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市级优质课 演绎推理教案


演绎推理
讲课人:滕州一中 邢启强 教学目标: (1)知识与能力:了解演绎推理的含义及特点,会将推理写成三段论的形式 (2)过程与方法:了解合情推理和演绎推理的区别与联系 (3)情感态度价值观:了解演绎推理在数学证明中的重要地位和日常生活中的 作用,养成言之有理论证有据的习惯。 教学重点:演绎推理的含义与三段论推理及合情推理和演绎推理的区别与联系 教学难点:演绎推理的应用 教具:导学案、课件 教学方法:自学指导法 教学设计 一、导入新课 现在冰雪覆盖的南极大陆, 地质学家说它们曾在赤道附近,是从热带飘移到 现在的位置的,为什么呢?原来在它的地底下,有着丰富的煤矿,煤矿中的树叶 表明它们是阔叶树。 从繁茂的阔叶树可以推知当时有温暖湿润的气候。所以南极 大陆曾经在温湿的热带。 被人们称为世界屋脊的西藏高原上,一座座高山高入云天,巍然屹立。西藏 高原南端的喜马拉雅山横空出世,雄视世界。珠穆郎玛峰是世界第一高峰,登上 珠峰顶,一览群山小。谁能想到,喜马拉雅山所在的地方,曾经是一片汪洋,高 耸的山峰的前身, 竟然是深不可测的大海。地质学家是怎么得出这个结论的呢? 科学家们在喜马拉雅山区考察时,曾经发现高山的地层中有许多鱼类、贝类 的化石。还发现了鱼龙的化石。地质学家们推断说,鱼类贝类生活在海洋里,在 喜马拉雅山上发现它们的化石, 说明喜马拉雅山曾经是海洋。科学家们研究喜马 拉雅变迁所使用的方法,就是一种名叫演绎推理的方法。 二、讲授新课(学生阅读课本,找到定义) 1.演绎推理:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论的推理方法。 2.演绎推理的一般模式 分析喜马拉雅山所在的地方,曾经是一片汪洋推理过程: 鱼类、贝类、鱼龙,都是海洋生物,它们世世代代生活在海洋里??大前提 在喜马拉雅山上发现它们的化石??小前提 喜马拉雅山曾经是海洋??结论 三段论(1)大前提??已知的一般原理 (2)小前提??所研究的特殊情况 (3)结论??根据一般原理,对特殊情况作出的判断 3.练习把下列推理写成三段论的形式 (1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行,冥王星是太阳系的大行星, 因此冥王星以椭圆形轨道绕太阳运行; (2)在一个标准大气压下,水的沸点是 100°C,所以在一个标准大气压下把水 加热到 100°C 时,水会沸腾; (3)一切奇数都不能被 2 整除, ( 2 100 ? 1) 是奇数,所以 ( 2 100 ? 1) 不能被 2 整除; (4)三角函数都是周期函数, tan ? 是三角函数,因此 tan ? 是周期函数;
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(6)两条直线平行,同旁内角互补。如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角,那么∠A+∠B=180°; 三、例题讲评: 例 1.如图所示,在锐角三角形 ABC 中,AD⊥BC, BE⊥AC,D,E 为垂足, 求证:AB 的中点 M 到 D,E 的距离相等。

C E D

A

M

B

证明:(1)因为有一个内角为直角的三角形是直角三角形,????大前提 在△ABD 中,AD⊥BC,∠ADB=90?,?????????小前提 所以△ABD 是直角三角形. ??????????????结论 同理,△AEB 也是直角三角形 (2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,???????大前提 而 M 是 Rt△ABD 斜边 AB 的中点,DM 是斜边上的中线,???小前提 所以 DM=
1 2 1 2 AB AB

,????????????????????结论 . 所以 DM=EM

同理,EM=

评注: “三段论”可以表示为 大前题:M 是 P 小前提:S 是 M 结论:S 是 P。 用集合论的观点分析:若集合 M 中的所有元素都具有性质 P,S 是 M 的一个子 集,那么 S 中所有元素也都具有性质 P。 例 2、证明函数 f(x)=-x2+2x 在(-∞,1]上是增函数。 分析:大前题:增函数的定义。小前提:f(x)在(-∞,1]上满足定义 学生 板演证明过程。 练习:分析下面几个推理是否正确,说明为什么? (1) 因为指数函数 y ? a x 是增函数, 而 y ? ( ) x 是指数函数
2 1

(2) 因为无理数是无限小数 而π 是无限小数 所以π 是无理数

所以 y ? ( ) x 是增函数
2 1

1

(3)因为无理数是无限小数,而 (=0.333??)是无限小数,所以 是无理数
3 3

1

说明:在应用“三段论”进行推理的过程中,大前提、小前提或推理形式之一 错误,都可能导致结论错误。 比较:合情推理与演绎推理的区别与联系 从推理形式上看,归纳是由部分到整体、个体到一般的推理;类比推理是由 特殊到特殊的推理;而演绎推理是由一般到特殊的推理。 从推理所得的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待于进一步证明; 演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下,得到的结论一定正确。 人们在认识世界的过程中,需要通过观察、实验等获取经验;也需要辨别它 们的真伪,或将积累的知识加工、整理,使之条理化,系统化,合情推理和演绎 推理分别在这两个环节中扮演着重要的角色 就数学而言,演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程,但
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数学结论、证明思路等的发现,主要靠合情推理。因此,我们不仅要学会证明, 也要学会猜想。 四、练习(自己动手练习巩固,寻找不足当堂解决) 1.用三段论证明:通项公式为 a n ? cq n ( cq ? 0 ) 的数列 ?a n ? 为等比数列。 2.用三段论证明:若梯形的两个腰和一个底如果相等,它的对角线必平分另一 底上的两个角。 五、小结: 1.俗话说,打鱼人识不完鱼,庄稼人识不完草。认识事物的任务十分艰巨,把 握规律的道路分外漫长。我们不能事事去亲知,事事去实验。但是我们运用这种 演绎方法,你就能以一知十,以近知远,以少知多。演绎推理还使人们产生新的 创意或新的发现。如一种被称为“铜草”的植物,是铜矿的“指示剂”,因为它们之 间相互依存、相伴而生。发现生长良好的“铜草”,往往就能找到铜矿。 2.演绎方法是一种重要的认识工具,也是科学发现的有用方法。我们面前,一 个无限广阔的世界正等待我们去认识,等待着我们去利用,去改造。 许多发明 和发现就是运用这一方法得到的, 浮法制造玻璃是根据液体自由流平的原理演绎 而来,钢笔主要是根据毛细管原理演绎而来等等。 六、作业: (印到学案上) 1.用三段论证明:在梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=DC,则∠B=∠C。 2.写出三角形内角和定理的证明,并指出每步推理的大前题和小前题。 3.设实数 a ? 0 ,且函数 f ( x ) ? a ( x 2 ? 1) ? ( 2 x ? (1)求 a 的值; (2)设数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n ? f (n ) ,令 b n ? 证明数列 ?b n ? 是等差数列。
a 2 ? a 4 ? ? ? a 2n n
1 a ) 有最小值—1,



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