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高中数学第1章第13课时三角函数模型的简单应用课件新人教A必修4_图文

目标导航 1.会用三角函数解决一些简单实际问题.(重点) 2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.(难点) 1 新知识· 预习探究 知识点 三角函数模型的应用 阅读教材 P60~P64,完成下列问题. (1) 三角函数作为描述现实世界中 周期现象 的一种数学模 型,可以用来研究很多问题,在刻画周期变化的规律、预测其未来 等方面都发挥着重要作用.实际问题通常涉及复杂的数据,因此往 往需要用到 计算器或计算机. (2)实际问题的背景往往比较复杂, 而且需要综合应用多门学科 的知识才能完成,因此在应用数学知识解决实际问题时,不仅要注 意从复杂的实际背景中抽取基本的数学关系,而且还要调动相关学 科知识来解决问题. (3)建立三角函数模型的步骤如下: 【练习】 如图所示,是一机械振动的传播图,图中 E、F、G、 H 四点经过半个周期后达到最高点的是( ) A.E B.F C.G D.H 答案:B 2 新视点· 名师博客 1.用拟合模型解决实际问题 (1)拟合模型的组建 拟合模型的组建是通过对有关变量的观测、数据的观察、分析 和选择恰当的数学表达方式而得到的.它的实质是数据拟合的精度 和表达式简化程度的折中,折中方案的选择取决于实际需要. (2)拟合的主要方法 ①经验拟合:选择规律简单的数学表达式,讨论变量间的内在 规律,允许一定误差. ②插值拟合:要求精确拟合相关数据,即在观测点之间插入适 当的数值. (3)拟合的步骤 ①根据原始数据、表格绘出散点图; ②通过考察散点图,画出“最贴近”的直线或曲线,即拟合直 线或曲线; ③根据所学函数知识,求出拟合直线或拟合曲线的函数解析 式; ④利用函数解析式,根据条件对所给问题进行预测和控制,以 便为决策和管理提供依据. 2.根据函数图象写出解析式 根据图象求 y=Asin(ωx+φ)+b 的解析式时,要明确 A,ω,φ, b 对图象的影响, 其中 b 表示将 y=Asin(ωx+φ)的图象向上(或向下) 平移|b|个单位得到 y=Asin(ωx+φ)+b 的图象.求解时,A,ω,φ, b 的确定可按如下方法: y最大-y最小 y最大+y最小 ①A= ;②b= ;③ω 根据周期来解;④φ 由 2 2 代入特殊点来求,但要注意图象上点与坐标的对应. 3 新课堂· 互动探究 考点一 三角函数在物理学中的应用 例 1 弹簧挂着的小球做上下振动, 它在时间 t(s)内离开平衡位 置 ( 静止时的位置 ) 的距离 h(cm) 由下面的函数关系式表示: h = ? π? 3sin?2t+ ?. 4? ? (1)求小球开始振动的位置; (2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的位置; (3)经过多长时间小球往返振动一次? (4)每秒内小球能往返振动多少次? 分析:(1)小球开始振动即 t=0,代入解析式可得小球开始振动 的位置;(2)考查的实质是振幅,最高点的纵坐标为 3,最低点的纵 坐标为-3,代入可解得相应的横坐标;(3)往返振动一次的时间即 振动的周期,利用周期公式可得解;(4)求每秒内小球往返振动的次 数即求小球振动的频率. π 3 2 解析:(1)令 t=0,得 h=3sin = ,所以开始振动的位置为 4 2 ? 3 2? ? ? . 0 , ? 2 ? ? ? ?π ? π (2)由题意知,t∈[0,2π),当 h=3 时,t= ,即最高点为?8,3?; 8 ? ? ?5π ? 5π 当 h=-3 时,t= ,即最低点为? ,-3?. 8 ?8 ? 2π (3)T= =π≈3.14,即每经过约 3.14 秒小球往返振动一次. 2 1 (4)f= ≈0.318,即每秒内小球往返振动约 0.318 次. T 点评:三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中, 其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多,尤其要弄清振 幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法. 变式探究 1 交流电的电压 E(单位:伏)与时间 t(单位:秒)的 ? π? 关系可用 E=220 3sin?100πt+6?来表示,求: ? ? (1)开始时电压; (2)电压值重复出现一次的时间间隔; (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间. 解析:(1)当 t=0 时,E=110 3(伏), 即开始时的电压为 110 3伏. 2π 1 (2)T= = (秒), 100π 50 即时间间隔为 0.02 秒. (3)电压的最大值为 220 3伏, π π 1 当 100πt+ = ,即 t= 秒时第一次取得最大值. 6 2 300 考点二 三角函数模型的建立 例 2 已知,如图所示为电流强度 I 与时间 t 的关系 I=Asin(ωt +φ)在一个周期内的图象. (1)试根据图象写出 I=Asin(ωt+φ)的解析式; 1 (2)为了使 I=Asin(ωt+φ)中 t 在任意一段 秒的时间内电流强 100 度 I 能同时取得最大值|A|与最小值-|A|,那么,正整数 ω 的最小值 是多少? 分析:解答本题可先根据提供的数据求出 T,进而得出 ω,根 ? ? 1 据图象过?-300,0?得出 φ,从而得出函数解析式. ? ? 解析:(1)由图知:A=300. 1 1 1 设 t0=- ,t1= ,t2= , 300 150 60 1 ? 1 ? 1 因为 T=t2-t0= -?-300?= , 60 ? ? 50 2π 所以 ω= =100π. T φ 1 ω π 因为- =- ,所以 φ= = , ω 300 300 3 ? π? 所以 I=300sin?100πt+3?. ? ? 1 2π 1 (2)问题等价于 T≤ ,即 ≤ , 100 ω 100 所以 ω≥200π,所以最小正整数 ω=629. 点评:三角函数解决物理问题的三个关键量 (1)物体运动的初始位置,即初相. (2)完成一次运动需要的时间,即周期. (3)离开平

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