新疆乌鲁木齐地区2013届高三第一次诊断性测验数学理试题(WORD版)

2013 年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验 试卷
理科数学（问卷）
(卷面分值：150 分考试时间：120 分钟）
第 I 卷（选择题共 60 分） 一、选择题：共 12 小题,每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1. 已知集合 A= {x|| x| >1}，B = {x|x<m}，且
A. -1 B.O
1 ? 2i i

=R，则 m 的值可以是

C1

D. 2

2. 复数

的共轭复数是 a + bi(a，b R)，i 是虛数单位，则点（a，b)为
D . ( 1 ，-2)

A. (1 ，2)

B. (2 ，- i )

C.(2,1)

3. “ a ＞ 0 ” 是“ a 2 ? a ? 0 ”的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4. 函数 f ( x ) ? lo g 2 (1 ? x ), g ( x ) ? lo g 2 (1 ? x ) ，则 f（x）－g（x） 是

A.奇函数 C.既不是奇函数又不是偶函数
?0, x ? 0 ?e , x ? 0
x

B.偶函数 D.既是奇函数又是偶函数

5. 已知函数 f ( x ) ? ? 范围是

，则使函数 g（x）＝f（x）＋x－m 有零点的实数 m 的取值

A. [ 0 , 1)

B. ( ? ? , 1)

C、 ( ? ? ,1] ? ( 2, ? ? )

D. ( ? ? , 0 ] ? (1, ? ? )

6. 设 S n 为等差数列{ a n }的前 n 项和，若 a1 ? 1, a 3 ? 5, S k ? 2 ? S k ? 3 6 ，则 k 的值为

A.8

B. 7

C. 6

D.5

7. 函数 f ( x ) ? 2 sin( ? x ? ? )( ? ? 0, 0 ? ? ? ? ) 的部分图象如图 所示，其 中 A，B 两点之间的距离为 5，则 f(x)的递增区间是
A.［ 6k－ 1,6k＋ 2］ k ? Z） （ C.［ 3k－ 1,4k＋ 2］ k ? Z） （ B.［ 6k－ 4,6k－ 1］ k ? Z） （ D.［ 3k－ 4,3k－ 1］ k ? Z） （

8. 执行右边的程序框图，若输出的 S 是 127，则条件①可以为 A、n≤5 B、n≤6 C、n≤7 D、n≤8

9. 如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E、F 是 AB 的三等分点，G、H 是 CD 的三等分点，M、N 分别是 BC、EH 的中点，则四棱锥 A1 -FMGN 的 侧 视图为

10. 设平面区域 D 是由双曲线 y 2 ?

x

2

? 1 的两条渐近线和抛物线 y =-8x 的准线所围成的

2

4

三角形(含边界与内部）.若点（x，y) ∈ D,则 x + y 的最小值为

A. -1

B.0 C. 1

D.3

11.如图，椭圆的中心在坐标原点 0，顶点分别是 A1, A2, B1, B2，焦 点分别为 F1 ,F2，延长 B1F2 与 A2B2 交于 P 点，若 为钝角，则此椭 圆的离心率的取值范围为
5 ?1 4 5 ?1 4

A.（0，

）

B、 （

，1）

C.（0，

5 ?1 2

）

D、 （

5 ?1 2

，1）

12.

中，若

，则

ta n A ta n B

的值为

A.2

B.4

C. 3

D.2 3

第 II 卷（非选择题共 90 分） 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作 答. 第 22 题?第 24 题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 5 次试验. 根据 收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归直线方程

表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为______ . 14. 如图，单位正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，点 P 在平面 A 1 BC 1 上，则三棱 锥 P-ACD 1 的体积 为______ 15. 点 A(x，y)在单位圆上从 出发，沿逆时针方向做匀速圆

周运动，每 12 秒运动一周.则经过时间 t 后，y 关于 t 的函数解析式 为______ 上两点，O 为坐标原点.若 OA 丄 OB,则 ΔAOB

16. 设 A、 为在双曲线 B 面 积的最小值为______

三、解答题：第 17?21 题每题 12 分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过 . 程或演 算步骤. 17. (本小题满分 12 分） 已知数列{an}、{bn}分别是首项均为 2 的各项均为正数的等比数列和等差数列，且

(I) 求数列{an}、{bn}的通项公式； (II )求使 a b <0.001 成立的最小的 n 值.
n

18. (本小题满分 12 分） PM2. 5 是指大气中直径小于或等于 2. 5 微米的颗粒物，也称为 可 人肺颗粒物.我国 PM2. 5 标准采用世卫组织设定的最宽限 值，即 PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气质量为一级； 在 35 微克/立 方米~75 微克/立方米之间空气质量为二级；在 75 微克/立方米以上空 气质量为超标. 某市环保局从市区 2012 年全年每天的 PM2.5 监测数据中 随机抽取 15 天的数据作为样 本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶） (I)从这 15 天的数据中任取 3 天的数据，记表示其中空气质量达到一级的天数 ? ，求的 ? 分布列； (II) 以这 15 天的 PM2. 5 日均值来估计一年的空气质量情况，则一年(按 360 天计算） 中大 约有多少天的空气质量达到一级. 19. (本小题满分 12 分）
P， VD 的中点， 点 M 在边 BC 在正四棱锥 V - ABCD 中， Q 分别为棱 VB， 上，且 BM: BC = 1 ： 3 ，AB =
，VA = 6.

(I )求 证 CQ 丄 AP; ( I I ) 求二面角 B - A P - M 的余弦值.

20. (本小题满分 12 分） 已知点 F( 1，0)， 与直线 4x+3y + 1 ＝0 相切，动圆 M 与 及 y 轴都相切.

(I )求点 M 的轨迹 C 的方程； (II)过点 F 任作直线 l，交曲线 C 于 A，B 两点，由点 A，B 分别向 点 分别为 P，Q，记 .求证 sin ? ? sin ? 是定值. 各引一条切线，切

21. (本小题满分 12 分） 已知函数 f ( x ) ?
ln x a ? x .

(I)若曲线 y=f(x)在点(1，f(1))处的句线与 X 轴平行，求函数 f(x)的单调区间； (II)若对一切正数 x，都有 恒成立，求 a 的取值集合.

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图，AB 是 丄 CE，垂足为 D. 的直径，AC 是弦，直线 CE 和 切于点 C， AD

(I) 求证:AC 平分

；
的大小.

(II) 若 A B = 4 A D ， 求

23. (本题满分 10 分)选修 4 －4 ：坐标系与参数方程

将圆

上各点的纵坐标压缩至原来的 ，所得曲线记作 C;将直线 3x-2y-8=0

绕原点逆时针旋转 90° 所得直线记作 l. (I)求直线 l 与曲线 C 的方程；

(II)求 C 上的点到直线 l 的最大距离.

24. (本题满分 10 分)选修 4 - 5 ：不等式选讲 设函数，
( I) 求证

. ；

(II)若

成立，求 x 的取值范围.

参考答案

一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 1.选 D.【解析】 x ? 1 ? x ? 1 或 x ? ?1 ，由 A ? B = R ，得 m ? 1 ．
1 ? 2i i

2.选 C.【解析】

? 2 ? i ，其共轭复数为 2 ? i ，即 a ? bi ? 2 ? i ，所以 a ? 2, b ? 1 .

3.选 A.【解析】 a ? 0 ? a 2 ? a ? 0 ；反之 a 2 ? a ? 0 ? a ? 0, 或a ? ?1 ，不能推出 a ? 0 ．
1? x 1? x

4.选 A.【解析】 f ? x ? ? g ( x ) 的定义域为 ? ?1,1? 记 F ( x) ? f ? x ? ? g ( x ) ? log 2
?1

，则

F ( ? x ) ? log 2

? 1? x ? ? log 2 ? ? 1? x ? 1? x ?
1? x

? ? log 2

1? x 1? x

? ? F ( x ) ，故 f

? x ? ? g ( x) 是奇函数.

5.选 D.【解析】函数 g ( x) ? f ( x) ? x ? m 的零点就是方程 f ( x) ? x ? m 的根，作出
x?0 ? x, h( x ) ? f ? x ? ? x ? ? x 的图象，观察它与直线 y ? m 的交点，得知当 m ? 0 时， ?e ? x, x ? 0

或 m ? 1 时有交点，即函数 g ( x) ? f ( x) ? x ? m 有零点. 6.选 A.【解析】由 a1 ? 1 ， a3 ? 5 ，解得 d ? 2 ，再由： S k ? 2 ? S k ? ak ? 2 ? ak ?1

? 2a1 ? (2k ? 1)d ? 4k ? 4 ? 36 ，解得 k ? 8 .
T 2 2?

7.选 B.【解析】 AB ? 5, y A ? yB ? 4 ，所以 x A ? xB ? 3 ，即
?
3

? 3 ，所以 T ?

?

?6，

??

由 f ? x ? ? 2 sin ?
5? 6

??

? ? 2? ? x ? ? ? 过点 ? 2, ?2 ? ，即 2 sin ? ? ? ? ? ?2 ， 0 ? ? ? ? ， ?3 ? ? 3 ? ?? ?3

解得 ? ?

，函数为 f ? x ? ? 2 sin ?

x?

? ? 5? ? 5? ? x? ? 2 k? ? ， ? ，由 2k? ? ? 2 3 6 2 6 ?

解得

6k ? 4 ? x ? 6k ? 1 ，故函数单调递增区间为 ? 6k ? 4, 6k ? 1? ? k ? Z ? .

8.选 B.【解析】依题意 S ? 1 ? 2 ? 22 ? ? ? 2n ? 2 n ?1 ? 1 ，有 2n ?1 ? 1 ? 127 ，故 n ? 6 . 9.选 C.【解析】 （略）. 10.选 B.【解析】双曲线的渐近线为 y ? ? 过点 O ? 0, 0 ? 时， zmin ? 0 .
1 2 x ，抛物线的准线为 x ? 2 ，设 z ? x ? y ，当直线

11.选 D.【解析】易知直线 B2 A2 的方程为 bx ? ay ? ab ? 0 ，直线 B1 F2 的方程为

? 2ac b ? a ? c ? ? bx ? cy ? bc ? 0 ，联立可得 P ? , ? ，又 A2 ? a, 0 ? , B1 ? 0, ?b ? ， a?c ? ?a?c

∴ PB1 ? ?

????

? ? ?2ac ?2ab ? ???? ? a ? a ? c ? ?b ? a ? c ? ? , , ， PA2 ? ? ?， ? a?c ? ? a?c a?c ? ? a?c

???? ???? ? ?2a c ? a ? c ? 2ab ? a ? c ? ? ? 0， ∵ ?B1 PA2 为钝角∴ PA2 ? PB1 ? 0 ，即 2 2 ?a ? c? ?a ? c?
2 2

c ?c? 化 简 得 b ? ac ， a ? c ? ac ， 故 ? ? ? ? 1 ? 0 ， 即 e 2 ? e ? 1 ? 0 ， e ? a ?a?
2 2 2

2

5 ?1 2

或

e?

? 5 ?1 2

，而 0 ? e ? 1 ，所以

5 ?1 2

? e ? 1.

12.选 B.【解析】设 ?ABC 中， a, b, c 分别是 ?A, ?B, ?C 所对的边，由

? CA ? CB ? ? AB ? 5

??? ?

??? ?

??? ?

? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? 3 ??? 2 ? 3 ??? 2 AB 得 CA ? AB ? CB ? AB ? AB 5
3 5
2

即 bc cos ?? ? A ? ? ac cos B ?
a ?c ?b
2 2

c ，∴ a cos B ? b cos A ?
2

3 5

c

2

∴a?

?b?

b ?c ?a
2 2

?

3 5

c ，即 a ? b ?
2 2

3 5

c ，
2

2ac

2bc
2 2

c ?c sin A cos B a a ?c ?b 2ac 5 ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? 4. ∴ 2 2 2 2 3 2 tan B sin B cos A b b ? c ? a b ?c ?a 2 ? c ?c 5 2bc
2 2

a ?c ?b

2 2 2 2

3

tan A

二、填空题：共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.填 68 ． 【解析】设遮住部分的数据为 m ， x =
10 + 20 + 30 + 40 + 50 5
? 由 y = 0.67 x + 54.9 过 ? x, y ? 得 y = 0.67 ? 30 + 54.9 = 75

? 30 ，

∴

62 + m + 75 + 81+ 89 5

= 75 ，故 m ? 68 .

14.填

1 6

． 【解析】平面 A1 BC1 ∥平面 ACD1 ，∴ P 到平面 ACD1 的距离等于平面 A1 BC1 与平面
1 3 3 3 1 2 3 2

ACD1 间的距离，等于

B1 D ?

，而 S ?ACD ?
1

AD1 ? CD1 sin 60? ?

，

∴三棱锥 P ? ACD1 的体积为 ?
3

1

3 2

?

3 3

?

1 6

.

15.填 y ? sin ?

?? ?6

t?

??

? 2? ? ? 【解析】 ?xOA0 ? ，点 A 每秒旋转 ，所以秒旋转 t ， ? ?． 3 12 6 6 3?
?
6 t?

?A0OA ?

?
6

t ， ?xOA ?

?
3

，则 y ? sin ?xOA ? sin ?

?? ?6

t?

??

?. 3?

16.填

a b
2

2

2 2

b ?a

． 【解析】设直线 OA 的方程为 y ? kx ，则直线 OB 的方程为 y ? ?

1 k

x，

? y ? kx 2 2 2 2 2 a b a b k ? 2 2 则点 A ? x1 , y1 ? 满足 ? x 2 y 2 故 x1 ? 2 ， , y1 ? 2 2 2 2 2 b ?a k b ?a k ? 2 ?1 ? 2 b ?a

∴ OA ? x1 ? y1 ?
2 2

2

?1 ? k ? a b
2 2

2

b ?a k
2 2

2

，同理 OB ?

2

?1 ? k ? a b
2 2

2

k b ?a
2 2

2

，

故 OA ? OB ?

2

2

?1 ? k ? a b ?1 ? k ? a b
2 2 2 2 2

2

b ?a k
2 2

2

?

k b ?a
2 2

2

?
2 2 2

a b ?a b ? ? a ? b

4

4 2 2

2

?

2

?

k

?k

2

? 1?

∵

k

2 2

?k

2

? 1?

? k ?
2

1 1 k
2

? ?2

1 4

（当且仅当 k ? ?1 时，取等号）

∴ OA ? OB ?

2

2

4a b

4

4

?b ? a
2

2

?

2

，又 b ? a ? 0 ，故 S ?AOB ?

1 2

OA ? OB 的最小值为

a b
2

2

2 2

b ?a

.

三、解答题：共 6 小题，共 70 分.
? 2 ? d ? 4 ? 2q ? ?? 2 ? 2d ? ? 2q ? 6 ?

17.（Ⅰ）设 ?an ? 的公比为 q ， ?bn ? 的公差为 d ，依题意 ?

?d ? 2 ? d ? ?5 ? ? 解得 ? 1 ，或 ? 3 （舍） q? q?? ? ? ? 2 8 ?

∴ an ? ?

?1? ? ?2?

n?2

， bn ? 2n ；

…6 分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ab ? a2 n
n

?1? ?? ? ?2?

2n?2

，

因为 ab

n

?1? ? 0.001 ? ? ? ?2?

2n?2

? 0.001 ? 2

2 n? 2

? 1000 ，

所以 2n ? 2 ? 10 ，即 n ? 6 ，∴最小的 n 值为 6.

…12 分

18.（Ⅰ）依据条件， ? 服从超几何分布：其中 N ? 15, M ? 5, n ? 3 ， ? 的可能值为 0,1, 2, 3 ，

其分布列为： P ?? ? k ? ?

C5 ? C10
k

3? k

C15

3

? k ? 0,1, 2, 3? .

?
P

0
24 91 45 91

2

3
2 91

20 91

…6 分

（Ⅱ）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为 P ?

5 15

?

1 3

，

一年中空气质量达到一级的天数为? ，则? ~ B ? 360, ? ，∴ E? ? 360 ?
? 3?

?

1?

1 3

? 120 （天）

所以一年中平均有 120 天的空气质量达到一级.

…12 分

19．设正方形 ABCD 的中心为 O ， N 为 AB 的中点， R 为 BC 的中点，分别以 ON ， OR ，
OV 所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴，如图建立空间直角坐标系，

在 Rt ?VOB 中，可得 OV ? 30 ，

则 V 0, 0, 30 , A

?

? ? ?

3, ? 3, 0 , B

?

?

3, 3, 0 ，

?

? 3 ? C ? 3, 3, 0 , D ? 3, ? 3, 0 , M ? , 3, 0 ? , ? 3 ? ? ?

?

?

?

? 3 3 P? , , ? 2 2 ?

? 30 ? 3 3 ,? , ?, Q? ? ? 2 ? 2 2 ? ?

30 ? ?. 2 ? ?

于是 AP ? ? ?
? ?

??? ?

?

3 3 3 , , 2 2

? 30 ? ??? ? , AB ? 0, 2 3, 0 , 2 ? ?

?

?

???? ? 2 3 ? ? ? 3 ? ??? 3 3 AM ? ? ? , 2 3, 0 ? , CQ ? ? ,? , ? ? ? 2 3 2 ? ? ?

30 ? ?. 2 ? ?

（Ⅰ）∵ AP ? CQ ? ? ?
? ?

??? ??? ? ?

?

3 3 3 , , 2 2

30 ? ? 3 3 3 ,? , ??? ? ? 2 2 ? ? 2

30 ? ? ? 0， 2 ? ?

∴ CQ ? AP ，即 CQ ⊥ AP ；

??? ?

??? ?

…6 分

??? ? ?n1 ? AP ? 0 ? a ? 3b ? 10c ? 0 ? ? （Ⅱ）设平面 BAP 的法向量为 n1 ? ? a, b, c ? ，由 ? 得? ??? ? ?n1 ? AB ? 0 ?b ? 0 ? ?

故 n1 ?

?

10, 0,1 ，同理可得平面 APM 的法向量为 n 2 ? ? 3,1, 0 ? ，

?

设二面角 B ? AP ? M 的平面角为 ? ，则 cos ? ?

n1 ? n 2 n1 n 2

?

3 11 11

．

…12 分

20． （Ⅰ）⊙ F 的半径为

4 ?1 4 ?3
2 2

? 1 ，⊙ F 的方程为 ? x ? 1? ? y ? 1 ，
2 2

由题意动圆 M 与⊙ F 及 y 轴都相切，分以下情况： （1）动圆 M 与⊙ F 及 y 轴都相切，但切点不是原点的情况： 作 MH ⊥ y 轴于 H ， MF ? 1 ? MH ， MF ? MH ? 1 ， MF ? MN （ N 则 即 则 是过 M 作直线 x ? ?1 的垂线的垂足） ，则点 M 的轨迹是以 F 为焦点， x ? ?1 为准线的 抛物线． ∴点 M 的轨迹 C 的方程为 y ? 4 x ? x ? 0 ? ；
2

（2）动圆 M 与⊙ F 及 y 轴都相切且仅切于原点的情况： 此时点 M 的轨迹 C 的方程为 y ? 0 ( x ? 0,1) ； …6 分

（Ⅱ）对于（Ⅰ）中（1）的情况：

当不与 x 轴垂直时，直线的方程为 y ? k ? x ? 1? ，由 ?

? y ? k ? x ? 1? ? ? y ? 4x ?
2

得

k x ? ? 2k ? 4 ? x ? k ? 0 ，设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ，则 x1 ? x2 ?
2 2 2 2

2k ? 4
2

k

2

, x1 x2 ? 1

∴ sin ? ? sin ? ?

1 AF

?

1 BF

?

1 x1 ? 1

?

1 x2 ? 1

?

x1 ? x2 ? 2 x1 x2 ? x1 ? x2 ? 1

?

x1 ? x2 ? 2 1 ? x1 ? x2 ? 1

? 1，

当与 x 轴垂直时，也可得 sin ? ? sin ? ? 1 ，

对于（Ⅰ）中（2）的情况不符合题意（即作直线，交 C 于一个点或无数个点，而非两 个交点）. 综上，有 sin ? ? sin ? ? 1 ． …12 分

21． （Ⅰ）∵ f ? ? x ? ?

1 ax

? 1，

∴曲线 y ? f ? x ? 在点 ?1, f ?1? ? 处的切线斜率为 k ? f ? ?1? ?

1 a

?1，

依题意

1 a

? 1 ? 0 ，故 a ? 1 ，∴ f

? x ? ? ln x ? x ，

f ?? x? ?

1 x

?1 ，

当 0 ? x ? 1 时， f ? ? x ? ? 0 ，函数 f ? x ? 单调递增；当 x ? 1 时， f ? ? x ? ? 0 ，函数 f ? x ? 单 调递减；所以函数 f ? x ? 的单调增区间为 ? 0,1? ，减区间为 ?1, ?? ? ； …6 分

（Ⅱ）若 a ? 0 ，因为此时对一切 x ? ? 0,1? ，都有 与题意矛盾，又 a ? 0 ，故 a ? 0 ，由 f ? ? x ? ?

ln x a 1 ax

? 0 ， x ? 1 ? 0 ，所以

ln x a 1 a

? x ?1 ，

? 1 ，令 f ? ? x ? ? 0 ，得 x ?

.

当0 ? x ?

1 a

时， f ? ? x ? ? 0 ，函数 f ? x ? 单调递增；当 x ?
1 a 1 a ln 1 a ? 1 a

1 a

时， f ? ? x ? ? 0 ，函数 f ? x ?

单调递减；所以 f ? x ? 在 x ?

处取得最大值

1 a

ln

1 a

?

1 a

，故对 ?x ? R ? ， f ? x ? ? ?1 恒

成立，当且仅当对 ?a ? R ? ，

? ?1 恒成立．

令

1 a

? t ， g ? t ? ? t ln t ? t ， t ? 0 .

则 g ? ? t ? ? ln t ，当 0 ? t ? 1 时， g ? ? t ? ? 0 ，函数 g ? t ? 单调递减；当 t ? 1 时， g ? ? t ? ? 0 ， 函数 g ? t ? 单调递增； 所以 g ? t ? 在 t ? 1 处取得最小值 ?1 ， 因此， 当且仅当 时，
1 a ln 1 a ? 1 a ? ?1 成立． 1 a

即 ?1， a ?1

故 a 的取值集合为 ?1? ． 22． （Ⅰ）连接 BC ，∵ AB 是 ? O 的直径，∴ ?ACB ? 90? . ∴ ?B ? ?CAB ? 90? ∵ AD ? CE ，∴ ?ACD ? ?DAC ? 90? ， ∵ AC 是弦，且直线 CE 和 ? O 切于点 C ， ∴ ?ACD ? ?B ∴ ?DAC ? ?CAB ，即 AC 平分 ?BAD ； （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ?ABC ? ?ACD ，∴
AC AB ? AD AC

…12 分

…5 分 ，由此得 AC 2 ? AB ? AD .

∵ AB ? 4 AD ，∴ AC 2 ? 4 AD ? AD = 4 AD 2 ? AC ? 2 AD ，于是 ?DAC ? 60? ， 故 ?BAD 的大小为 120? ． 23． （Ⅰ）设曲线 C 上任一点为 ? x, y ? ，则 ? x, 2 y ? 在圆 x ? y ? 4 上，
2 2

…10 分

于是 x 2 ? ? 2 y ? ? 4 即
2

x

2

? y ?1.
2

4

直线 3x ? 2 y ? 8 ? 0 的极坐标方程为 3? cos ? ? 2 ? sin ? ? 8 ? 0 ，将其记作 l0 ，

设直线上任一点为 ? ? , ? ? ，则点 ? ? , ? ? 90? ? 在 l0 上，

于是 3? cos ?? ? 90? ? ? 2 ? sin ?? ? 90? ? ? 8 ? 0 ，即： 3? sin ? ? 2 ? cos ? ? 8 ? 0

故直线的方程为 2 x ? 3 y ? 8 ? 0

…5 分

（Ⅱ）设曲线 C 上任一点为 M ? 2 cos ? , sin ? ? ，

它到直线的距离为 d ?

4 cos ? ? 3sin ? ? 8 2 ?3
2 2

?

5cos ?? ? ? 0 ? ? 8 13

，

其中 ? 0 满足： cos ? 0 ?

4 5

, sin ? 0 ?

3 5

.

∴当 ? ? ? 0 ? ? 时， d max ? 13 .

…10 分

24． （Ⅰ） f ( x) ? x ? 1 ? x ? 2 ? ( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 1 ．

…5 分

（Ⅱ）∵

a ?2
2

?

a ?1?1
2

?

a ?1 ?
2

1 a ?1
2

? 2，

a ?1
2

a ?1
2

∴要使

a ?2
2

成立，需且只需 x ? 1 ? x ? 2 ? 2 ，

a ?1
2

即?

?x ? 1 ?1 ? x ? 2 ? x ? 2

，或 ?

?1 ? x ? 2 ?x ?1? 2 ? x ? 2

，或 ?

?x ? 2 ?x ?1? x ? 2 ? 2

，解得 x ?

1 2

，或 x ?

5 2

故 x 的取值范围是 ? ??, ? ? ? , ?? ? . 2 2
? ? ? ?

?

1?

?5

?

…10 分

以上各题的其他解法，限于篇幅从略，请相应评分．