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分类讨论题如何归纳结论


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2   8?

中学 数 学月 刊 

20 0 3年 第 2期 

分 垂讨 论 题  何 
分类 讨 论 是 中学 数 学 的 重要 思 想 , 因  正 为 如 此 , 是历 年来 高考 考 查 的重 点 内容 之  它
一 .

佬 论 

吴长 山 ( 苏省 兴化 市茅 山 高级 中学  2 5 1 )   江 2 7 3 
解   厂( 一 一 。 2 一 2 一 1  ) + 7   m  
= 一

( 一  ) +  。 2 一 1    。 一 m .

由于在 分类 讨论 中 , 一类 中的结 果 并非  每

当  ≤ 0时 ,  ) 一厂( ) 一2 ,(   O一 m一 1  

是题 目的最 后 结 论 , 需 对 每 类 中 的结 果 进  故 行 归 纳 , 少 同学 在归 纳 结 论 时 存 在 一 些 问  不
题.  

< O . 一÷<7< 1  ,  . / 1 ;
当 0 7< 1时 ,  ) 一 f( ) 7 <   ,(   7 一7 / 1  一 
2 m一 1 0恒 成 立 ,。0 , < 1  < . < n . ;

分类讨论题的结论一般有三种形式 : 一  是并 列 形式 , 是并 集 形 式 , 二 三是 交集 形 式 .   1 若对 常 量讨 论 而求 变 量 的取值 范 围 , 结  则
论 为 并 列 形 式 

当  ≥ 1 , (    时 厂  )。 一厂( ) 一 2 0恒  1: <
成 立 ,。7≥ 1 .  . .  

综上 , 的取值范围是(   一÷ ,] o 1 o U( ,)  
U[ , 。 一( 1 +。 ) 一去 , 。 . 十。 )  
本 题对  进 行 分类 讨 论 , 出每类 中  求 的取值 范 围 , 于  ∈R, 由 故结 论 应 是 并集 形 
< < o 当 O ? <a l时 , <  
式.  

例 1 解不等式 l  1 o (一÷) . g >1  
解  当 口 > 1 时 ,原 不 等 式 即 

{   o‘ f1 .      一 ?  ?
I 亨> , 卜   

3 若 被讨 论 的量 是 变量  , 所 求量 是 变量  而 或 常量 n 则 结论可能是 并集 形式 , 。 也 
可 能 是 交 集 形 式 , 可 由题 意 及 交 、 集  这 并 的 意 义 进 行 分 辨 

原 等 式 即    o. <z< L . f 一 .   不 I1 .  
1   1   l一 口 

【 I 一 ÷ < 口,     1  

综 上 , n> 1时 , 不 等 式 的 解 集 为  当 原 (   I


例 3 求 函数  一1 x - w  的值 域 .   解  当 x 0时 , >  = 1 ( 一  + - 4


口 

, ) 当 o 口 1时 ,。 不 等 式 的 解 集  0;。 < < 原 。 ’ ’’’ … …     ’  
●_



) 1  ̄ 一 

__●_

_。。。-

。_●__

_-一

 

为(, 1 

) .  

本 例 中 n是 常量 , 是 变 量 , 等式 的解    不 集 依 赖 于 a的取 值 范 围 , 应 对 a进 行 分 类  故
讨 论. 由于 口 1时 , 只 能 取 区 间 ( >   _  , ) 0  内 的值 , 而不 可 能取 这 个 区间外 的任 何 值 ( 否 

2  一(且 当=时 等 ) √ ? 3 仅 z2取 号;  : 当 -  
当  < 0时 , 一 1 (   + 一  一 一 ≥ 1 4) + 


√ z 一( 仅   一时 等 一? 5 且 当 一 2取     当
综上 , 求 函数 值域 为( 。 一3 U[ , 所 一。 , ] 5 

则 不 等式 不 成 立 ) 同样 , <口 1时 , . O < z只 能 
I  ̄K I ( , h 1  - ] ) 的值 , 不 可 能 取 这 个 区  内 而

号) .  

+。 . 。)  

间外 的任 何值 , 因此 , 论应 是并 列 形式 . 结   2 若 被讨 论 的量 与 所 求量 相 同时 , 结论 为  则
并 集 形 式 

本例 中  , 都 是变 量 , 的 值依 赖 于  ,      
故 可 对 变 量  进 行 分 类 讨 论 . x 0时 , 当 >  

可 以 取 遍 ( 。 3 内 的 每 一 个 值 ; x< 0 一。 , ] 当   时 , 可 以取遍 [ , 。 内的每 一 个 值 ,   5 +。 ) 由于  |∈R 且  ≠ O 因此 y既 可 取遍 ( 。 3 内  『 , 一。 , ] 的 每 一个 值 , 可 取遍 [ , 。 内 的第 一 个  又 5 +。 )

例 2 若 函 数 f( 一 一 。 rx一 2 x) +2 e 7  


1 ∈[ , ] 的最 大值 为 负 值 , ( O 1) 求  的 取 

值 范 围.  

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20 0 3年 第 2期  值 , 以结 论应 是 并 集形 式 . 所  

中学数 学 月刊 

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例 4 若 对任 意 z∈ [ 2 2 , 等 式 z 一 ,] 不  
一n +1 0恒 成立 , 实 数 a的取值 范 围. z ≥ 求   解  当 z 0时 , 等 式 z 一a 一 不   x+ 1 0 ≥   对 任 何实 数 a成 立 , a 即 ∈R.  
当 z 0时 : ≠  
1 

÷在(, 上恒成立, n 最 即n . 02 ] 得 ≤    ≤2  
综 上 , 数 a的 取 值 范 围 为 Rn[ 2  实 一 ,

+o ) 一o ,] 一2 2 . 。 n( 。 2 一[ ,]  
本 例 中 a是 常 量 , 是 变 量 , 等 式 对  z 不

[ , ] 任 意 变 化 的  恒 成 立 , 对  进  一2 2 内 若 行 分 类 讨 论 , 使 不 等 式 对 [ , ] 的  要 一2 2 内
恒 成 立 , 且 仅 当 不等 式 对 每 类 中的 z恒 成  当 立, 因此 , 论 应 为 交 集 形 式. 题 也 可对 a 结 本   进 行 分 类讨 论 , 后 求 每类 中 a的取 值 范 围  最
的并集 .   通 过 以上 几 例 可 以看 出 , 只要 仔 细 分 析 
1 



① 若 z∈[ ,] 则 a x [ 记 y=x 一2 0 ,  ̄ - ! -  
1  

+  , z∈[ , ) 则 易 求 得 最 一 一2 由 口 一2 0 , 大 ,  
1  

≥z +{在[ ,) 一20 上恒成立, c   大 即 得 f 最 ,  ≥
日 一 2  ≥ ;

②若 z 02 , n   ∈(,]则 ≤ +÷. 记 — + z 
1  

被 讨 论 的 量 与所 求 量 之 间 的关 系 , 结 合 交  再

集、 并集 的意 义 , 类 讨论 题 结果 的归纳 是不  分
难分 辨 清楚 的.  

÷, ∈(,]则易求得 Y , , ≤z   . 02 , r m、 由口 + J 一2

创 设 数学 “ 构 美 " 解 题  结 巧
段 丙 刚  ( 东省 单 县 教 研 室 山 2 4O ) 7 3 O 

数学 多 给人 以枯 燥 、 琐 的 印象 , 在很  繁 但 多情 况 下 数 学 又 给 我 们 许 多 美 的 感 受 , 别  特 在 数 学 解 题 中存 在 很 多 “ 构 美 ” 主 要 表 现  结 , 为式子结构的对称有序、 学元素 ( 数 数字 、 符  号 、 子 ) 完 备整 齐 等. 于 发 现 、 掘 、 式 的 善 挖 创 
设 这些 “ 构美 ” 给 我们 解 题 带来 意想 不 到  结 会 的 良好 效果 .   1 添加 、 删减 数学 元 素 

( { … 1  )而1g+   1 )( + + ]  l  一 ,   d  。
lg 丽 o  . 以要 比较 lg 丽 所 o  与S  

的 小仅 比   与111{ 大 ,需 较 丽 ( )+ ) +(   ( 南 )大、  1 + 的 ,. J .


不妨设 z 2x 5x 8×… × ,  I =T         n S- 不妨设 z= x x ×… ×雨 =T     = ,  
,  
一  

3  

例 1 已知 数 列 {  是 等 差数 列 ,。 1  b} b一 ,
b + 6 + … + 6 o 1 5  1 2 1一 4 .

i x 9×… × 6      

,  



(I 求 数列 {n 的通 项 公式 ; ) b}   (Ⅱ) 数 列 {  的通 项 公 式 a 一lg (  设 a}   o  1
1  

号    × × . × × …   

很 明显 x >y > O .z >x z 0  >z ,。 。 y > , .

即 z > T × 3× 4× 5 ×i × … × 。 2       6  
× 
’ . . 

+÷)其中a 且n )记  是数列{ } ( >O ≠1, n   
u  

1  

× 

> 0  .

的前 项和,   试比较 S 与÷l d+的大小,   o  。 g  
并证 明你 的结论 .  

。 3 - 1 1 . >  丽 > n+ >   z -

.  
) > 

( 9 8年 高考理 科 2 19 5题 )   解 (I 由题 中条件 易 得  一3 一2 )   .   丽
(Ⅱ) 一 日 + 口 + … + 口 一 l g ( + 1     1 2   o  1 )

即 ( 1+ 1 1+  )( 1)… ( 1+ 

.  
此 . 日 答 辜   而 易 呵. 颢 .  


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