2013 年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验 试卷
理科数学(问卷)
(卷面分值:150 分考试时间:120 分钟)
第 I 卷(选择题共 60 分) 一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1. 已知集合 A= {x|| x| >1},B = {x|x<m},且
A. -1 B.O
1 ? 2i i
=R,则 m 的值可以是
C1
D. 2
2. 复数
的共轭复数是 a + bi(a,b R),i 是虛数单位,则点(a,b)为
D . ( 1 ,-2)
A. (1 ,2)
B. (2 ,- i )
C.(2,1)
3. “ a > 0 ” 是“ a 2 ? a ? 0 ”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4. 函数 f ( x ) ? lo g 2 (1 ? x ), g ( x ) ? lo g 2 (1 ? x ) ,则 f(x)-g(x) 是
A.奇函数 C.既不是奇函数又不是偶函数
?0, x ? 0 ?e , x ? 0
x
B.偶函数 D.既是奇函数又是偶函数
5. 已知函数 f ( x ) ? ? 范围是
,则使函数 g(x)=f(x)+x-m 有零点的实数 m 的取值
A. [ 0 , 1)
B. ( ? ? , 1)
C、 ( ? ? ,1] ? ( 2, ? ? )
D. ( ? ? , 0 ] ? (1, ? ? )
6. 设 S n 为等差数列{ a n }的前 n 项和,若 a1 ? 1, a 3 ? 5, S k ? 2 ? S k ? 3 6 ,则 k 的值为
A.8
B. 7
C. 6
D.5
7. 函数 f ( x ) ? 2 sin( ? x ? ? )( ? ? 0, 0 ? ? ? ? ) 的部分图象如图 所示,其 中 A,B 两点之间的距离为 5,则 f(x)的递增区间是
A.[ 6k- 1,6k+ 2] k ? Z) ( C.[ 3k- 1,4k+ 2] k ? Z) ( B.[ 6k- 4,6k- 1] k ? Z) ( D.[ 3k- 4,3k- 1] k ? Z) (
8. 执行右边的程序框图,若输出的 S 是 127,则条件①可以为 A、n≤5 B、n≤6 C、n≤7 D、n≤8
9. 如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 是 AB 的三等分点,G、H 是 CD 的三等分点,M、N 分别是 BC、EH 的中点,则四棱锥 A1 -FMGN 的 侧 视图为
10. 设平面区域 D 是由双曲线 y 2 ?
x
2
? 1 的两条渐近线和抛物线 y =-8x 的准线所围成的
2
4
三角形(含边界与内部).若点(x,y) ∈ D,则 x + y 的最小值为
A. -1
B.0 C. 1
D.3
11.如图,椭圆的中心在坐标原点 0,顶点分别是 A1, A2, B1, B2,焦 点分别为 F1 ,F2,延长 B1F2 与 A2B2 交于 P 点,若 为钝角,则此椭 圆的离心率的取值范围为
5 ?1 4 5 ?1 4
A.(0,
)
B、 (
,1)
C.(0,
5 ?1 2
)
D、 (
5 ?1 2
,1)
12.
中,若
,则
ta n A ta n B
的值为
A.2
B.4
C. 3
D.2 3
第 II 卷(非选择题共 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作 答. 第 22 题?第 24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. 某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了 5 次试验. 根据 收集到的数据(如下表),由最小二乘法求得回归直线方程
表中有一个数据模糊不清,请你推断出该数据的值为______ . 14. 如图,单位正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,点 P 在平面 A 1 BC 1 上,则三棱 锥 P-ACD 1 的体积 为______ 15. 点 A(x,y)在单位圆上从 出发,沿逆时针方向做匀速圆
周运动,每 12 秒运动一周.则经过时间 t 后,y 关于 t 的函数解析式 为______ 上两点,O 为坐标原点.若 OA 丄 OB,则 ΔAOB
16. 设 A、 为在双曲线 B 面 积的最小值为______
三、解答题:第 17?21 题每题 12 分,解答应在答卷的相应各题中写出文字说明,证明过 . 程或演 算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知数列{an}、{bn}分别是首项均为 2 的各项均为正数的等比数列和等差数列,且
(I) 求数列{an}、{bn}的通项公式; (II )求使 a b <0.001 成立的最小的 n 值.
n
18. (本小题满分 12 分) PM2. 5 是指大气中直径小于或等于 2. 5 微米的颗粒物,也称为 可 人肺颗粒物.我国 PM2. 5 标准采用世卫组织设定的最宽限 值,即 PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气质量为一级; 在 35 微克/立 方米~75 微克/立方米之间空气质量为二级;在 75 微克/立方米以上空 气质量为超标. 某市环保局从市区 2012 年全年每天的 PM2.5 监测数据中 随机抽取 15 天的数据作为样 本,监测值如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶) (I)从这 15 天的数据中任取 3 天的数据,记表示其中空气质量达到一级的天数 ? ,求的 ? 分布列; (II) 以这 15 天的 PM2. 5 日均值来估计一年的空气质量情况,则一年(按 360 天计算) 中大 约有多少天的空气质量达到一级. 19. (本小题满分 12 分)
P, VD 的中点, 点 M 在边 BC 在正四棱锥 V - ABCD 中, Q 分别为棱 VB, 上,且 BM: BC = 1 : 3 ,AB =
,VA = 6.
(I )求 证 CQ 丄 AP; ( I I ) 求二面角 B - A P - M 的余弦值.
20. (本小题满分 12 分) 已知点 F( 1,0), 与直线 4x+3y + 1 =0 相切,动圆 M 与 及 y 轴都相切.
(I )求点 M 的轨迹 C 的方程; (II)过点 F 任作直线 l,交曲线 C 于 A,B 两点,由点 A,B 分别向 点 分别为 P,Q,记 .求证 sin ? ? sin ? 是定值. 各引一条切线,切
21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ?
ln x a ? x .
(I)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的句线与 X 轴平行,求函数 f(x)的单调区间; (II)若对一切正数 x,都有 恒成立,求 a 的取值集合.
请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB 是 丄 CE,垂足为 D. 的直径,AC 是弦,直线 CE 和 切于点 C, AD
(I) 求证:AC 平分
;
的大小.
(II) 若 A B = 4 A D , 求
23. (本题满分 10 分)选修 4 -4 :坐标系与参数方程
将圆
上各点的纵坐标压缩至原来的 ,所得曲线记作 C;将直线 3x-2y-8=0
绕原点逆时针旋转 90° 所得直线记作 l. (I)求直线 l 与曲线 C 的方程;
(II)求 C 上的点到直线 l 的最大距离.
24. (本题满分 10 分)选修 4 - 5 :不等式选讲 设函数,
( I) 求证
. ;
(II)若
成立,求 x 的取值范围.
参考答案
一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.选 D.【解析】 x ? 1 ? x ? 1 或 x ? ?1 ,由 A ? B = R ,得 m ? 1 .
1 ? 2i i
2.选 C.【解析】
? 2 ? i ,其共轭复数为 2 ? i ,即 a ? bi ? 2 ? i ,所以 a ? 2, b ? 1 .
3.选 A.【解析】 a ? 0 ? a 2 ? a ? 0 ;反之 a 2 ? a ? 0 ? a ? 0, 或a ? ?1 ,不能推出 a ? 0 .
1? x 1? x
4.选 A.【解析】 f ? x ? ? g ( x ) 的定义域为 ? ?1,1? 记 F ( x) ? f ? x ? ? g ( x ) ? log 2
?1
,则
F ( ? x ) ? log 2
? 1? x ? ? log 2 ? ? 1? x ? 1? x ?
1? x
? ? log 2
1? x 1? x
? ? F ( x ) ,故 f
? x ? ? g ( x) 是奇函数.
5.选 D.【解析】函数 g ( x) ? f ( x) ? x ? m 的零点就是方程 f ( x) ? x ? m 的根,作出
x?0 ? x, h( x ) ? f ? x ? ? x ? ? x 的图象,观察它与直线 y ? m 的交点,得知当 m ? 0 时, ?e ? x, x ? 0
或 m ? 1 时有交点,即函数 g ( x) ? f ( x) ? x ? m 有零点. 6.选 A.【解析】由 a1 ? 1 , a3 ? 5 ,解得 d ? 2 ,再由: S k ? 2 ? S k ? ak ? 2 ? ak ?1
? 2a1 ? (2k ? 1)d ? 4k ? 4 ? 36 ,解得 k ? 8 .
T 2 2?
7.选 B.【解析】 AB ? 5, y A ? yB ? 4 ,所以 x A ? xB ? 3 ,即
?
3
? 3 ,所以 T ?
?
?6,
??
由 f ? x ? ? 2 sin ?
5? 6
??
? ? 2? ? x ? ? ? 过点 ? 2, ?2 ? ,即 2 sin ? ? ? ? ? ?2 , 0 ? ? ? ? , ?3 ? ? 3 ? ?? ?3
解得 ? ?
,函数为 f ? x ? ? 2 sin ?
x?
? ? 5? ? 5? ? x? ? 2 k? ? , ? ,由 2k? ? ? 2 3 6 2 6 ?
解得
6k ? 4 ? x ? 6k ? 1 ,故函数单调递增区间为 ? 6k ? 4, 6k ? 1? ? k ? Z ? .
8.选 B.【解析】依题意 S ? 1 ? 2 ? 22 ? ? ? 2n ? 2 n ?1 ? 1 ,有 2n ?1 ? 1 ? 127 ,故 n ? 6 . 9.选 C.【解析】 (略). 10.选 B.【解析】双曲线的渐近线为 y ? ? 过点 O ? 0, 0 ? 时, zmin ? 0 .
1 2 x ,抛物线的准线为 x ? 2 ,设 z ? x ? y ,当直线
11.选 D.【解析】易知直线 B2 A2 的方程为 bx ? ay ? ab ? 0 ,直线 B1 F2 的方程为
? 2ac b ? a ? c ? ? bx ? cy ? bc ? 0 ,联立可得 P ? , ? ,又 A2 ? a, 0 ? , B1 ? 0, ?b ? , a?c ? ?a?c
∴ PB1 ? ?
????
? ? ?2ac ?2ab ? ???? ? a ? a ? c ? ?b ? a ? c ? ? , , , PA2 ? ? ?, ? a?c ? ? a?c a?c ? ? a?c
???? ???? ? ?2a c ? a ? c ? 2ab ? a ? c ? ? ? 0, ∵ ?B1 PA2 为钝角∴ PA2 ? PB1 ? 0 ,即 2 2 ?a ? c? ?a ? c?
2 2
c ?c? 化 简 得 b ? ac , a ? c ? ac , 故 ? ? ? ? 1 ? 0 , 即 e 2 ? e ? 1 ? 0 , e ? a ?a?
2 2 2
2
5 ?1 2
或
e?
? 5 ?1 2
,而 0 ? e ? 1 ,所以
5 ?1 2
? e ? 1.
12.选 B.【解析】设 ?ABC 中, a, b, c 分别是 ?A, ?B, ?C 所对的边,由
? CA ? CB ? ? AB ? 5
??? ?
??? ?
??? ?
? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? 3 ??? 2 ? 3 ??? 2 AB 得 CA ? AB ? CB ? AB ? AB 5
3 5
2
即 bc cos ?? ? A ? ? ac cos B ?
a ?c ?b
2 2
c ,∴ a cos B ? b cos A ?
2
3 5
c
2
∴a?
?b?
b ?c ?a
2 2
?
3 5
c ,即 a ? b ?
2 2
3 5
c ,
2
2ac
2bc
2 2
c ?c sin A cos B a a ?c ?b 2ac 5 ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? 4. ∴ 2 2 2 2 3 2 tan B sin B cos A b b ? c ? a b ?c ?a 2 ? c ?c 5 2bc
2 2
a ?c ?b
2 2 2 2
3
tan A
二、填空题:共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.填 68 . 【解析】设遮住部分的数据为 m , x =
10 + 20 + 30 + 40 + 50 5
? 由 y = 0.67 x + 54.9 过 ? x, y ? 得 y = 0.67 ? 30 + 54.9 = 75
? 30 ,
∴
62 + m + 75 + 81+ 89 5
= 75 ,故 m ? 68 .
14.填
1 6
. 【解析】平面 A1 BC1 ∥平面 ACD1 ,∴ P 到平面 ACD1 的距离等于平面 A1 BC1 与平面
1 3 3 3 1 2 3 2
ACD1 间的距离,等于
B1 D ?
,而 S ?ACD ?
1
AD1 ? CD1 sin 60? ?
,
∴三棱锥 P ? ACD1 的体积为 ?
3
1
3 2
?
3 3
?
1 6
.
15.填 y ? sin ?
?? ?6
t?
??
? 2? ? ? 【解析】 ?xOA0 ? ,点 A 每秒旋转 ,所以秒旋转 t , ? ?. 3 12 6 6 3?
?
6 t?
?A0OA ?
?
6
t , ?xOA ?
?
3
,则 y ? sin ?xOA ? sin ?
?? ?6
t?
??
?. 3?
16.填
a b
2
2
2 2
b ?a
. 【解析】设直线 OA 的方程为 y ? kx ,则直线 OB 的方程为 y ? ?
1 k
x,
? y ? kx 2 2 2 2 2 a b a b k ? 2 2 则点 A ? x1 , y1 ? 满足 ? x 2 y 2 故 x1 ? 2 , , y1 ? 2 2 2 2 2 b ?a k b ?a k ? 2 ?1 ? 2 b ?a
∴ OA ? x1 ? y1 ?
2 2
2
?1 ? k ? a b
2 2
2
b ?a k
2 2
2
,同理 OB ?
2
?1 ? k ? a b
2 2
2
k b ?a
2 2
2
,
故 OA ? OB ?
2
2
?1 ? k ? a b ?1 ? k ? a b
2 2 2 2 2
2
b ?a k
2 2
2
?
k b ?a
2 2
2
?
2 2 2
a b ?a b ? ? a ? b
4
4 2 2
2
?
2
?
k
?k
2
? 1?
∵
k
2 2
?k
2
? 1?
? k ?
2
1 1 k
2
? ?2
1 4
(当且仅当 k ? ?1 时,取等号)
∴ OA ? OB ?
2
2
4a b
4
4
?b ? a
2
2
?
2
,又 b ? a ? 0 ,故 S ?AOB ?
1 2
OA ? OB 的最小值为
a b
2
2
2 2
b ?a
.
三、解答题:共 6 小题,共 70 分.
? 2 ? d ? 4 ? 2q ? ?? 2 ? 2d ? ? 2q ? 6 ?
17.(Ⅰ)设 ?an ? 的公比为 q , ?bn ? 的公差为 d ,依题意 ?
?d ? 2 ? d ? ?5 ? ? 解得 ? 1 ,或 ? 3 (舍) q? q?? ? ? ? 2 8 ?
∴ an ? ?
?1? ? ?2?
n?2
, bn ? 2n ;
…6 分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 ab ? a2 n
n
?1? ?? ? ?2?
2n?2
,
因为 ab
n
?1? ? 0.001 ? ? ? ?2?
2n?2
? 0.001 ? 2
2 n? 2
? 1000 ,
所以 2n ? 2 ? 10 ,即 n ? 6 ,∴最小的 n 值为 6.
…12 分
18.(Ⅰ)依据条件, ? 服从超几何分布:其中 N ? 15, M ? 5, n ? 3 , ? 的可能值为 0,1, 2, 3 ,
其分布列为: P ?? ? k ? ?
C5 ? C10
k
3? k
C15
3
? k ? 0,1, 2, 3? .
?
P
0
24 91 45 91
2
3
2 91
20 91
…6 分
(Ⅱ)依题意可知,一年中每天空气质量达到一级的概率为 P ?
5 15
?
1 3
,
一年中空气质量达到一级的天数为? ,则? ~ B ? 360, ? ,∴ E? ? 360 ?
? 3?
?
1?
1 3
? 120 (天)
所以一年中平均有 120 天的空气质量达到一级.
…12 分
19.设正方形 ABCD 的中心为 O , N 为 AB 的中点, R 为 BC 的中点,分别以 ON , OR ,
OV 所在直线为 x 轴, y 轴, z 轴,如图建立空间直角坐标系,
在 Rt ?VOB 中,可得 OV ? 30 ,
则 V 0, 0, 30 , A
?
? ? ?
3, ? 3, 0 , B
?
?
3, 3, 0 ,
?
? 3 ? C ? 3, 3, 0 , D ? 3, ? 3, 0 , M ? , 3, 0 ? , ? 3 ? ? ?
?
?
?
? 3 3 P? , , ? 2 2 ?
? 30 ? 3 3 ,? , ?, Q? ? ? 2 ? 2 2 ? ?
30 ? ?. 2 ? ?
于是 AP ? ? ?
? ?
??? ?
?
3 3 3 , , 2 2
? 30 ? ??? ? , AB ? 0, 2 3, 0 , 2 ? ?
?
?
???? ? 2 3 ? ? ? 3 ? ??? 3 3 AM ? ? ? , 2 3, 0 ? , CQ ? ? ,? , ? ? ? 2 3 2 ? ? ?
30 ? ?. 2 ? ?
(Ⅰ)∵ AP ? CQ ? ? ?
? ?
??? ??? ? ?
?
3 3 3 , , 2 2
30 ? ? 3 3 3 ,? , ??? ? ? 2 2 ? ? 2
30 ? ? ? 0, 2 ? ?
∴ CQ ? AP ,即 CQ ⊥ AP ;
??? ?
??? ?
…6 分
??? ? ?n1 ? AP ? 0 ? a ? 3b ? 10c ? 0 ? ? (Ⅱ)设平面 BAP 的法向量为 n1 ? ? a, b, c ? ,由 ? 得? ??? ? ?n1 ? AB ? 0 ?b ? 0 ? ?
故 n1 ?
?
10, 0,1 ,同理可得平面 APM 的法向量为 n 2 ? ? 3,1, 0 ? ,
?
设二面角 B ? AP ? M 的平面角为 ? ,则 cos ? ?
n1 ? n 2 n1 n 2
?
3 11 11
.
…12 分
20. (Ⅰ)⊙ F 的半径为
4 ?1 4 ?3
2 2
? 1 ,⊙ F 的方程为 ? x ? 1? ? y ? 1 ,
2 2
由题意动圆 M 与⊙ F 及 y 轴都相切,分以下情况: (1)动圆 M 与⊙ F 及 y 轴都相切,但切点不是原点的情况: 作 MH ⊥ y 轴于 H , MF ? 1 ? MH , MF ? MH ? 1 , MF ? MN ( N 则 即 则 是过 M 作直线 x ? ?1 的垂线的垂足) ,则点 M 的轨迹是以 F 为焦点, x ? ?1 为准线的 抛物线. ∴点 M 的轨迹 C 的方程为 y ? 4 x ? x ? 0 ? ;
2
(2)动圆 M 与⊙ F 及 y 轴都相切且仅切于原点的情况: 此时点 M 的轨迹 C 的方程为 y ? 0 ( x ? 0,1) ; …6 分
(Ⅱ)对于(Ⅰ)中(1)的情况:
当不与 x 轴垂直时,直线的方程为 y ? k ? x ? 1? ,由 ?
? y ? k ? x ? 1? ? ? y ? 4x ?
2
得
k x ? ? 2k ? 4 ? x ? k ? 0 ,设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 x1 ? x2 ?
2 2 2 2
2k ? 4
2
k
2
, x1 x2 ? 1
∴ sin ? ? sin ? ?
1 AF
?
1 BF
?
1 x1 ? 1
?
1 x2 ? 1
?
x1 ? x2 ? 2 x1 x2 ? x1 ? x2 ? 1
?
x1 ? x2 ? 2 1 ? x1 ? x2 ? 1
? 1,
当与 x 轴垂直时,也可得 sin ? ? sin ? ? 1 ,
对于(Ⅰ)中(2)的情况不符合题意(即作直线,交 C 于一个点或无数个点,而非两 个交点). 综上,有 sin ? ? sin ? ? 1 . …12 分
21. (Ⅰ)∵ f ? ? x ? ?
1 ax
? 1,
∴曲线 y ? f ? x ? 在点 ?1, f ?1? ? 处的切线斜率为 k ? f ? ?1? ?
1 a
?1,
依题意
1 a
? 1 ? 0 ,故 a ? 1 ,∴ f
? x ? ? ln x ? x ,
f ?? x? ?
1 x
?1 ,
当 0 ? x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递增;当 x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单 调递减;所以函数 f ? x ? 的单调增区间为 ? 0,1? ,减区间为 ?1, ?? ? ; …6 分
(Ⅱ)若 a ? 0 ,因为此时对一切 x ? ? 0,1? ,都有 与题意矛盾,又 a ? 0 ,故 a ? 0 ,由 f ? ? x ? ?
ln x a 1 ax
? 0 , x ? 1 ? 0 ,所以
ln x a 1 a
? x ?1 ,
? 1 ,令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x ?
.
当0 ? x ?
1 a
时, f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递增;当 x ?
1 a 1 a ln 1 a ? 1 a
1 a
时, f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ?
单调递减;所以 f ? x ? 在 x ?
处取得最大值
1 a
ln
1 a
?
1 a
,故对 ?x ? R ? , f ? x ? ? ?1 恒
成立,当且仅当对 ?a ? R ? ,
? ?1 恒成立.
令
1 a
? t , g ? t ? ? t ln t ? t , t ? 0 .
则 g ? ? t ? ? ln t ,当 0 ? t ? 1 时, g ? ? t ? ? 0 ,函数 g ? t ? 单调递减;当 t ? 1 时, g ? ? t ? ? 0 , 函数 g ? t ? 单调递增; 所以 g ? t ? 在 t ? 1 处取得最小值 ?1 , 因此, 当且仅当 时,
1 a ln 1 a ? 1 a ? ?1 成立. 1 a
即 ?1, a ?1
故 a 的取值集合为 ?1? . 22. (Ⅰ)连接 BC ,∵ AB 是 ? O 的直径,∴ ?ACB ? 90? . ∴ ?B ? ?CAB ? 90? ∵ AD ? CE ,∴ ?ACD ? ?DAC ? 90? , ∵ AC 是弦,且直线 CE 和 ? O 切于点 C , ∴ ?ACD ? ?B ∴ ?DAC ? ?CAB ,即 AC 平分 ?BAD ; (Ⅱ)由(Ⅰ)知 ?ABC ? ?ACD ,∴
AC AB ? AD AC
…12 分
…5 分 ,由此得 AC 2 ? AB ? AD .
∵ AB ? 4 AD ,∴ AC 2 ? 4 AD ? AD = 4 AD 2 ? AC ? 2 AD ,于是 ?DAC ? 60? , 故 ?BAD 的大小为 120? . 23. (Ⅰ)设曲线 C 上任一点为 ? x, y ? ,则 ? x, 2 y ? 在圆 x ? y ? 4 上,
2 2
…10 分
于是 x 2 ? ? 2 y ? ? 4 即
2
x
2
? y ?1.
2
4
直线 3x ? 2 y ? 8 ? 0 的极坐标方程为 3? cos ? ? 2 ? sin ? ? 8 ? 0 ,将其记作 l0 ,
设直线上任一点为 ? ? , ? ? ,则点 ? ? , ? ? 90? ? 在 l0 上,
于是 3? cos ?? ? 90? ? ? 2 ? sin ?? ? 90? ? ? 8 ? 0 ,即: 3? sin ? ? 2 ? cos ? ? 8 ? 0
故直线的方程为 2 x ? 3 y ? 8 ? 0
…5 分
(Ⅱ)设曲线 C 上任一点为 M ? 2 cos ? , sin ? ? ,
它到直线的距离为 d ?
4 cos ? ? 3sin ? ? 8 2 ?3
2 2
?
5cos ?? ? ? 0 ? ? 8 13
,
其中 ? 0 满足: cos ? 0 ?
4 5
, sin ? 0 ?
3 5
.
∴当 ? ? ? 0 ? ? 时, d max ? 13 .
…10 分
24. (Ⅰ) f ( x) ? x ? 1 ? x ? 2 ? ( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 1 .
…5 分
(Ⅱ)∵
a ?2
2
?
a ?1?1
2
?
a ?1 ?
2
1 a ?1
2
? 2,
a ?1
2
a ?1
2
∴要使
a ?2
2
成立,需且只需 x ? 1 ? x ? 2 ? 2 ,
a ?1
2
即?
?x ? 1 ?1 ? x ? 2 ? x ? 2
,或 ?
?1 ? x ? 2 ?x ?1? 2 ? x ? 2
,或 ?
?x ? 2 ?x ?1? x ? 2 ? 2
,解得 x ?
1 2
,或 x ?
5 2
故 x 的取值范围是 ? ??, ? ? ? , ?? ? . 2 2
? ? ? ?
?
1?
?5
?
…10 分
以上各题的其他解法,限于篇幅从略,请相应评分.