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指数幂运算练习题


第七课:指数幂运算
例 1 求下列各式的值 ⑴
3

(?2) 3 =



4

(?2) 4 =



6

(3 ? ? ) 6 =



x 2 ? 2 xy ? y

2 =

例 2 ⑴ 把下列各式中的 a 写成分数指数幂的形式(a>0); ① a =256
5

② a

?4

=28

③ a

?7

=5

6

④ a

?3 n

=3

5m

(m,n ? N )
*

⑵ 计算:① 9

3 2

② 16

?

3 2

例 3 化简

a a

2 3

b ?3 b

1 ? 2

÷?

?a b ? b a ?
?1

?1

? ? ? ?

?

2 3

例 4 化简(式中字母都是正数)
1

⑴ (x

2

y

3



6

⑵ (2x

2

+ 3y

? 3

)(2x

2

- 3y

? 3

)

⑶ 4x

2

·3x

?

1 2

(- y

3

)·y

?

3 3

例 5 化简下列各式



x x

?2

?y ?y

?2 2 ? 3

2 ? 3

-

x x

?2

?y ?y

?2 2 ? 3

2 ? 3



a ? 8a b a ? 23 ab ? 4b
2 3 2 3

4 3

1 3

÷(1 – 2 3

b )× 3 a a

典型例题
题型一、根式的性质 例1 求值

a2 a ? 3 a2

(a>0).

例2

计算:⑴ ⑵
3

5?2 6 ? 5?2 6

2? 5 ?3 2? 5
25

题型二、分数指数幂及运算性质 1. 计算问题: 计算: a 2 a ?3 ?
3 9 3

a ?7 3 a13

2. 化简问题:化简下列各式: ⑴
3

a

7 2

a

?3

?

3

a

?8 3

a

15

?

3

a

?3

a

?1

⑵ (x ? x ? x )(x
0

?1

?

1 2

?x )

1 2

3. 带附加条件的求值问题
1

例 5 已知 a 2 + a

?

1 2

= 3,求下列各式的值:

⑴ a + a

?1

⑵ a + a

2

?2



a ?a
1

3 2

? ?

3 2 1 2

a2 ? a

数学思想方法
一、化归与转化思想

例 6 化简:

a2 b

b3 a

a b3

(a>0,b>0).

二、整体代换思想 例 7 ⑴ 已知 2 ?2
x ?x

? a (常数),求 8 x ?8 ? x 的值。

1

1

⑵ 已知 x + y = 12, xy = 9,且 x<y,求

x2 ? y2 x ?y
1 2 1 2

的值。

26

创新、拓展、实践
1. 数学与科技 例 8 已知某两星球间的距离 d 1 = 3.12×10 距离是两分子间距离的多少倍?
34

千米,某两分子间的距离 d 2 = 3.12×10

?32

米,请问两星球间

2. 创新应用题 例 9 已知 a、b 是方程 x - 6x + 4 = 0 的两根,且 a>b>0,求
2

a? b a? b

的值。

3. 开放探究题 例 10 已知 a>0, 对于 0≤r≤8, r? N , 式子( a )
? 8? r

(

1
4

a

) 能化为关于 a 的整数指数幂的可能情形有几种?

r

高考要点阐释(写出解题的过程) 例 1 ( 2008· 重 庆 文 高 考 ) 若 x > 0 , 则 ( 2x =_____________________________. 例 2(上海高考)若 x 1 、x 2 为方程 2 =(
x x

1 4

+ 3

3 2

) ( 2x

1 4

- 3

3 2

) - 4x

?

1 2

· (x - x

1 2



1 ? x ?1 ) 的两个实数解,则 x 1 + x 2 =_____. 2


1

例 3(北京高考改编)函数 f(x)= a (a>0,且 a≠1)对于任意的实数 x、y 都有( A. f(x·y)= f(x)·f(y) C. f(x + y)= f(x)·f(y) 名师专家点穴 一、巧用公式 B. f(xy)= f(x)+ f(y) D. f(x + y)= f(x)+ f(y)

27

引入负指数幂及分数指数幂后,初中的平方差、立方差、完全平方公式有了新的特征;如: (a ? a 2+a
?2

?1

) =a ?
2 2

;a – b = (a + b )(a - b );a + b = (a + b )·(a - a b + b )
?

1 2

1 2

1 2

1 2

1 3

1 3

2 3

1 3

1 3

2 3

例 1 化简(x + x + 1)(x

?

1 2

1

- x2 )

二、整体带入
1

例 2 已知 x 2 + x

?

1 2

=3 求

x 2 ? x ?2 ? 2 x ?x
3 2 ? 3 2

的值。

?3

例 3 计算(1 +

1 2
2048

)(1 +

1 2
1024

)…(1 +

1 1 1 )(1 + 2 )(1 + ). 4 2 2 2

三、根式、小数化为指数幂 例 4 计算(0.0081)
? 1 4

- [3×(

7 0 ?1 3 ? ? ?0.25 ) ] ·[81 +(3 ) 3 ] 2 . 8 8

1

1

28


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