1 ? P( A ? B) ? 1 ? P( A) ? P( B) ? 1 ? 0.95 ? 0.90 ? 0.145
(2)至多有一件废品的概率

P ? P( A ? B ? A ? B ? A ? B) ? 0.05 ? 0.9 ? 0.95 ? 0.1 ? 0.95 ? 0.9 ? 0.995
8、解: (1)记甲、乙分别解出此题的事件记为 A, B . 设甲独立解出此题的概率为 P ,乙为 P2 . 1 则 P( A) ? P ? 0.6, P( B) ? P2 1

P ( A ? B ) ? 1 ? P ( A ? B ) ? 1 ? (1 ? P )(1 ? P2 ) ? P ? P2 ? P P2 ? 0.92 1 1 1 ? 0.6 ? P2 ? 0.6 P2 ? 0.92 则0.4 P2 ? 0.32即P2 ? 0.8 (2) P(? ? 0) ? P( A) ? P( B) ? 0.4 ? 0.2 ? 0.08 P (? ? 1) ? P ( A) P ( B ) ? P ( A) P ( B ) ? 0.6 ? 0.2 ? 0.4 ? 0.8 ? 0.44 P (? ? 2) ? P ( A) ? P ( B ) ? 0.6 ? 0.8 ? 0.48

?的概率分布为 :
?
0

1

2
0.48

0.08 0.44 P E? ? 0 ? 0.08 ? 1 ? 0.44 ? 2 ? 0.48 ? 0.44 ? 0.96 ? 1.4
D? ? (0 ? 1.4) 2 ? 0.08 ? (1 ? 1.4) 2 ? 0.44 ? (2 ? 1.4) 2 ? 0.48 ? 0.1568 ? 0.0704 ? 0.1728 ? 0.4 或利用D? ? E (? 2 ) ? ( E? ) 2 ? 2.36 ? 1.96 ? 0.4

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概率

9、解:设保险公司要求顾客交 x 元保险金,若以 ? 表示公司每年的收益额,则 ? 是一个随 机变量,其分布列为:

? P

x 1? p

x?a p

因此,公司每年收益的期望值为 E? ? x(1 ? p) ? ( x ? a) p ? x ? ap . 为使公司收益的期望值等于 a 的百分之十,只需 E? ? 0 . 1 ,即 x ? a p 0 . 1 a , a ? 故可得 x ? a p 0 . 1 ) . ( ? 即顾客交的保险金为 a( p ? 0.1) 时,可使公司期望获益 0.1a . 10、解:(1)这批食品不能出厂的概率是: P ? 1 ? 0.8 ? C5 ? 0.8 ? 0.2 ? 0.263 .
5 1 4

(2)五项指标全部检验完毕,这批食品可以出厂的概率是:
1 P ? C4 ? 0.2 ? 0.83 ? 0.8 1

五项指标全部检验完毕,这批食品不能出厂的概率是:
1 P2 ? C4 ? 0.2 ? 0.83 ? 0.2

由互斥事件有一个发生的概率加法可知,五项指标全部检验完毕,才能确定这批产品 是否出厂的概率是: P ? P ? P2 ? C4 ? 0.2 ? 0.8 ? 0.4096 . 1
1 3

11、解: (I)参加单打的队员有 A3 种方法. 参加双打的队员有 C 2 种方法. 所以,高三(1)班出场阵容共有 A3 ? C 2 ? 12 (种)
2 1

2

1

(II)高三(1)班代表队连胜两盘,可分为第一盘、第二盘胜或第一盘负,其余两 盘胜, 所以,连胜两盘的概率为

1 1 1 1 1 3 ? ? ? ? ? . 2 2 2 2 2 8

12、解: (Ⅰ)设摸出的 4 个球中有 2 个白球、 3 个白球分别为事件 A, B ,则

P( A) ?

C52 ? C 32 3 C 2 ? C1 3 ? , P( B) ? 5 4 3 ? 7 7 C84 C8
∴ P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ?

∵ A, B 为两个互斥事件

6 7

即摸出的 4 个球中有 2 个或 3 个白球的概率为 (Ⅱ)设摸出的 4 个球中全是白球为事件 C ,则

6 7

P(C ) ?

C54 1 1 13 ? 至少摸出一个黑球为事件 C 的对立事件 其概率为 1 ? ? 4 C8 14 14 14

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第二章

概率

《概率》测试题
一、选择题 1.10 件产品中有 3 件次品,从 10 件产品中任取 2 件,取到次品的件数为随机变量,用 X 表示,那么 X 的取值为 ( ) A. 0,1 B. 0,2 C. 1,2 D. 0,1,2 2.设随机变量 X 等可能的取值 1,2,3,?,n,如果 P( X ? 4) ? 0.3 ,那么 ( )

A. n ? 3 B. n ? 4 C. n ? 9 D. n ? 10 3.在 15 个村庄中,有 7 个村庄不太方便,现从中任意选 10 个村庄,用 X 表示这 10 个村 庄中交通不方便的村庄数,下列概率等于

C74C86 的是 10 C15
C. P( X ? 4)

( D. P( X ? 4)



A.

P( X ? 2)

B. P( X ? 2)

4.盒子里有 25 个外形相同的球,其中 10 个白的,5 个黄的,10 个黑的,从盒子中任意取 出一球,已知它不是白球,则它是黑球的概率为 ( ) A.

1 5 5 216

B.

2 5

C.

1 3 31 216

D.

2 3
( )

5.将一颗质地均匀的骰子先后抛掷 3 次,至少出现一次 6 点向上的概率是

91 A. C. D. 216 6.一台 X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为 0.8000 ,有 4 台这种型号的
自动机床各自独立工作,则在一小时内至多 2 台机床需要工人照看的概率是( A. 0.1536 B. 0.1808 C. 0.5632 D. 0.9728 7. 已知随机变量 X 的 则 E( X ) 等 于 )

25 B. 215

X P

-1 0.5

0 0.3

1 0.2

分 ( )





A. 0

B. 0.2

C. -1

D. -0.3 ( )

8.随机变量 Y ? B(n, p) ,且 E (Y ) ? 3.6 , V (Y ) ? 2.16 ,则此二项分布是 A.

B(4, 0.9)

B. B(9, 0.4)

C. B(18,0.2)

D. B(36,0.1)

二、填空题 9.在一次歌手大奖赛上,七位评委为歌手打出的分数如下:9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7 ,去掉一个最高分和一个最低分后,则所剩数据的平均值是 ,方差是 . 10.某射手射击 1 次,击中目标的概率是 0.9 .她连续射击 4 次,且各次射击是否击中目标 相互之间没有影响.有下列结论: ①他第 3 次击中目标的概率是 0.9; ②他恰好击中目标 3 次的概率是 0.9 ? 0.1 ;③他至少击中目标 1 次的概率是 1 ? 0.1 .其中正确结论的序号是
3 4

(写出所有正确结论的序号). 11.100 件产品中有 5 件次品,不放回地抽取 2 次,每次抽 1 件.已知第 1 次抽出的是次品,

15

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第二章

概率

则第 2 次抽出正品的概率是 . 12.已知某 工厂生产的某种型号卡 车轮胎的使用寿命(单 位: km )服从正态分 布 利用正态分布估计使用寿命 N (36203, 48272 ) .一汽车公司一次从该厂买了 500 个轮胎, 在 36203—2×4827~36203+2×4827 范围内的轮胎个数是 . 三、解答题 13.某种彩票的开奖是从 1,2,3,?,36 中任意选出 7 个基本号码,凡购买的彩票上的 7 个号码中有 4 个或 4 个以上基本号码就中奖,根据基本号码个数的多少,中奖的等级 为 含有基本号码数 中奖等级 求至少中三等奖的概率. 4 四等奖 5 三等奖 6 二等奖 7 一等奖

14.甲、乙两人各进行 3 次射击,甲每次击中目标的概率为 为

1 ,乙每次击中目标的概率 2

2 , (1)记甲击中目标的次数为 X ,求 X 的概率分布及数学期望 E ( X ) ; 3

(2)求乙至多击中目标 2 次的概率; (3)求甲恰好比乙多击中目标 2 次的概率.

15.高二(1)班的一个研究性学习小组在网上查知,某珍贵植物种子在一定条件下发芽 成功的概率为

1 ,该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性实验. 2

(1)第 1 组做了 5 次这种植物种子的发芽实验(每次均种下一粒种子) ,求他们的实验至 少有 3 次成功的概率; (2)第二小组做了若干次发芽试验(每次均种下一粒种子) ,如果在一次实验中种子发芽 成功就停止实验,否则将继续进行下次实验,直到种子发芽成功为止,但发芽实验 的次数最多不超过 5 次, 求第二小组所做种子发芽实验的次数 X 的概率分布列和期 望.

16

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第二章

概率

选修 2-3《概率》测试题答案
题号 答案 1 D 2 D 3 C 4 D 5 D 6 D 7 D 8 B

9. 9.5 ; 0.016

10.

①③

11.

95 99

12. 477

13. P ( X ? 5) ? H (5;7, 7,36) ?

5 2 C7 C29 8526 ? 7 C36 8347680

6 1 C7 C29 203 P( X ? 6) ? H (6;7, 7,36) ? ? 7 C36 8347680 7 0 C7 C29 1 ? 7 C36 8347680

P( X ? 7) ? H (7;7, 7,36) ?

故至少中三等奖的概率为

P( X ? 5) ? P( X ? 5) ? P( X ? 6) ? P( X ? 7) ?
14. (1) X 的概率分布列为 X P 0 1

8730 8347680
2 3

3 8 1 3 3 1 1 或5 E ( X )? 0 ? ? ? ? ? ?3 ? 1 . E ( X ) ? 3 ? ? 1.5 ? 1 2 8 8 8 8 2 19 3 2 3 (2)乙至多击中目标 2 次的概率为 1 ? C3 ( ) ? 3 27

1 8

3 8

1 8

(3)设甲恰好比乙多击中目标 2 次为事件 A,甲恰击中目标 2 次且乙恰击中目标 0 次为事件 B1 ,甲恰击中目标 3 次且乙恰击中目标 1 次为事件 B2 ,则 A ? B1 ? B2 ,

3 1 1 2 1 B1 、 B2 为互斥事件, P( A) ? P( B1 ) ? P( B2 ) ? ? ? ? ? 8 27 8 9 24
15. (1)至少有 3 次发芽成功,即有 3 次、4 次、5 次发芽成功,所以所求概率

1 1 3 1 5 1 P ? C5 ( )5 ? C54 ( )5 ? C5 ( )5 ? 2 2 2 2 (2) X 的概率分布列为
X P 1 2 3 4 5

1 1 1 4 8 16 1 1 1 1 1 31 所以 E ( X ) ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 5? ? 2 4 8 16 16 16

1 2

1 16

17

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第二章

概率

第二讲 离散型随机变量的期望值和方差
一、知识梳理 1.期望:若离散型随机变量ξ ,当ξ =xi 的概率为 P(ξ =xi)=Pi(i=1,2,?,n,?) , 则称 Eξ =∑xi pi 为ξ 的数学期望,反映了ξ 的平均值. 期望是算术平均值概念的推广,是概率意义下的平均.Eξ 由ξ 的分布列唯一确定. 2.方差:称 Dξ =∑(xi-Eξ )2pi 为随机变量ξ 的均方差,简称方差. D? 叫标准差, 反映了ξ 的离散程度. 3.性质: (1)E(aξ +b)=aEξ +b,D(aξ +b)=a2Dξ (a、b 为常数). (2)二项分布的期望与方差:若ξ ~B(n,p) ,则 Eξ =np,Dξ =npq(q=1-p). Dξ 表示ξ 对 Eξ 的平均偏离程度,Dξ 越大表示平均偏离程度越大,说明ξ 的取值越 分散. 二、例题剖析 【例 1】 设ξ 是一个离散型随机变量,其分布列如下表,试求 Eξ 、Dξ .
ξ P -1 0 1-2q 1 q2

1 2

拓展提高
既要会由分布列求 Eξ 、Dξ ,也要会由 Eξ 、Dξ 求分布列,进行逆向思维.如:若ξ 是离散型随机变量,P(ξ =x1)=
3 2 7 6 ,P(ξ =x2)= ,且 x1<x2,又知 Eξ = ,Dξ = . 5 5 5 25

求ξ 的分布列. 解:依题意ξ 只取 2 个值 x1 与 x2,于是有 Eξ = Dξ =
3 2 7 x1+ x2= , 5 5 5 3 2 2 2 6 x1 + x2 -Eξ 2= . 5 5 25

?3x1 ? 2 x 2 ? 7, ? 从而得方程组 ? 2 ?3x1 ? 2 x 2 2 ? 11. ?

【例 2】 人寿保险中(某一年龄段) ,在一年的保险期内,每个被保险人需交纳保费 a 元,被保险人意外死亡则保险公司赔付 3 万元,出现非意外死亡则赔付 1 万元.经统计此年 龄段一年内意外死亡的概率是 p1,非意外死亡的概率为 p2,则 a 需满足什么条件,保险公 司才可能盈利? 【例 3】 把 4 个球随机地投入 4 个盒子中去,设ξ 表示空盒子的个数,求 Eξ 、Dξ .

特别提示
求投球的方法数时,要把每个球看成不一样的.ξ =2 时,此时有两种情况:①有 2 个空 盒子,每个盒子投 2 个球;②1 个盒子投 3 个球,另 1 个盒子投 1 个球. 【例 4】 若随机变量 A 在一次试验中发生的概率为 p(0<p<1) ,用随机变量ξ 表示 A 在 1 次试验中发生的次数. (1)求方差 Dξ 的最大值; 2 D? ? 1 (2)求 的最大值. E?

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概率

第二练
同步练习 离散型随机变量的期望值和方差 1.设服从二项分布 B(n,p)的随机变量ξ 的期望和方差分别是 2.4 与 1.44,则二项分 布的参数 n、p 的值为 A.n=4,p=0.6 B.n=6,p=0.4 C.n=8,p=0.3 D.n=24,p=0.1 2.一射手对靶射击,直到第一次命中为止每次命中的概率为 0.6,现有 4 颗子弹,命中 后的剩余子弹数目ξ 的期望为 A.2.44 B.3.376 C.2.376 D.2.4 3.设投掷 1 颗骰子的点数为ξ ,则 A.Eξ =3.5,Dξ =3.52 C.Eξ =3.5,Dξ =3.5 B.Eξ =3.5,Dξ = D.Eξ =3.5,Dξ =
35 12

35 16 4.设导弹发射的事故率为 0.01,若发射 10 次,其出事故的次数为ξ ,则下列结论正确 的是 A.Eξ =0.1 B.Dξ =0.1

C.P(ξ =k)=0.01k·0.9910

-k

k D.P(ξ =k)=C 10 ·0.99k·0.0110

-k

5.已知ξ ~B(n,p) ,且 Eξ =7,Dξ =6,则 p 等于 A.
1 7

B.

1 6

C.

1 5

D.

1 4

6.一牧场有 10 头牛,因误食含有病毒的饲料而被感染,已知该病的发病率为 0.02.设发 病的牛的头数为ξ ,则 Dξ 等于 A.0.2 B.0.8 C.0.196 D.0.804 7.有两台自动包装机甲与乙,包装重量分别为随机变量ξ 1、ξ 2,已知 Eξ 1=Eξ 2,Dξ 1> Dξ 2,则自动包装机________的质量较好. 8.设一次试验成功的概率为 p,进行 100 次独立重复试验,当 p=________时,成功次数 的标准差的值最大,其最大值为_______. 9.甲从学校乘车回家, 途中有 3 个交通岗, 假设在各交通岗遇红灯的事件是相互独立的, 并且概率都是
2 ,则甲回家途中遇红灯次数的期望为________. 5

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第二章

概率

第三讲

超几何分布

1、二点分布:如果随机变量 X 的分布列为: X P 2、超几何分布 在产品质量的不放回抽检中, N 件产品中有 M 件次品, 若 抽检 n 件时所得次品数 X=m 则 P ( X ? m) ?
m M Cn CN ??nm .此时我们称随机变量 X 服从超几何分布 M CN

1 p

0 1-p

1)超几何分布的模型是不放回抽样 2)超几何分布中的参数是 M,N,n 三、数学应用 例 1.在一个口袋中装有 30 个球,其中有 10 个红球,其余为白球,这些球除颜色外完全相 同.游戏者一次从中摸出 5 个球.摸到 4 个红球就中一等奖,那么获一等奖的概率是多少? 解:由题意可见此问题归结为超几何分布模型由上述公式得

P( X ? 4) ?

4 1 C10C20 ? 0.029 5 C30

例 2.一批零件共 100 件,其中有 5 件次品.现在从中任取 10 件进行检查,求取道次品件数 的分布列. 解:由题意 X P 0 0.58375 1 0.33939 2 0.07022 3 0.00638 4 0.00025 5 0.00001

例 1、4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛,设随机变量 ? 表示所选三人中女生人 数.(1)求 ? 得分布列; (2)求所选三人中女生人数 ? ? 1 的概率. 解、 (1)

?
P
(2) P(? ? 1) ?

0

1

2

1 5

3 5

1 5

4 5

20

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概率

例 2、某导游团由外语导游 10 人,其中 6 人会说日语,现要选出 4 人去完成一项任务,求 有两人会说日语的概率. 解、略

例 3、交 5 元钱,可以参加一次摸奖,一袋中有同样大小的球 10 个,其中 8 个标有 1 元钱, 2 个标有 5 元钱,摸奖者只能从中任取 2 个球,他所得奖励是所抽 2 球的钱数之和,求抽奖 人所得钱数的分布列. 解、

?
P

2

6

10

28 45

16 45

1 45

例 4、由 180 只集成电路组成的一批产品中,有 8 只是次品,现从中任抽 4 只,用 ? 表示其 中的次品数,试求: (1)抽取的 4 只中恰好有 k 只次品的概率; (2)抽取的 4 只产品中次品超过 1 只的概率. 解、略

21

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概率

第三练 超几何分布 1、从装有 3 个红球,2 个白球的袋中随机抽取 2 个球,则其中有一个红球的概率是 A 0.1 B 0.3 C 0.6 D 0.2 2、一批产品共 50 件,次品率为 4%,从中任取 10 件,则抽的 1 件次品的概率是 A 0.078 B 0.78 C 0.0078 D 0.078 3、盒中有 4 个白球,5 个红球,从中任取 3 个球,则抽出 1 个白球和 2 个红球的概率是
A

37 42
1 2

B

17 42
1 3

C

10 21
1 4

D

17 21
1 5

4、一个小组有 6 人,任选 2 名代表,求其中某甲当选的概率是 A B C D

5、从分别标有数字 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的 9 张卡片中任取 2 张,则两数之和是奇 数的概率是________________. 6、从装有 3 个红球,2 个白球的袋中随机取出 2 个球,设其中有 ? 个红球,则 ? 得分布列 是___________________________________. 7、 从一副扑克 (无王) 中随意抽取 5 张, 求其中黑桃张书的概率分布是___________________. 8、一批产品共 100 件,其中有 10 件次品,为了检验其质量,从中随机抽取 5 件,求在抽取 的这 5 件产品中次品数的分布列, 并说明 5 件产品中有 3 件以上为次品的概率.(精确到 0.001)

9、设袋中有 N 个球,其中有 M 个红球,N-M 个黑球,从中任取 n 个球,问恰有 k 个红球 的概率是多少?

22

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第二章

概率

第四讲 条件概率

23

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概率

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概率

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概率

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第二章

概率

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第二章

概率

第四练 条件概率
1.已知 P(B|A)= A.

1 2

3 1 ,P(A)= ,则 P(AB)=( 10 5 3 2 B. C. 2 3

) D.

3 50

2.由“0”“1” 组成的三位数码组中,若用 A 表示“第二位数字为 0”的事件,用 B 表示 、 “第一位数字为 0”的事件,则 P(A|B)=( ) A.

1 2

B.

1 3

C.

1 4

D.

1 8

3.某地区气象台统计,该地区下雨的概率是 雨的概率为 A.

4 2 ,刮三级以上风的概率为 ,既刮风又下 15 15
) D.

8 225

1 ,则在下雨天里,刮风的概率为( 10 3 1 B. C. 2 8

3 4

4.设某种动物有出生算起活 20 岁以上的概率为 0.8,活到 25 岁以上的概率为 0.4.现有一 个 20 岁的这种动物,问它能活到 25 岁以上的概率是 . 5.一个口袋内装有 2 个白球,3 个黑球,则 (1)先摸出 1 个白球后放回,再摸出 1 个白球的概率? (2)先摸出 1 个白球后不放回,再摸出 1 个白球的概率?

6.某种元件用满 6000 小时未坏的概率是

1 3 ,用满 10000 小时未坏的概率是 ,现有一个 4 2

此种元件,已经用过 6000 小时未坏,求它能用到 10000 小时的概率

7.某个班级共有学生 40 人,其中有团员 15 人,全班分成四个小组,第一小组有学生 10 人,其中团员 4 人。如果要在班内任选一人当学生代表 (1)求这个代表恰好在第一小组内的概率 (2)求这个代表恰好是团员代表的概率 (3)求这个代表恰好是第一小组内团员的概率 (4)现在要在班内任选一个团员代表,问这个代表恰好在第一小组内的概率

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第二章

概率

8.市场上供应的灯泡中,甲厂产品占 70%,乙厂占 30%,甲厂产品合格率是 95%,乙厂 合格率是 80%,则(1)市场上灯泡的合格率是多少? (2)市场上合格品中甲厂占百分之几?(保留两位有效数字)

9. 一个家庭中有两个小孩, 已知其中一个是女孩, 问这时另一个小孩也是女孩的概率? (每 个小孩是男孩和女孩的概率相等)

10.在一批电子元件中任取一件检查,是不合格品的概率为 0.1,是废品的概率为 0.01,已 知取到了一件不合格品,它不是废品的概率是多少?

27 400

1 20

30

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第二章

概率

第五讲 独立重复试验与二项分布

二项分布定义: 在 n 次独立重复试验中,设事件 A 发生的次数为 X ,在每次试验中事件 A 发 生的概率为 p,那么在 n 次独立重复试验中,事件 A 恰好发生 k 次的概率为
P( X ? k )
k ? Cn p k (1 ? p ) n ? k , (k ? 0,1,2, ? n)

则称随机变量 X 服从二项分布, 记作 X~B(n,p),也叫 Bernolli 分布。
复习时应注意: 1. 独立重复试验要从三方面考虑第一:每次试验是在同样条件下进行第二:各次试验中的 事件是相互独立的第三,每次试验都只有两种结果,即事件要么发生,要么不发生 2. 如果 1 次试验中某事件发生的概率是 P , 那么 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次 的概率为 Pn (k ) ? C n P (1 ? P)
k k n?k

此式恰为 [(1 ? P) ? P] 展开式中的第 k ? 1 项,可见排列
n

组合、二项式定理及概率间存在着密切的联系。 再现型题组 1.在相同的条件下重复做的 称为 n 次独立试验。在 n 次独立重复试验中, “在 相同条件下”等价于各次试验的 验的结果,则 P( A1 A2 ? An ) ? ________________ . 2.若设事件 A 发生的次数为 X,在每次试验中事件 A 发生的概率为 P,那么在 n 次独立重复 试 验 中 事 件 A 恰 好 发 生 k 次 的 概 率 为 P( X ? k) ? _ _ _ _ _ _ _ _ 其 中 k 的 取 值 为 __, ,若 Ai ( i ? 1, 2,?, n )是第 i 次试

_________ . 此时随机就是 X 服从二项分布,记为

,并称 P 为成功概

率。 巩固型题组 3.某气象站天气预报的准确率为 80% ,计算(结果保留两个有效数字) : (1)5 次预报中恰有 4 次准确的概率; (2)5 次预报中至少有 4 次准确的概率 4. 从 6 名男同学和 4 名女同学中随机选出 3 名同学参加计算机理论测试,每位同学通过测 试的概率为 0.7,试求: (Ⅰ)选出的三位同学中至少有一名女同学的概率; (Ⅱ)选出的三位同学中同学甲被选中并且通过测试的概率; (Ⅲ)设选出的三位同学中男同学的人数为 ? ,求 ? 的概率分布. 提高型题组 5.袋子 A 和 B 中装有若干个均匀的红球和白球,从 A 中摸出一个红球的概率是 摸出一个红球的概率为 p. (Ⅰ)从 A 中有放回地摸球,每次摸出一个,有 3 次摸到红球即停止. (i)求恰好摸 5 次停止的概率; (ii)记 5 次之内(含 5 次)摸到红球的次数为 ? ,求随机变量 ? 的分布列。

1 ,从 B 中 3

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第二章

概率

(Ⅱ) 若 A、B 两个袋子中的球数之比为 12,将 A、B 中的球装在一起后,从中摸出一个红 球的概率是

2 ,求 p 的值. 5 9 、 10

【变式与拓展】加工某种零件需经过三道工序。设第一、二、三道工序的合格率分别为

8 7 、 ,且各道工序互不影响。 9 8
(1) 求该种零件的合格率; (2) 从该种零件中任取 3 件,求恰好取到一件合格品的概率和至少取到一件合格品的概 率。 6.某会议室用 5 盏灯照明,每盏灯各使用灯泡一只,且型号相同.假定每盏灯能否正常照明 只与灯泡的寿命有关, 该型号的灯泡寿命为 1 年以上的概率为 p1, 寿命为 2 年以上的概率为 p2.从使用之日起每满 1 年进行一次灯泡更换工作,只更换已坏的灯泡,平时不换. (Ⅰ)在第一次灯泡更换工作中,求不需要换灯泡的概率和更换 2 只灯泡的概率; (Ⅱ)在第二次灯泡更换工作中,对其中的某一盏灯来说,求该盏灯需要更换灯泡的概率; (Ⅲ)当 p1=0.8,p2=0.3 时,求在第二次灯泡更换工作,至少需要更换 4 只灯泡的概率(结 果保留两个有效数字). 【变式与拓展】某单位 6 个员工借助互联网开展工作,每个员工上网的概率都是 0.5(相互 独立). (Ⅰ)求至少 3 人同时上网的概率; (Ⅱ)至少几人同时上网的概率小于 0.3?

反馈型题组 7.实力相等的甲、乙两队参加 2008 年乒乓球团体比赛,规定 5 局 3 胜制(即 5 局内谁先赢 3 局就算胜出并停止比赛) . (1)试分别求甲打完 3 局、4 局、5 局才能取胜的概率. (2)按比赛规则甲获胜的概率. 8. 十层电梯从低层到顶层停不少于 3 次的概率是多少?停几次概率最大?

参考答案
再现型题组 ⒈ 【提示或答案】 n 次试验,结果不会受其它试验的影响, P( A1 ) P( A2 )? P( An ) ⒉ 【提示或答案】 Cn p (1 ? p )
k k n?k

0,1,2??n

X ~ B(n, p)

巩固型题组 ⒊解: (1)记“预报 1 次,结果准确”为事件 A .预报 5 次相当于 5 次独立重复试验,根 据 n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率计算公式,5 次预报中恰有 4 次准确的概 率 P (4) ? C5 ? 0.8 ? (1 ? 0.8) 5
4 4 5? 4

? 0.84 ? 0.41

答:5 次预报中恰有 4 次准确的概率约为 0.41. (2)5 次预报中至少有 4 次准确的概率,就是 5 次预报中恰有 4 次准确的概率与 5 次预报

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第二章

概率

都准确的概率的和,即
5 P ? P5 (4) ? P5 (5) ? P5 (4) ? C54 ? 0.84 ? (1 ? 0.8)5?4 ? C5 ? 0.85 ? (1 ? 0.8)5?5

? 0.84 ? 0.85 ? 0.410 ? 0.328 ? 0.74
答:5 次预报中至少有 4 次准确的概率约为 0.74. ⒋解: (Ⅰ)至少有一名女同学的概率为1 ? C 6 ? 1 ? 1 ? 5 . 3 6 6 C10
2 ( Ⅱ ) 同 学 甲 被 选 中 的 概 率 为 C9 ? 3 , 则 同 学 甲 被 中 且 通 过 测 试 的 概 率 为 3

3

C10

10

0.3×0.7=0.21. (Ⅲ)根据题意, ? 的可能取值为 0、1、2、3,
P(? ? 0) ?
3 C4 1 ? 3 C10 3

P(? ? 1) ?

1 1 2 C 62 C 4 1 C6C4 3 ? ; ? ; P (? ? 2) ? 3 3 2 C10 10 C10

P(? ? 3) ?

3 C6 1 ? ; 3 C10 6

所以, ? 的分布列为
?

0
1 30

1
3 10

2
1 2

3
1 6

P

提高型题组
2 ⒌解.(I) (i) C4 ? ( )2 ? ( ) 2 ?

(ii) 随机变量 ? 的取值为 0, 1, 2, 3.
k 由 n 次独立重复试验概率公式 Pn (k ) ? Cn p k (1 ? p) n ? k , 得

1 3

2 3

1 8 ? . 3 81

1 32 1 1 80 0 1 P(? ? 0) ? C5 ? (1 ? )5 ? , P(? ? 1) ? C5 ? ? (1 ? ) 4 ? , 3 243 3 3 243 1 1 80 32 ? 80 ? 2 17 P(? ? 2) ? C52 ? ( )2 ? (1 ? )3 ? , P(? ? 3) ? 1 ? ? . 3 3 243 243 81 随机变量 ? 的分布列是 0 1 2 3 ? 32 80 80 17 P 243 243 243 81 1 m ? 2mp 2 13 3 (II) 设袋子 A 有 m 个球,则袋子 B 中有 2m 个球。由 ? ,得 p ? . 30 3m 5
【点评】 摸球问题是高考试题中经常出现的概率模型, 对于此种问题的解决关键是抓住是放 回式摸球还是不放回式摸球,以便于选择概率模型进行解决。 【变式与拓展】 解: (Ⅰ) P ?

9 8 7 7 ? ? ? ; 10 9 8 10

33

高中数学选修 2-3

第二章

概率

(Ⅱ)解法一: 该种零件的合格品率为

7 ,由独立重复试验的概率公式得: 10 3 1 7 恰好取到一件合格品的概率为 C3 ? ? ( ) 2 ? 0.189 , 10 10 3 至少取到一件合格品的概率为 1 ? ( ) 3 ? 0.973 . 10
解法二:
1 恰好取到一件合格品的概率为 C3 ?

7 3 2 ? ( ) ? 0.189 , 10 10
7 3 2 7 3 3 7 ? ( ) ? C32 ( )2 ? ? C3 ( )3 ? 0.973. 10 10 10 10 10
5

至少取到一件合格品的概率为

1 C3 ?

⒍解: (I)在第一次更换灯泡工作中,不需要换灯泡的概率为 p1 , 需要更换 2 只灯泡的概率
2 3 为 C5 p1 (1 ? p1 ) 2 ;

(II)对该盏灯来说,在第 1、2 次都更换了灯泡的概率为(1-p1) ;在第一次未更换灯泡 而在第二次需要更换灯泡的概率为 p1(1-p2),故所求的概率为 p ? (1 ? p1 ) ? p1 (1 ? p 2 );
2

2

(III)至少换 4 只灯泡包括换 5 只和换 4 只两种情况,换 5 只的概率为 p (其中 p 为(II)
1 中 所 求 , 下 同 ) 换 4 只 的 概 率 为 C 5 p 4 ( 1-p ) 故 至 少 换 4 只 灯 泡 的 概 率 为 ,

5

1 p3 ? p 5 ? C5 p 4 (1 ? p).

又当p1 ? 0.8, p 2 ? 0.3时, p ? 0.2 2 ? 0.8 ? 0.7 ? 0.6 ? p3 ? 0.6 5 ? 5 ? 0.6 4 ? 0.4 ? 0.34. 即满2年至少需要换4只灯泡的概率为0.34.
【点评】分情况进行讨论,一定要注意不重不漏地全部考滤到。 【变式与拓展】 解: (Ⅰ)至少 3 人同时上网的概率等于 1 减去至多 2 人同时上网的概率, 即 1 ? C 6 (0.5)
0 6 2 ? C1 (0.5) 6 ? C 6 (0.5) 6 ? 1 ? 6

1 ? 6 ? 15 21 ? . 64 32

(Ⅱ)至少 4 人同时上网的概率为
4 C 6 (0.5) 6 ? C 5 (0.5) 6 ? C 6 (0.5) 6 ? 6 6

11 ? 0.3 32

至少 5 人同时上网的概率为:

(C 5 ? C 6 )(0.5) 6 ? 6 6

7 ? 0.3 . 64

因此,至少 5 人同时上网的概率小于 0.3. 课堂小结 求随机变量的分布列时, 要找到随机变量的所有可能的取值, 然后分别计算随机变量各个值

34

高中数学选修 2-3

第二章

概率

的概率,最后得出分布列。 反馈型题组 ⒎解:甲、乙两队实力相等,所以每局比赛甲获胜的概率为

1 1 ,乙获胜的概率为 . 2 2

记事件 A =“甲打完 3 局才能取胜” ,记事件 B =“甲打完 4 局才能取胜” , 记事件 C =“甲打完 5 局才能取胜” . ①甲打完 3 局取胜,相当于进行 3 次独立重复试验,且每局比赛甲均取胜
3 ∴甲打完 3 局取胜的概率为 P( A) ? C3 ( )3 ?

1 2

1 . 8

②甲打完 4 局才能取胜,相当于进行 4 次独立重复试验,且甲第 4 局比赛取胜,前 3 局为 2 胜 1 负 ∴甲打完 4 局才能取胜的概率为 P( B) ? C3 ? ( ) ? ?
2 2

1 2

1 1 3 ? . 2 2 16

③甲打完 5 局才能取胜,相当于进行 5 次独立重复试验,且甲第 5 局比赛取胜,前 4 局 恰好 2 胜 2 负

1 2 1 2 1 3 ? . 2 2 2 16 (2)事件 D =“按比赛规则甲获胜”,则 D ? A ? B ? C , 又因为事件 A 、 B 、 C 彼此互斥, 1 3 3 1 故 P( D) ? P( A ? B ? C ) ? P( A) ? P( B) ? P(C ) ? ? ? ? . 8 16 16 2 1 答:按比赛规则甲获胜的概率为 . 2
∴甲打完 5 局才能取胜的概率为 P(C ) ? C4 ? ( ) ? ( ) ?
2

⒏解:依题意,从低层到顶层停不少于 3 次,应包括停 3 次,停 4 次,停 5 次,??,直到 停9次 ∴从低层到顶层停不少于 3 次的概率

1 1 1 1 3 1 5 1 9 1 P ? C9 ( )3 ( )6 ? C94 ( )4 ( )5 ? C9 ( )5 ( )4 ? ? ? C9 ( )9 2 2 2 2 2 2 2 1 1 233 3 5 9 1 1 ? (C9 ? C94 ? C9 ? ? ? C9 )( )9 ? ?29 ? (C90 ? C9 ? C92 ) ? ( )9 ? (29 ? 46)( )9 ? ? ? 2 2 2 256 1 k 1 k 1 9? k 设从低层到顶层停 k 次,则其概率为 C9 ( ) ( ) ? C9k ( )9 , 2 2 2 1 9 k k ∴当 k ? 4 或 k ? 5 时, C9 最大,即 C9 ( ) 最大, 2 233 答:从低层到顶层停不少于 3 次的概率为 ,停 4 次或 5 次概率最大. 256

35

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第二章

概率

第五练

二项分布及其应用

一.选择题 1.一台 X 型自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为 0.8000,有四台这种型号的自动 机床各自独立工作,则在一个小时之内至多 2 台机床需要工人照看的概率是( ) A.0.1536 B.0.1808 C.0.5632 D.0.9728 2.在一次试验中随机事件 A 发生的概率为 P ,设在 k (k ? N ) 次独立重复试验中随机事件
*

A 发生 k 次的概率为 Pk ,那么 A.

? P 等于(
i ?1 i

n

) D.1 )
8 10 2 8

P(1 ? P n ) B. nP C. nPn 1? P 3.若 X ~ B(10,0.8) ,则 P( X ? 8) 等于(
A. C ? 0.8 ? 0.2
8 10 8 2

B. C ? 0.8 ? 0.2 D. 0.8 ? 0.2
2 8

C. 0.8 ? 0.2
8

2

4.若 X ~ B(5,0.1) ,那么 P( X ? 2) 等于( A.0.0729 B.0.00856

) D.0.99144 )

C.0.91854

5.设随机变量 ? 服从正态分布 N (0,1) ,则下列结论不正确的是:( A P(| ? |? a) ? P(| ? |? a) ? P(| ? |? a)(a ? 0) B. P(| ? |? a) ? 2P(? ? a) ? 1(a ? 0) C. P(| ? |? a) ? 1 ? 2P(? ? a)( a ? 0) D. P(| ? |? a) ? 1 ? P(| ? |? a)(a ? 0)

6.某人有 5 把钥匙,其中有两把房门钥匙,但忘记了开房门的是哪两把,只好逐把试开,则 此人在 3 次内能开房门的概率是 ( )
3 A3 ( A) 1 ? 3 A5 1 1 2 A32 ? A2 A3 ? A2 ? ( B) 3 3 A5 A5

3 (C ) 1 ? ( )3 5

3 2 3 2 1 ( D) C32 ? ( )2 ? ( ) ? C3 ? ( )1 ? ( ) 2 5 5 5 5

二.填空题 7.一射手命中 10 环的概率为 0.7,命中 9 环的概率为 0.3,则该射手打 3 发得到不少于 29 环的概率为 . (设每次命中的环数都是自然数) 8.一名篮球运动员投篮命中率为 60% ,在一次决赛中投 10 个球,则投中的球数不少于 9 个的概率为 . 9.一射手对同一目标独立地进行 4 次射击,已知至少命中一次的概率为 命中率为 .

80 ,则此射手的 81

10. 设 X ~ B(2, p), Y ~ B(4, p) ,已知 P( X ? 1) ?

5 ,则 P(Y ? 1) ? __________. 9

36

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第二章

概率

三.解答题 11.某气象站天气预报的准确率为 80% ,计算(结果保留两个有效数字) : (1)5 次预报中恰有 4 次准确的概率; (2)5 次预报中至少有 4 次准确的概率

12. 袋子 A 和 B 中装有若干个均匀的红球和白球,从 A 中摸出一个红球的概率是

1 ,从 B 3

中摸出一个红球的概率为 p. (Ⅰ) 从 A 中有放回地摸球,每次摸出一个,共摸 5 次.(i)恰好有 3 次摸到红球的概率; (ii)第一次、第三次、第五次摸到红球的概率. (Ⅱ) 若 A、B 两个袋子中的球数之比为 12,将 A、B 中的球装在一起后,从中摸出一个 红球的概率是

2 ,求 p 的值. 5

37

45 分钟单元综合检测题答案

2 65 10. . 3 81 11. 解: (1)记“预报 1 次,结果准确”为事件 A .预报 5 次相当于 5 次独立重复试验, 根据 n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率计算公式,5 次预报中恰有 4 次准确的
1-6.DAACCA 7. 0.784 8. 0.046 9. 概率 P (4) ? C5 ? 0.8 ? (1 ? 0.8) 5
4 4 5? 4

? 0.84 ? 0.41

答:5 次预报中恰有 4 次准确的概率约为 0.41. (2)5 次预报中至少有 4 次准确的概率,就是 5 次预报中恰有 4 次准确的概率与 5 次 预报都准确的概率的和,即
5 P ? P5 (4) ? P5 (5) ? P5 (4) ? C54 ? 0.84 ? (1 ? 0.8)5?4 ? C5 ? 0.85 ? (1 ? 0.8)5?5

? 0.84 ? 0.85 ? 0.410 ? 0.328 ? 0.74
答:5 次预报中至少有 4 次准确的概率约为 0.74. 12. 解: (1)∵ x ? y ? z ? 3,2 y ? x ? z

?x ? 0 ? ① ?y ? 1 ?z ? 2 ?

?x ? 1 ? ②?y ?1 ?z ? 1 ?

?x ? 2 ? ③ ?y ? 1 ?z ? 0 ?
1

①表示:掷 3 次,1 次出现 2 点或 3 点,2 次出现 4 点,5 点或 6 点,共 C 3 种情况。

1 0 11 1 2 1 6 3 2 4 111 1 ② x ? y ? z ? 1 的概率为 6· ·· = 632 6 1 2 11 1 0 1 ③ x ? 2, y ? 1, z ? 0 的概率为 3( ) ( ) ( ) ? 6 3 2 36 1 1 1 4 故 n=3 时,x、y、z 成等差数列,概率为 ? ? ? 4 6 36 9
故 x ? 0, y ? 1, z ? 2 的概率为 3( ) ( ) · ) ? ( (2)n=6 时,x、y、z 成等比数列。 ∴ x ? y ? z ? 2 所求概率为 C6 ( ) C4 ( ) C2 ( ) ?
2 2 2 2 2 2

1 6

1 3

1 2

5 . 72

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第二章

概率

第六讲 正态分布
1.正态分布 N ( ? , ? ) )是由均值μ 和标准差σ 唯一决定的分布
2

2.正态曲线的性质: (1)曲线在 x 轴的上方,与 x 轴不相交 (2)曲线关于直线 x=μ 对称 (3)当 x=μ 时,曲线位于最高点 (4)当 x<μ 时,曲线上升(增函数) ;当 x>μ 时,曲线下降(减函数) 3.标准正态曲线:当μ =0、σ =l 时,正态总体称为标准正态总体,其相应的函数表示
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式是 f ( x ) ?

1 2?

e

?

x2 2

, (-∞<x<+∞)

其相应的曲线称为标准正态曲线 标准正态总体 N(0,1)在正态总体的研究中占有重要的地位 任何正态分布的概率问 题均可转化成标准正态分布的概率问题 讲解新课:
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非标准正态总体在某区间内取值的概率:可以通过 F ( x) ? ?(
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x??

?

) 转化成标准正态

总体,然后查标准正态分布表即可 在这里重点掌握如何转化 首先要掌握正态总体的均值 和标准差,然后进行相应的转化 例 1.利用标准正态分布表,求标准正态总体在下面区间取值的概率:
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(1)在 N(1,4)下,求 F (3)
2

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(2)在 N(μ ,σ )下,求F(μ -σ ,μ +σ ) ; F(μ -1.84σ ,μ +1.84σ ) ;F(μ -2σ ,μ +2σ ) ; F(μ -3σ ,μ +3σ ) 解: (1) F (3) = ? (

3 ?1 ) =Φ (1)=0.8413 2 ? ?? ? ? (2)F(μ +σ )= ? ( ) =Φ (1)=0.8413

F(μ -σ )= ? ( F(μ F(μ F(μ F(μ

? ?? ? ? ) =Φ (-1)=1-Φ (1)=1-0.8413=0.1587 ?

?

-σ ,μ +σ )=F(μ +σ )-F(μ -σ )=0.8413-0.1587=0.6826 -1.84σ ,μ +1.84σ )=F(μ +1.84σ )-F(μ -1.84σ )=0.9342 -2σ ,μ +2σ )=F(μ +2σ )-F(μ -2σ )=0.954 -3σ ,μ +3σ )=F(μ +3σ )-F(μ -3σ )=0.997
2

对于正态总体 N ( ? , ? ) 取值的概率:

39

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第二章

概率

在区间(μ -σ ,μ +σ )(μ -2σ ,μ +2σ )(μ -3σ ,μ +3σ )内取值的概率分别 、 、 为 68.3%、95.4%、99.7% 因此我们时常只在区间(μ -3σ ,μ +3σ )内研究正态总体分布 情况,而忽略其中很小的一部分
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例 2.某正态总体函数的概率密度函数是偶函数,而且该函数的最大值为 体落入区间(-1.2,0.2)之间的概率

1 2?

,求总

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解:正态分布的概率密度函数是 f ( x ) ?

1 2? ?

?

( x?? )2 2? 2

e

, x ? ( ??,?? ) ,它是偶函数,

说明μ =0, f (x) 的最大值为 f ( ? ) = 布

1 2? ?

,所以σ =1,这个正态分布就是标准正态分

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P(?1.2 ? x ? 0.2) ? ?(0.2) ? ?(?1.2) ? ?(0.2) ? [1 ? ?(1.2)] ? ?(0.2) ? ?(1.2) ? 1
? 0.5793 ? 0.8848 ?1 ? 0.4642 课堂练习: 1.利用标准正态分布表,求标准正态总体在下面区间取值的概率 (1) (0,1) (2) ; (1,3) 解: (1)P=Φ (1)-Φ (0)=0.8413-0.5=0.3413 (2)P=Φ (3)-Φ (1)=0.9887-0.8413=0.1574
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五、小结 :正态总体 N(μ ,σ )转化为标准正态总体 N(0,1)的等式 F ( x) ? ?(
2

x??

?

) 及其

应用

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40

第六练 正态分布
一、判断题 1、所有正态分布都可以转化为标准正态分布。 2、当一组数据的每个观测值都转化为 Z 分数时,Z 分数分布的平均数为零,标准差为 10。 3、在一个标准正态分布中,大约有 68%的数据分布在±S 之间。 4、随机变量具有变异性、离散性和规律性的特点。 5、二项分布的分布函数是:

PX ? x ? Cnx p x q n? x



6、某市 5 岁幼童身高的分布是一个连续型分布。 7、正态分布是以平均数 0 为中点的对称分布。 8、在一个正态分布中,Z=-1.46 比 Z=1.46 离平均数更近。 9、同一个观测值在一个具有较大标准差的分布中的百分等级要比在一个具有较小标准差的 分布中更大。 10、在正态分布密度曲线中,曲线下的面积代表概率,其大小为 1。 二、选择题 1、一个正态分布的平均数为 90,标准差为 5,则在其分布中 85-95 之间包含数据的百分比 约为: A、34% B、50% C、68% D、84% E、100% 2、一位老师宣称只有班级的前 15%的同学才能得优。期末考试结果是全班平均分为 83,标 准差为 6,则得分至少为多少才能得优? A、77 B、86 C、89 D、92 E、95 3、在一个标准正态分布中,Q1 的 Z 值为 A、-0.68 B、-1.00 C、0 D、0.68 E、1.00 4、如果在一个分布中,P40 对应的 Z 分数是一个正值,则这个分布可能是: A、正态分布 B、正偏态分布 C、负偏态分布 D、二项分布 E、不可能发生 5、假设你某次考试得了 80 分,你希望你所在班级的成绩是哪一个? A、 X ? 70, S ? 10 B= X ? 75, S ? 5 C、 X ? 60, S ? 15 D、 X ? 80, S ? 2 E、

X ? 76, S ? 2

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第二章

概率

三、计算题 1、 假设下列表格中所列的变量分布都为正态分布,请参考正态分布表仿照第一行的计算完 成表格。 Mean S x Z 平均数到 Z 之间包含 的面积 0.3413 Z 之上曲线 下的面积 0.1587 百分等级

100.00 5.00 152.00 16.00 9.00

10.00 1.00 16.00 2.00

110.00 6.50

1.0000 -0.6000

0.8413

8.94 14.80 13.60

-1.5333 0.2186 1.5333 -1.3750 1.1909 2.4000 0.4154 0.9938 0.1168

16.00 7.00 0.23 0.50 57.10 0.05

78.00 600.00

2、假设某公务员考试有 1534 人参加,所有考生成绩的分布为正态分布,平均数为 112,标 准差为 7。据此完成以下计算: A、张三所处百分等级为 34%,则张三考了多少分? B、李四所处百分等级为 83%,则李四考了多少分? C、王强考了 119 分,则其百分等级是多少? D、公务员招收名额为 10,复试定为 50%的差额选拔,请问至少考多少分才可能进入复试?

42

第六练

概率分布参考答案:

判断题 对 错 对 对 错 对 错 错 对 10、 对 选择题 CCAEC 计算题 假设下列表格中所列的变量分布都为正态分布, 请参考正态分布表仿照第一行的计算完成表 格。 Mean S x Z 平均数到 Z 之间包含 的面积 0.3413 0.43319 0.22575 0.43699 0.21904 0.43822 0.4154 0.4938 0.3832 0.4918 Z 之上曲线 百分等级 下的面积 0.1587 0.06681 0.72575 0.93699 0.71904 0.06178 0.9154 0.0062 0.1168 0.0082 0.8413 0.93319 0.27425 0.06301 0.28096 0.83822 0.0846 0.9938 0.8832 0.9918

100.00 5.00 152.00 12.00 16.00 9.00 100.00 7.00 532 0.23

10.00 1.00 16.00 2.00 2.07 3.00 16.00 0.50 57.10 0.05

110.00 6.50 142.4 8.94 14.80 13.62 78.00 8.25 600.00 0.35

1.0000 1.5000 -0.6000 -1.5300 -0.5800 1.5400 -1.3750 2.5000 1.1909 2.4000

2、假设某公务员考试有 1534 人参加,所有考生成绩的分布为正态分布,平均数为 112,标 准差为 7。据此完成以下计算: A、张三所处百分等级为 34%,则张三考了多少分? 解:P34 对应 Z=-0.41,则 X=112-0.41*7=109 B、李四所处百分等级为 83%,则李四考了多少分? 解:P83 对应 Z=0.95,则 X=112+0.95*7=118.65 C、王强考了 119 分,则其百分等级是多少? 解: Z=(119-112)/7=1.00,则 P=0.34134,其百分等级为 84.134% D、公务员招收名额为 10,复试定为 50%的差额选拔,请问至少考多少分才可能进入复试? 解 : 复 试 比 例 为 20/1534=0.01303, 其 对 应 的 百 分 等 级 为 0.98697,Z=2.23,X=112+2.23*7=127.61


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