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2013届高考数学一轮复习精品学案:第2讲 函数概念与表示


2013 年普通高考数学科一轮复习精品学案
第2讲
一.课标要求
1.通过丰富实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,在此 基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数, 体会对应关系在刻画函数概念中的作用; 了解 构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念; 2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法) 表示函数; 3.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用; 4.通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意 义;结合具体函数,了解奇偶性的含义; 5.学会运用函数图象理解和研究函数的性质。

函数概念与表示

二.命题走向
函数是整个高中数学的重点, 其中函数思想是最重要的数学思想方法, 函数问题在历年 的高考中都占据相当大的比例。 从近几年来看,对本部分内容的考察形势稳中求变,向着更灵活的的方向发展,对于函 数的概念及表示多以下面的形式出现:通过具体问题(几何问题、实际应用题)找出变量间 的函数关系,再求出函数的定义域、值域,进而研究函数性质,寻求问题的结果。 高考对函数概念与表示考察是以选择或填空为主,以解答题形式出现的可能性相对较 小,本节知识作为工具和其他知识结合起来命题的可能性依然很大。 预测 2013 年高考对本节的考察是: 1.题型是 1 个选择和 1 个填空; 2.热点是函数概念及函数的工具作用,以中等难度、题型新颖的试题综合考察函数成 为新的热点。

三.要点精讲
1.函数的概念: 设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个 数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。记作:y=f(x),x∈ A。其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域; 与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈ A }叫做函数的值域。 注意:(1)“y=f(x)”是函数符号,可以用任意的字母表示,如“y=g(x)”; (2)函数符号“y=f(x)”中的 f(x)表示与 x 对应的函数值,一个数,而不是 f 乘 x。 2.构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域 (1)解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域,函数的定义域包含三种形式: ① 自然型: 指函数的解析式有意义的自变量 x 的取值范围 (如: 分式函数的分母不为零, 偶次根式函数的被开方数为非负数,对数函数的真数为正数,等等); ② 限制型:指命题的条件或人为对自变量 x 的限制,这是函数学习中重点,往往也是难 点,因为有时这种限制比较隐蔽,容易犯错误; ③ 实际型:解决函数的综合问题与应用问题时,应认真考察自变量 x 的实际意义。 (2)求函数的值域是比较困难的数学问题,中学数学要求能用初等方法求一些简单函 数的值域问题。 ① 配方法(将函数转化为二次函数);② 判别式法(将函数转化为二次方程);③ 不等

式法(运用不等式的各种性质);④ 函数法(运用基本函数性质,或抓住函数的单调性、函 数图象等)。 3.两个函数的相等: 函数的定义含有三个要素,即定义域 A、值域 C 和对应法则 f。当函数的定义域及从定 义域到值域的对应法则确定之后,函数的值域也就随之确定。因此,定义域和对应法则为函 数的两个基本条件, 当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时, 这两个函数才是 同一个函数。 4.区间 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间; (2)无穷区间; (3)区间的数轴表示。 5.映射的概念 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f,使对于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f:A ?B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f:A ?B”。 函数是建立在两个非空数集间的一种对应,若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两 个非空集合”,按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系,这种的对应就叫 映射。 注意:(1)这两个集合有先后顺序,A 到 B 的射与 B 到 A 的映射是截然不同的.其中 f 表示具体的对应法则,可以用汉字叙述。 (2)“都有唯一”什么意思? 包含两层意思:一是必有一个;二是只有一个,也就是说有且只有一个的意思。 6.常用的函数表示法 (1)解析法:就是把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的 解析表达式,简称解析式; (2)列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系; (3)图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系。 7.分段函数 若一个函数的定义域分成了若干个子区间, 而每个子区间的解析式不同, 这种函数又称 分段函数; 8.复合函数 若 y=f(u),u=g(x),x?(a,b),u?(m,n),那么 y=f[g(x)]称为复合函数,u 称为中间变量, 它的取值范围是 g(x)的值域。

四.典例解析
题型 1:函数概念 例 1.(1)设函数 f ( x) ? ?

( x ? 100) ?x ? 3 , 求f (89). ? f [ f ( x ? 5)] ( x ? 100)
,则满足 f(x)=

(2)设函数 f(x)= ?

?2 ? x , x ? (??,1] ?log 81 , x ? (1,?? )

1 的 x 值为 4



解:(1)这是分段函数与复合函数式的变换问题,需要反复进行数值代换,

f (89) ? f ( f (94)) ? f ( f ( f (99))) ? f ( f ( f ( f (104)))) ? f ( f ( f (101 )))

))) ? f ( f (100)) ? f (97) ? f ( f (102)) ? f (99) = f ( f (98)) ? f ( f ( f (103 ) ? 98. = f ( f (104)) ? f (101
(2)当 x∈ (-∞,1 ] ,值域应为[

1 ,+∞], 2

当 x∈ (1,+∞)时值域应为(0,+∞),∴ y=
1

1 ,y∈ (0,+∞) 4

∴ 此时 x∈ (1,+∞)

1 ∴ log81x= ,x=81 4 =3。 4

点评:讨论了函数的解析式的一些常用的变换技巧(赋值、变量代换、换元等等),这 都是函数学习的常用基本功。
x ?1 ? ?2e , x<2, 则f ( f (2))的值为 ( 变式题:设 f ( x) ? ? 2 ? ?log 3 ( x ? 1),x ? 2.



A.0 B.1 解:选项为 C。 例 2.

C.2

D.3

(1)函数 f ? x ? 对于任意实数 x 满足条件 f ? x ? 2 ? ?

f ? f ?5?? ? __ ________;
(2)函数 f ? x ? 对于任意实数 x 满足条件 f ? x ? 2 ? ?

1 ,若 f ?1? ? ?5, 则 f ? x? 1 ,若 f ?1? ? ?5, 则 f ? x?

f ? f ?5?? ? __________。
解:(1)由 f ? x ? 2 ? ?

1 1 得 f ? x ? 4? ? ? f ( x) , f ? x? f ? x ? 2?

所以 f (5) ? f (1) ? ?5 ,则 f

? f ? 5? ? ? f (?5) ? f (?1) ?

1 1 ?? 。 f (?1 ? 2) 5

(2)由 f ? x ? 2 ? ?

1 1 ? f ( x) ,所以 f (5) ? f (1) ? ?5 , 得 f ? x ? 4? ? f ? x? f ? x ? 2?
1 1 ?? 。 f (?1 ? 2) 5

则f

? f ? 5? ? ? f (?5) ? f (?1) ?

点评:通过对抽象函数的限制条件,变量换元得到函数解析式,考察学生的逻辑思维能 力。 题型二:判断两个函数是否相同 例 3.试判断以下各组函数是否表示同一函数?

(1)f(x)= x 2 ,g(x)= 3 x 3 ; (2)f(x)=

x ? 0, ?1 |x| ,g(x)= ? x ?? 1 x ? 0;


(3)f(x)= 2n?1 x 2n?1 ,g(x)=( 2 n ?1 x )2n 1(n∈ N*) ; (4)f(x)= x

x ? 1 ,g(x)= x 2 ? x ;

(5)f(x)=x2-2x-1,g(t)=t2-2t-1。 解: (1)由于 f(x)= x 2 =|x|,g(x)= 3 x 3 =x,故它们的值域及对应法则都不相同, 所以它们不是同一函数; (2)由于函数 f(x)=

x ? 0, ?1 |x| 的定义域为(-∞,0)∪ (0,+∞) ,而 g(x)= ? x ?? 1 x ? 0;

的定义域为 R,所以它们不是同一函数; (3)由于当 n∈ N*时,2n± 1 为奇数, ∴ f(x)= 2n?1 x 2n?1 =x,g(x)=( 2 n ?1 x )2n 1=x,它们的定义域、值域及对应法则都相同,


所以它们是同一函数; (4)由于函数 f(x)= x

x ? 1 的定义域为{x|x≥0},而 g(x)= x 2 ? x 的定义域为

{x|x≤-1 或 x≥0},它们的定义域不同,所以它们不是同一函数; (5)函数的定义域、值域和对应法则都相同,所以它们是同一函数。 点评:对于两个函数 y=f(x)和 y=g(x) ,当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都 相同时,y=f(x)和 y=g(x)才表示同一函数若两个函数表示同一函数,则它们的图象完全 相同,反之亦然。 (1) 第 (5) 小题易错判断成它们是不同的函数, 原因是对函数的概念理解不透要知道, 在函数的定义域及对应法则 f 不变的条件下,自变量变换字母,以至变换成其他字母的表达 式,这对于函数本身并无影响,比如 f(x)=x2+1,f(t)=t2+1,f(u+1)=(u+1)2+1 都可 视为同一函数。 (2)对于两个函数来讲,只要函数的三要素中有一要素不相同,则这两个函 数就不可能是同一函数。 题型三:函数定义域问题 例 4.求下述函数的定义域: (1) f ( x) ?

2x ? x 2 ? (3 ? 2 x) 0 ; lg(2 x ? 1)
2 2

(2) f ( x) ? lg( x ? ka) ? lg( x ? a ).

?2 x ? x 2 ? 0 ? 1 3 3 ?2 x ? 1 ? 0 解:(1)? ? ,解得函数定义域为 ( ,1) ? (1, ) ? ( ,2] . 2 2 2 ?2 x ? 1 ? 1 ? ?3 ? 2 x ? 0
(2)? ?

? x ? ka
2 2 ?x ? a

,(先对 a 进行分类讨论,然后对 k 进行分类讨论),

① 当 a=0 (k ? R) 时,函数定义域为 (0,??) ; ② 当 a ? 0 时,得 ?

? x ? ka , ? x ? ? a或 x ? a

1)当 ?

?a ? 0 时,函数定义域为 (ka,??) , ?k ? 1

2)当 ?

?a ? 0 时,函数定义域为 (a,??) , ?? 1 ? k ? 1

3)当 ?

?a ? 0 时,函数定义域为 (ka,?a) ? (a,??) ; ?k ? ?1
? x ? ka , ? x ? a或 x ? ? a

③ 当 a ? 0 时,得 ?

1)当 ?

?a ? 0 时,函数定义域为 (ka,??) , ?k ? ?1 ?a ? 0 时,函数定义域为 (?a,??) , ?? 1 ? k ? 1

2)当 ?

3)当 ?

?a ? 0 时,函数定义域为 (ka, a) ? (?a,??) 。 ?k ? 1

点评:在这里只需要根据解析式有意义,列出不等式,但第(2)小题的解析式中含有 参数,要对参数的取值进行讨论,考察学生分类讨论的能力。 例 5.已知函数 f ? x ? 定义域为(0,2),求下列函数的定义域:
2 (1) f ( x ) ? 23 ;(2) y ?

f ( x2 ) ? 1 。 log 1 (2 ? x)
2

解:(1)由 0<x <2, 得

2

点评:本例不给出 f(x)的解析式,即由 f(x)的定义域求函数 f[g(x)]的定义域关键在于理 解复合函数的意义, 用好换元法; 求函数定义域的第三种类型是一些数学问题或实际问题中 产生的函数关系,求其定义域,后面还会涉及到。

变式题:已知函数 f(x)=

3x ? 1 的定义域是 R,则实数 a 的取值范围是( ax ? ax ? 3
3 2



A.a>

1 3

B.-12<a≤0

C.-12<a<0

D.a≤

1 3

?a ? 0, 解:由 a=0 或 ? 可得-12<a≤0,答案 B。 2 ?Δ ? a ? 4a ? (?3) ? 0,
题型四:函数值域问题 例 5.求下列函数的值域: (1) y ? 3x2 ? x ? 2 ;(2) y ? ? x 2 ? 6 x ? 5 ;(3) y ?

3x ? 1 ; x?2

(4) y ? x ? 4 1 ? x ;(5) y ? x ? 1 ? x 2 ;(6) y ?| x ? 1| ? | x ? 4 | ; (7) y ?

1 ? sin x 2 x2 ? x ? 2 2 x2 ? x ? 1 1 y ? (x ? ) ; ; ( 8 ) (9) y ? 。 2 2 ? cos x 2x ?1 2 x ? x ?1
2

解:(1)(配方法)? y ? 3 x ? x ? 2 ? 3( x ? ) ?
2

1 6

23 23 ? , 12 12

∴ y ? 3x ? x ? 2 的值域为 [
2

23 , ?? ) 。 12

改题:求函数 y ? 3x2 ? x ? 2 , x ? [1,3] 的值域。 解:(利用函数的单调性)函数 y ? 3x2 ? x ? 2 在 x ? [1,3] 上单调增, ∴ 当 x ? 1 时,原函数有最小值为 4 ;当 x ? 3 时,原函数有最大值为 26 。 ∴ 函数 y ? 3x ? x ? 2 , x ? [1,3] 的值域为 [4, 26] 。
2

(2)求复合函数的值域:
2 设 ? ? ? x ? 6x ? 5 ( ? ? 0 ),则原函数可化为 y ?

?。

又∵? ? ? x ? 6 x ? 5 ? ?( x ? 3) ? 4 ? 4 ,
2 2

∴0 ? ? ? 4 ,故

? ?[0,2] ,

∴ y ? ? x 2 ? 6 x ? 5 的值域为 [0, 2] 。 (3)(法一)反函数法: 3x ? 1 2x ? 1 的反函数为 y ? ,其定义域为 {x ? R | x ? 3} , y? x ?3 x?2 ∴ 原函数 y ?

3x ? 1 的值域为 { y ? R | y ? 3} 。 x?2
3x ? 1 3( x ? 2) ? 7 7 , ? ? 3? x?2 x?2 x?2

(法二)分离变量法: y ? ∵
7 7 ? 0 ,∴3 ? ? 3, x?2 x?2

∴ 函数 y ?

3x ? 1 的值域为 { y ? R | y ? 3} 。 x?2
2

(4)换元法(代数换元法):设 t ? 1 ? x ? 0 ,则 x ? 1 ? t , ∴ 原函数可化为 y ? 1 ? t 2 ? 4t ? ?(t ? 2)2 ? 5(t ? 0) ,∴ y ? 5 , ∴ 原函数值域为 (??,5] 。 注:总结 y ? ax ? b ? cx ? d 型值域, 变形: y ? ax 2 ? b ? cx 2 ? d 或 y ? ax2 ? b ? cx ? d (5)三角换元法: ∵1 ? x ? 0 ? ?1 ? x ? 1 ,∴ 设 x ? cos ? , ? ?[0, ? ] ,
2

则 y ? cos ? ? sin ? ? ∵? ?[0, ? ] ,∴? ? ∴ 2 sin(? ?

2 sin(? ? ) 4

?

?

? 5? ? 2 ? [ , ] ,∴sin(? ? ) ?[? ,1] , 4 4 4 4 2

?
4

) ? [?1, 2] ,

∴ 原函数的值域为 [?1, 2] 。
??2 x ? 3 ? ?2 x ? 3 ? ( x ? ?4) (?4 ? x ? 1) , ( x ? 1)

(6)数形结合法: y ?| x ? 1| ? | x ? 4 |? ?5

∴ y ? 5 ,∴ 函数值域为 [5, ??) 。 (7)判别式法:∵x ? x ? 1 ? 0 恒成立,∴ 函数的定义域为 R 。
2

由y?

2 x2 ? x ? 2 得: ( y ? 2) x2 ? ( y ? 1) x ? y ? 2 ? 0 2 x ? x ?1



① 当 y ? 2 ? 0 即 y ? 2 时,① 即 3 x ? 0 ? 0 ,∴x ? 0 ? R ② 当 y ? 2 ? 0 即 y ? 2 时,∵x ? R 时方程 ( y ? 2) x2 ? ( y ? 1) x ? y ? 2 ? 0 恒有实根, ∴ △ ? ? ( y ? 1)2 ? 4 ? ( y ? 2)2 ? 0 , ∴1 ? y ? 5 且 y ? 2 , ∴ 原函数的值域为 [1,5] 。
1 2 x 2 ? x ? 1 x(2 x ? 1) ? 1 1 1 1 (8) y ? ? ? x? ? x? ? 2 ? , 1 2x ?1 2x ?1 2x ?1 2 x? 2 2

∵x ?

1 1 ,∴x ? ? 0 , 2 2
? 2,

1 1 1 1 2 ∴x ? ? ? 2 (x ? ) 2 2 x?1 2 (x ? 1) 2 2

1 1? 2 1 当且仅当 x ? ? 2 时,即 x ? 时等号成立。 1 2 x? 2 2

∴y ?

2?

1 , 2 1 , ??) 。 2

∴ 原函数的值域为 [ 2 ?

(9)(法一)方程法:原函数可化为: sin x ? y cos x ? 1 ? 2 y ,
2 ∴ 1 ? y sin( x ? ? ) ? 1 ? 2 y (其中 cos ? ?

1 1? y2

,sin ? ?

y 1? y2

),

∴sin( x ? ? ) ?

1? 2 y 1? y2

?[?1,1] ,

2 ∴|1 ? 2 y |? 1 ? y ,

∴3 y ? 4 y ? 0 ,
2

∴0 ? y ?

4 , 3 4 3

∴ 原函数的值域为 [0, ] 。 点评: 上面讨论了用初等方法求函数值域的一些常见类型与方法, 在现行的中学数学要 求中,求值域要求不高,要求较高的是求函数的最大与最小值,在后面的复习中要作详尽的 讨论。 题型五:函数解析式 例 6.(1)已知 f ( x ? ) ? x ?
3

1 x

1 ,求 f ( x ) ; x3

(2)已知 f ( ? 1) ? lg x ,求 f ( x ) ; (3)已知 f ( x ) 是一次函数,且满足 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 2 x ? 17 ,求 f ( x ) ; (4)已知 f ( x ) 满足 2 f ( x) ? f ( ) ? 3 x ,求 f ( x ) 。 解:(1)∵ f ( x ? ) ? x ?
3

2 x

1 x

1 x

1 1 1 ? ( x ? )3 ? 3( x ? ) , 3 x x x

∴ f ( x) ? x3 ? 3x ( x ? 2 或 x ? ?2 )。

2 2 ? 1 ? t ( t ? 1 ),则 x ? , x t ?1 2 2 ( x ? 1) 。 ∴ f (t ) ? lg , f ( x) ? lg t ?1 x ?1
(2)令 (3)设 f ( x) ? ax ? b(a ? 0) , 则 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 3ax ? 3a ? 3b ? 2ax ? 2a ? 2b ? ax ? b ? 5a ? 2 x ? 17 , ∴a ? 2 , b ? 7 , ∴ f ( x) ? 2 x ? 7 。 (4) 2 f ( x) ? f ( ) ? 3 x 把① 中的 x 换成

1 x

① , ② ,

1 1 3 ,得 2 f ( ) ? f ( x) ? x x x 3 ①?2 ? ② 得 3 f ( x) ? 6 x ? , x 1 ∴ f ( x) ? 2 x ? 。 x

点评:第(1)题用配凑法;第(2)题用换元法;第(3)题已知一次函数,可用待定 系数法;第(4)题用方程组法。 例 7.已知定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x。 (Ⅰ )若 f(2)=3,求 f(1);又若 f(0)=a,求 f(a); (Ⅱ )设有且仅有一个实数 x0,使得 f(x0)= x0。求函数 f(x)的解析表达式。

解:(Ⅰ )因为对任意 x∈ R,有 f(f(x)-x2 + x)=f(x)-x2 +x, 所以 f(f(2)-22+2)=f(2)-22+2。 又由 f(2)=3,得 f(3-22+2)-3-22+2,即 f(1)=1。 若 f(0)=a,则 f(a-02+0)=a-02+0,即 f(a)=a。 (Ⅱ )因为对任意 x∈ R,有 f(f(x))- x2 +x)=f(x)- x2 +x。 又因为有且只有一个实数 x0,使得 f(x0)- x0。 所以对任意 x∈ R,有 f(x)- x2 +x= x0.。
2 在上式中令 x= x0,有 f(x0)-x 0 + x0= x0。 2 又因为 f(x0)- x0,所以 x0-x 0 =0,故 x0=0 或 x0=1。

若 x0=0,则 f(x)- x2 +x=0,即 f(x)= x2 –x。 但方程 x2 –x=x 有两上不同实根,与题设条件矛质,故 x2≠0。 若 x2=1,则有 f(x)- x2 +x=1,即 f(x)= x2 –x+1。 易验证该函数满足题设条件。 综上,所求函数为 f(x)= x2 –x+1(x ? R)。 点评: 该题的题设条件是一个抽象函数, 通过应用条件进一步缩小函数的范围得到函数 的解析式。这需要考生有很深的函数理论功底。 题型六:函数应用 例 8.某租赁公司拥有汽车 100 辆.当每辆车的月租金为 3000 元时,可全部租出。当每 辆车的月租金每增加 50 元时, 未租出的车将会增加一辆。 租出的车每辆每月需要维护费 150 元,未租出的车每辆每月需要维护费 50 元。 (1)当每辆车的月租金定为 3600 元时,能租出多少辆车? (2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少? 解:(1)当每辆车的月租金定为 3600 元时,未租出的车辆数为:

3600 ? 3000 =12,所以这时租出了 88 辆车。 50
(2)设每辆车的月租金定为 x 元,则租赁公司的月收益为: f(x)=(100-

x ? 3000 x ? 3000 ) (x-150)- × 50, 50 50

整理得:f(x)=-

1 x2 +162x-21000=- (x-4050)2+307050。 50 50

所以,当 x=4050 时,f(x)最大,其最大值为 f(4050)=307050。 即当每辆车的月租金定为 4050 元时,租赁公司的月收益最大,最大收益为 307050 元. 点评:根据实际问题求函数表达式,是应用函数知识解决实际问题的基础,在设定或选 定变量去寻求等量关系并求得函数表达式后, 还要注意函数定义域常受到实际问题本身的限 制。 例 9.对 1 个单位质量的含污物体进行清洗,清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义 为: 1 ?
污物质量 为 0.8 ,要求清洗完后的清洁度为 0.99 。有两种方案可供选择, ) 物体质量(含污物)

方案甲:一次清洗;方案乙:分两次清洗。该物体初次清洗后受残留水等因素影响,其质量

变为 a(1 ? a ? 3) 。 设用 x 单位质量的水初次清洗后的清洁度是 位质量的水第二次清洗后的清洁度是 的清洁度。

x ? 0.8 ( x ? a ? 1) , 用y单 x ?1

y ? ac ,其中 c (0.8 ? c ? 0.99) 是该物体初次清洗后 y?a

(Ⅰ )分别求出方案甲以及 c ? 0.95 时方案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量较少; (Ⅱ )若采用方案乙, 当 a 为某固定值时, 如何安排初次与第二次清洗的用水量, 使总用水 量最小? 并讨论 a 取不同数值时对最少总用水量多少的影响。 解:(Ⅰ )设方案甲与方案乙的用水量分别为 x 与 z。

x ? 0.8 =0.99,解得 x=19。 x ?1 由 c ? 0.95 得方案乙初次用水量为 3,
由题设有 第二次用水量 y 满足方程: 别为 19 与 4 a +3。 因为当 1 ? a ? 3时, x ? z ? 4(4 ? a) ? 0,即x ? z ,故方案乙的用水量较少。 (II)设初次与第二次清洗的用水量分别为 x 与 y ,类似(I)得

y ? 0.95a ? 0.99, 解得 y=4 a ,故 z=4 a +3.即两种方案的用水量分 y?a

5c ? 4 , y ? a(99 ? 100c) (*) 5(1 ? c ) 5c ? 4 1 ? 100a (1 ? c) ? a ? 1 于是 x ? y ? + a(99 ? 100c) ? 5(1 ? c) 5(1 ? c) x?
当 a 为定值时, x ? y ? 2

1 ?100a(1 ? c) ? a ? 1 ? ?a ? 4 5a ? 1 , 5(1 ? c)

当且仅当

1 ? 100a(1 ? c) 时等号成立。 5(1 ? c) 1 1 (不合题意,舍去)或c ? 1 ? ? (0.8, 0.99), 10 5a 10 5a 1 代入(*)式得 x ? 2 5a ?1 ? a ?1, y ? 2 5a ? a. 10 5a

此时 c ? 1 ?

将 c ? 1?

故 c ? 1?

1 时总用水量最少, 10 5a

此时第一次与第二次用水量分别为 2 5a ?1与2 5a ? a , 最少总用水量是 T (a) ? ?a ? 4 5a ?1 。

当 1 ? a ? 3时, T ' (a) ?

2 5 ?1 ? 0 , a

故 T( a )是增函数(也可以用二次函数的单调性判断)。这说明,随着 a 的值的最少总用水 量, 最少总用水量最少总用水量。 点评:本题贴近生活。要求考生读懂题目,迅速准确建立数学模型,把实际问题转化为 数学问题并加以解决。该题典型代表高考的方向。 题型 7:课标创新题 例 10.(1)设 f ( x) ? x ? ax ? bx ? cx ? d ,其中 a、b、c、d 是常数。
4 3 2

如果 f (1) ? 10, f (2) ? 20, f (3) ? 30, 求 f (10) ? f (?6)的值 ; (2)若不等式 2 x ? 1 ? m( x ? 1) 对满足 ? 2 ? m ? 2 的所有 m 都成立,求 x 的取值范
2

围。 解:(1)构造函数 g ( x) ? f ( x) ? 10x, 则 g (1) ? g (2) ? g (3) ? 0, 故:

f (10) ? f (?6) ? (10 ? 1)(10 ? 2)(10 ? 3)(10 ? m) ? 100 ? (?6 ? 1)(?6 ? 2)(?6 ? 3)(?6 ? r ) ? 60 ? 8104 .
(2)原不等式可化为 ( x ? 1)m ? (2x ? 1) ? 0.
2

构造函数 f (m) ? ( x ? 1)m ? (2x ? 1)(?2 ? m ? 2) ,其图象是一条线段。
2

根据题意,只须:
2 2 ? ? f (?2) ? ?2( x ? 1) ? (2 x ? 1) ? 0, ? ?2 x ? 2 x ? 3 ? 0, ? ? 2 2 ? ? f (2) ? 2( x ? 1) ? (2 x ? 1) ? 0, 即 ? ?2 x ? 2 x ? 1 ? 0.

?1? 7 1? 3 ?x? 2 2 。 解得
点评:上面两个题目通过重新构造函数解决了实际问题,体现了函数的工具作用。

五.思维总结
“函数”是数学中最重要的概念之一, 学习函数的概念首先要掌握函数三要素的基本内容 与方法。由给定函数解析式求其定义域这类问题的代表,实际上是求使给定式有意义的 x 的取值范围它依赖于对各种式的认识与解不等式技能的熟练。 1.求函数解析式的题型有: (1)已知函数类型,求函数的解析式:待定系数法; (2)已知 f ( x ) 求 f [ g ( x)] 或已知 f [ g ( x)] 求 f ( x ) :换元法、配凑法; (3)已知函数图像,求函数解析式; (4) f ( x ) 满足某个等式,这个等式除 f ( x ) 外还有其他未知量,需构造另个等式:解方 程组法; (5)应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等。 2.求函数定义域一般有三类问题:

(1)给出函数解析式的:函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合; (2)实际问题:函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外,还应考虑使实际问题有 意义; (3) 已知 f ( x ) 的定义域求 f [ g ( x)] 的定义域或已知 f [ g ( x)] 的定义域求 f ( x ) 的定义域: ① 掌握基本初等函数(尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数)的定义域; ② 若已知 f ( x ) 的定义域 ? a, b? ,其复合函数 f ? g ( x)? 的定义域应由 a ? g ( x) ? b 解出。 3.求函数值域的各种方法 函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的。 其类型依解析式的特点分可分三类: (1)求常见函数值域; (2)求由常见函数复合而成的函数的值域; (3)求由常见函数作某些“运算” 而得函数的值域。 ① 直接法:利用常见函数的值域来求 一次函数 y=ax+b(a ? 0)的定义域为 R,值域为 R; 反比例函数 y ?

k (k ? 0) 的定义域为{x|x ? 0},值域为{y|y ? 0}; x

二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的定义域为 R,
2 当 a>0 时,值域为{ y | y ? (4ac ? b ) }; 4a
2 当 a<0 时,值域为{ y | y ? (4ac ? b ) }。 4a

②配 方 法 : 转 化 为 二 次 函 数 , 利 用 二 次 函 数 的 特 征 来 求 值 ; 常 转 化 为 型 如 :

f ( x) ? ax2 ? bx ? c, x ? (m, n) 的形式;
③ 分式转化法(或改为“分离常数法”) ④ 换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想; ⑤ 三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域; ⑥ 基本不等式法: 转化成型如:y ? x ?

k (k ? 0) , 利用平均值不等式公式来求值域; x

⑦ 单调性法:函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域。 ⑧ 数形结合:根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域。


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