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2016届安徽省合肥一中、芜湖一中等六校教育研究会高三第二次联考(理)数学试题(解析版)

2016 届安徽省合肥一中、芜湖一中等六校教育研究会高三第 二次联考(理)数学试题
一、选择题 1.已知 i 为虚数单位,复数 z 满足 z (1 ? i) ? 1 ? i ,则 z A.1 B.-1 【答案】A C. i D. ?i
2016

?(



【解析】试题分析:因为 z (1 ? i) ? 1 ? i 所以 z ?

1 ? i (1 ? i)(1 ? i) 1 ? 2i ? i 2 ? ? ?i 1 ? i (1 ? i)(1 ? i) 1? i2

所以 z 2016 ? i 2016 ? (i 2 )1008 ? (?1)1008 ? 1 故答案选 A 【考点】复数的运算. 2.设非空集合 P、Q 满足 P ? Q ? P ,则( A. ?x ? Q ,有 x ? P B. ?x ? Q ,有 x ? P C. ?x0 ? Q ,使得 x0 ? P D. ?x0 ? P ,使得 x0 ? Q 【答案】B 【解析】试题分析:因为 P ? Q ? P 所以 P ? Q 所以 ?x ? Q ,有 x ? P 故答案选 B 【考点】集合间的关系. 3.在等差数列 {an } 中, “ a1 ? a3 ”是“数列 {an } 是单调递增数列”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】试题分析:因为数列 {an } 是等差数列 ) )

设数列 {an } 的通项公式 an ? a1 ? (n ?1)d 所以 a3 ? a1 ? 2d 若 a1 ? a3 ,则 a1 ? a1 ? 2d ,所以 d ? 0 ,所以数列 {an } 是单调递增数列; 若数列 {an } 是单调递增数列,则 d ? 0 ,所以 a1 ? a3 所以“ a1 ? a3 ”是“数列 {an } 是单调递增数列”的充要条件 故答案选 C 【考点】等差数列;命题的充分必要性. 4.如图,网格纸上每个正方形小格的边长为 1,图中粗线画出的是某多面体的三视图, 则该几何体的表面中互相垂直的平面有( )对

A.3 B.4 【答案】B

C.5

D.6

CD ? 4 , 【解析】 试题分析: 由三视图得几何体如图所示,AB ? AC ? 2 2 ,BC ? 4 ,
BE ? 2 , CD ? 面 ABC , CD / / BE

由 CD ? 面 ABC , CD / / BE ,所以面 ACD 、面 BCDE 、面 ABE 都与面 ABC 垂直
2 2 2 因为 AB ? AC ? 2 2 , BC ? 4 ,所以 AC ? AB ? BC

所以 AB ? AC 又 CD ? AB 所以 AB ? 面 ACD 所以面 ACD ? 面 ABE 所以该几何体的表面中互相垂直的平面有 4 对 故答案选 B 【考点】三视图;平面与平面垂直的判定.
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5.在 ?ABC 中, A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且 b cos C ? 3a cos B ? c cos B ,

??? ? ??? ? BA ? BC ? 2 ,则 ?ABC 的面积为(
A. 2 【答案】C B.

) D. 4 2

3 2

C. 2 2

【解析】试题分析:因为 b cos C ? 3a cos B ? c cos B 由三角形的正弦定理得 sin B cos C ? 3sin A cos B ? sin C cos B 即 sin B cos C ? sin C cos B ? 3sin A cos B ? sin( B ? C ) ? 3sin A cos B

? sin A ?? 3sin A cos B ? cos B ?
所以 sin B ? 1 ? cos B ? 1 ?
2

1 3

1 2 2 ? 9 3

由 BA ? BC ? 2 ? AB ? BC ? cos B ? 2 ? AB ? BC ? 6

??? ? ??? ?

S?ABC ?

1 1 2 2 AB ? BC ? sin B ? ? 6 ? ?2 2 2 2 3

故答案选 C 【考点】正弦定理;数量积;三角形面积. 6.某程序框图如图所示,若该程序运行后输出 k 的值是 6,则输入的整数 S0 的可能值 为( )

A.5 B.6 【答案】C 【 解

C.8 析 】

D.15 试 题 分 析 :

k ? 0, S ? S0 ? S ? S0 ? 2 ? 2 ? S0 ? 4, k ? 2 ? 2 ? 4

? S ? S0 ? 2 ? 0 ? S0 , k ? 0 ? 2 ? 2

? S ? S0 ? 4 ? 2 ? 4 ? S0 ?12, k ? 4 ? 2 ? 6 , 若 输 出 k ? 6 , 需 S0 ? 1 2? 2且

S0 ? 4 ? 2 ,解得 6 ? S0 ? 14

四个选项中只有 C 满足 故答案选 C 【考点】程序框图的识别. 7.若抛物线 C : y 2 ? 2x cos A (其中角 A 为 ?ABC 的一个内角)的准线过点 ( , 4) , 则 cos2 A ? sin 2 A 的值为( A. ? )

2 5

8 25

B.

8 5

C.

8 25

D.

1? 2 6 25

【答案】A 【解析】试题分析:因为抛物线 C : y 2 ? 2x cos A (其中角 A 为 ?ABC 的一个内角) 的准线过点 ( , 4) 所以抛物线 C : y 2 ? 2x cos A 的准线方程为 x ? 所以

2 5

2 5

cos A 2 4 ? ? ,即 cos A ? ? 2 5 5

3 5 4 3 4 8 cos 2 A ? sin 2 A ? cos 2 A ? 2sin A cos A ? (? ) 2 ? 2 ? ? (? ) ? ? 5 5 5 25 故答案选 A
因为角 A 为 ?ABC 的一个内角,所以 sin A ? 【考点】抛物线;三角恒等变换. 8.在各项均为正数的等比数列 {an } 中, a2 , a4 ? 2, a5 成等差数列, a1 ? 2 , Sn 是数列

{an } 的前 n 项的和,则 S10 ? S4 ? (
A.1008 【答案】B B.2016 C.2032

) D.4032

【解析】试题分析:设等比数列 {an } 的公比为 q 因为 a2 , a4 ? 2, a5 成等差数列 所以 2(a4 ? 2) ? a2 ? a5 ? 2(2q3 ? 2) ? 2q ? 2q4 因为 q ? 0 ,解得 q ? 2 所以 S10 ?

2(1 ? 210 ) 2(1 ? 24 ) ? 2046 , S4 ? ? 30 1? 2 1? 2

S10 ? S4 ? 2046 ? 30 ? 2016
故答案选 B 【考点】等比数列和等差数列.

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x2 y 2 9.已知点 A, B 分别是双曲线 C : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右顶点,点 P 是双曲 a b
线 C 上异于 A, B 的另外一点,且 ?ABP 是顶角为 1200 的等腰三角形,则该双曲线的渐 近线方程为( A. 3x ? y ? 0 C. x ? y ? 0 ) B. x ? 3 y ? 0 D. 2 x ? y ? 0

【答案】C 【解析】试题分析:可设 P 在第一象限中 判断得 ?ABP ? 120? ,则 AB ? BP ? 2a 所以 P(2a, 3a) 把 P(2a, 3a) 代入 C :

x2 y 2 4a 2 3a 2 b ? ? 1( a ? 0, b ? 0) ? 2 ? 1 ,解得 ? 1 得 2 2 2 a a b a b

因为双曲线 C :

x2 y 2 b ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 方程为 y ? ? x 2 a a b

x2 y 2 所以因为双曲线 C : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 方程为 y ? ? x a b
故答案选 C 【考点】双曲线的性质.

A 为球心,2 为半径作一个 10.如图,正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱长为 3 ,以顶点
球,则图中球面与正方体的表面积相交所得到的两段弧之和等于( )

A.

5? 6

B.

2? 3

C. ?

D.

7? 6

【答案】A 【解析】试题分析:由球的性质知,圆弧 GF 是以 B 圆心, 1 为半径的圆上的一段弧, 圆弧 EF 是以 A 圆心, 2 为半径的圆上的一段弧 因为 GB ? BF ,所以圆弧 GF 长等于

1 ? ? ? ? 2 ?1 ? 4 2

? 在 Rt ?ABF 中, AF ? 2, AB ? 3, BF ? 1 ,所以 ?BAF ? 30

同理得 ?B1 AE ? 30?

所以 ?EAF ? 30? 所以圆弧 EF 长等于

30? ? ?? ? 2? 2 ? ? 360 3

所以两段圆弧之和为

?
2

?

?
3

?

5? 6

故答案选 A 【考点】球截面. 【方法点睛】解与球有关的组合体问题的方法,一种是内切,一种是外接.解题时要认 真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面 图,如球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;球 外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径.球与旋 转体的组合,通常作它们的轴截面进行解题,球与多面体的组合,通过多面体的一条侧 棱和球心或“切点”、“接点”作出截面图. 11.已知函数 f ( x) ? loga x( a ? 0 且 a ? 1 )和函数 g ( x ) ? sin 两图象只有 3 个交点,则 a 的取值范围是( )

?
2

x ,若 f ( x) 与 g ( x)

1 9 5 2 1 1 C. ( , ) ? (3,9) 7 2
A. ( ,1) ? (1, ) 【答案】D

1 9 7 2 1 1 D. ( , ) ? (5,9) 7 3
B. (0, ) ? (1, )

【解析】试题分析: f ( x ) 与 g ( x) 的图像如图所示:当 a ? 1 时, f ( x ) 与 g ( x) 两图像 只有 3 个交点,可得 5 ? a ? 9 ; 当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 与 g ( x) 两图像只有 3 个交点,可得

1 1 ?a? 7 3

所以 a 的取值范围是 ( , ) ? (5,9) 故答案选 D 【考点】函数与方程;数形结合. 【方法点睛】在求方程解的个数或者根据解的个数求方程中的字母参数的范围的问题 时,数形结合是基本的解题方法,即把方程分拆为一个等式,使两端都转化为我们所熟

1 1 7 3

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悉 的 函 数 的 解 析 式 , 然 后 构 造 两 个 函 数 y ? f ( x) , y ? g ( x) , 即 把 方 程 写 成

f ( x) ? g ( x) 的形式,这时方程根的个数就是两个函数图象交点的个数,可以根据图象
的变化趋势找到方程中字母参数所满足的各种关系. 12. 如图, 在扇形 OAB 中,?AOB ? 600 ,C 为弧 AB 上且与 A, B 不重合的一个动点, 且 OC ? xOA ? yOB , 若 u ?x ? ? ( y ( ? ? 0 )存在最大值,则 ? 的取值范围为

??? ?

??? ?

??? ?



A. (1,3)

B. ( ,3)

1 3

C. ( ,1)

1 2

D. ( , 2)

1 2

【答案】D 【解析】试题分析:设扇形所在圆的半径为 1,以 OB 所在的直线为 x 轴, O 为原点建 立平面直角坐标系, 设 ?COB ? ? (? ? (0,

?

1 3 )) ,则 C (cos ? ,sin ? ), B(1,0), A( , ) ,由题意可得 3 2 2

2 1 ? ? sin ? cos ? ? x ? y ? x ? ? 1 3 2 3 ? ? (cos ? ,sin ? ) ? x(1, 0) ? y( , ) ? ? ?? 2 2 ? sin ? ? 3 y ? y ? cos ? ? sin ? ? ? 3 ? 2 ?
令 f (? ) ? u ? x ? ? y ?

2?? ? sin ? ? ? cos ? ,? ? (0, ) 3 3 2?? ? cos ? ? ? sin ? 在 ? ? (0, ) 3 3

则 f (? ) 在 ? ? (0, ) 上不是单调函数,从而 f ?(? ) ?

?

3

上一定有零点 即 tan ? ?

2?? 2?? ? ? (0, 3) 在 ? ? (0, ) 时有解,可得 3 3? 3?

1 2 故答案选 D

解得 ? ? ( , 2) ,经检验此时 f (? ) 取得最大值

【考点】平面向量的坐标运算;函数的性质;函数的零点. 【方法点睛】解此题首先把已知条件坐标化,这是我们解决平面向量中最值问题的常用 手段,其次在把问题转化为方程有解的问题,这个是解决这道问题的关键点,同时本题 也极易忽略验证在函数零点处函数是不是取得最大值.

二、填空题

13.设 a ?

?

2

1

1 (3x 2 ? 2 x)dx ,则二项式 ( ax 2 ? )6 展开式中的第 4 项为 x



【答案】 ?1280 x3 【解析】试题分析: a ?

?

2

1

?2 3 2 3 2 (3x2 ? 2 x)dx ? ( x3 ? x2 ) |x x ?1 ? (2 ? 2 ) ? (1 ? 1 ) ? 4

2 6 2 6 所以二项式 ( ax ? ) 即为二项式 (4 x ? ) , r 2 6?r r r 6?r r 12 ?3 r 其展开式的通项 Tr ?1 ? C6 (4 x ) ( ? ) ? C6 4 ( ?1) x

1 x

1 x

1 x

令r ? 3
3 6?3 所以 T4 ? C6 4 (?1)3 x12?3?3 ? ?1280x3

故答案为 ?1280 x3 【考点】二项式. 14.若 Sn 是数列 {an } 的前 n 项的和,且 Sn ? ?n2 ? 6n ? 7 ,则数列 {an } 的最大项的值 为 . 【答案】 12 【解析】试题分析:当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? ?12 ? 6 ?1 ? 7 ? 12 当 n ? 2 时 , an ? Sn ? Sn?1 ? ?n2 ? 6n ? 7 ? [?(n ?1)2 ? 6(n ?1) ? 7] ? 7 ? 2n ? 3 当

n ? 2 时取等号
所以数列 {an } 的最大项的值为 12 故答案为 12 【考点】数列的通项公式.

?x ? y ? 2 ? 0 ? 2 2 15.过平面区域 ? y ? 2 ? 0 内一点 P 作圆 O : x ? y ? 1 的两条切线,切点分别为 ?x ? y ? 2 ? 0 ?
A, B ,记 ?APB ? ? ,则当 ? 最小时 cos? 的值为
【答案】 .

9 10

【解析】试题分析:由 ?APB ? ? ,则 ?OPA ? 在 Rt ?OAP 中, sin ?OPA ?

?
2

OA 1 ? OP OP 当 OP 最大时, ?OPA 就最小,则 ?APB ? ? 也最小

?x ? y ? 2 ? 0 ? 如图阴影部分为不等式组 ? y ? 2 ? 0 表示的区域 ?x ? y ? 2 ? 0 ?
显然 OE 两点的距离最大

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所以 OPmax ? OE ? 此时 sin ?OPA ?

(?4) 2 ? (?2) 2 ? 2 5

1 2 5

,即 sin

?
2

?

1 2 5

2 由 cos ? ? 1 ? 2sin

?
2

所以 cos ? ? 1 ? 2(

1 2 5

)2 ?

9 10

故答案为

9 10

【考点】线性规划. 【方法点睛】对线性规划问题,先作出可行域,在作出目标函数,利用 z 的几何意义, 结合可行域即可找出取最值的点,通过解方程组即可求出做最优解,代入目标函数,求 出最值,要熟悉相关公式,确定目标函数的意义是解决最优化问题的关键,目标函数常 有距离型、直线型和斜率型.
2 ? ? a ? ab, a ? b b 16. 对于实数 a 和 , 定义运算 “” :a * b ? ? 2 , 设 f( x) ? ( 2 x1 ) * ? ( 1 )x ? ? ?b ? ab, a ? b



且关于 x 的方程为 f ( x) ? m(m ? R) 恰有三个互不相等的实数根 x1 , x2 , x3 ,则 x1x2x3 的 取值范围是 【答案】 ( .

1? 3 , 0) 16

【解析】试题分析:

? 2 x 2 ? x, x ? 0 由所给的新定义的含义可得 f ( x) ? ? 2 ?? x ? x, x ? 0
如图所示,要使方程 f ( x) ? m( m ? R) 恰有三个互不相等的实数根 x1 , x2 , x3 ,需满足

1 m ? (0, ) 4
2 当 x ? 0 时, x2 , x3 是方程 f ( x) ? m 即 x ? x ? m ? 0 的两个根,所以 x2 x3 ? m

当 x ? 0 时, x1 是方程 f ( x) ? m 即 2 x 2 ? x ? m ? 0 的根,所以 x1 ?

1 ? 1 ? 8m 4

所以 x1 x2 x3 ?

1 1 ? 1 ? 8m ? m , m ? (0, ) 4 4

令 h( x ) ?

1 1 ? 1 ? 8x ? x , x ? (0, ) 4 4

令 1 ? 8 x ? t ? (1, 3) ? x ?

t 2 ?1 (t ? (1, 3)) 8

1 ? t t 2 ?1 1 ? ? (?t 3 ? t 2 ? t ? 1) , t ? (1, 3) 所以 h(t ) ? 4 8 32
1 (?3t 2 ? 2t ? 1) 32 1 令 h?(t ) ? 0 ,解得 ? ? t ? 1 3
则 h?(t ) ? 因为 t ? (1, 3) ,所以 h(t ) 在 t ? (1, 3) 单调递减 所以 h( 3) ? h(t ) ? h(1)

h( 3) ?
h(1) ? 0

1 ? 3 3 ?1 1 ? 3 ? ? 4 8 16

所以

1? 3 ? h(t ) ? 0 16 1? 3 , 0) 16

所以 x1 x2 x3 的取值范围为 (

故答案为 (

1? 3 , 0) 16

【考点】新定义的函数问题;分段函数;函数与方程.
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【方法定睛】本题是一道新定义题,通过这道题发现,新定义问题并不神秘,表面上是 没有见过的问题,但是只要理解了新定义并紧扣新定义,抓住新定义本质特征或隐含的 规律,或抓住新定义运算法则或顺序,就可将其转化为我们熟悉的问题. 三、解答题 17.已知函数 f ( x) ? 2 cos(2 x ?

?
3

) ? 2 cos x ? 1 .

(1)试将函数 f ( x ) 化为 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ? B(? ? 0) 的形式,并求该函数的对称 中心; (2)若锐角 ?ABC 中角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,且 f ( A) ?0 ,求 值范围. 【答案】 (1) f ( x) ? ?2sin(2 x ?

b 的取 c

?
6

) ? 1 , (?

?
12

?

k? 1 ,1)(k ? Z ) ; (2) ( , 2) . 2 2

【 解 析 】 试 题 分 析 :( 1 ) 利 用 三 角 函 数 的 和 差 公 式 f ( x ) 化 简 得

f ( x) ? ? 3sin 2x ? cos 2x ?1 , 再 由 三 角 函 数 的 和 差 公 式 的 逆 运 用 得
f ( x) ? ?2sin(2 x ?

?
6

) ? 1 ,令 2 x ?

?
?
6 3

? k? (k ? Z ) ,即可求得函数对称中心.
, 即 得 B?C ?

( 2 ) 由 f ( A) ? 0 解 得 A ?

2? , 由 正 弦 定 理 3

b sin B ? ? c sin C

sin(

2? ? C) 3 1 3 ? ? , sin C 2 tan C 2

又 ?ABC 为锐角三角形, 故 的取值范围即可.

?
6

?C ?

?
2

, 在

?
6

?C ?

?
2

范围内, 求函数

b 3 1 ? ? c 2 tan C 2

试题解析: (1)由条件得 f ( x) ? 2 cos(2 x ?

?
3

) ? 2 cos 2 x ? 1

? ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? ?2sin(2 x ? ) ? 1 6 ? ? k? ? 由 2 x ? ? k? (k ? Z ) ,解得 x ? ? , 6 12 2 ? k? ? ,1)(k ? Z ) . 于是所求对称中心为 (? 12 2
(2)由 f ( A) ? ?2sin(2 A ?

?

?

6

) ?1 ? 0 解得 A ?

?
3

,B?C ?

2? , 3

2? ? C) 3 1 3 ? ? , sin C 2 tan C 2 ? ? 又 ?ABC 为锐角三角形,故 ? C ? , 6 2 b sin B 所以 ? ? c sin C sin(
所以

1 b 3 1 ? ? ? ? 2, 2 c 2 tan C 2

于是

b 1 的取值范围是 ( , 2) . c 2

【考点】三角函数解析式;对称中心;正弦定理. 18. 一种抛硬币游戏的规则是: 抛掷一枚硬币, 每次正面向上得 1 分, 反面向上得 2 分. (1)设抛掷 5 次的得分为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望 E? ; (2)求恰好得到 n(n ? N *) 分的概率. 【答案】 (1)分布列见解析,

15 1 1 n ; (2) [2 ? ( ? ) ] . 2 3 2

【解析】试题分析: (1)抛掷 5 次的得分 ? 可能为 5,6,7,8,9,10 ,且正面向上和反面向 上的概率相等,都为

1 i ?5 1 5 ,所以得分 ? 的概率为 P (? ? i ) ? C5 ( ) (i ? 5, 6, 7,8,9,10) , 2 2

即可得分布列和数学期望;

n ? 1 分以后再掷出 (2)令 P n 表示恰好得到 n 分的概率,不出现 n 分的唯一情况是得到
一次反面. ,因为“不出现 n 分”的概率是 1 ? Pn , “恰好得到 n ? 1 分”的概率是 Pn ?1 ,

1 1 2 1 2 , 所以有 1 ? Pn ? Pn ?1 , 即 Pn ? ? ? ( Pn ?1 ? ) , 2 2 3 2 3 2 2 1 2 1 1 ? ? ? ? 为首项,以 ? 为公比的等比数列,即求得恰 所以 {Pn ? } 是以 P 1? 3 3 2 3 6 2
因为 “掷一次出现反面” 的概率是 好得到 n 分的概率.
i ?5 5 试题解析: (1)所抛 5 次得分 ? 的概率为 P (? ? i ) ? C5 ( ) (i ? 5, 6, 7,8,9,10) ,

1 2

其分布列如下

10 15 i ?5 1 5 E? ? ? iC5 ( ) ? 2 2 i ?5

n ? 1 分以后再掷出 (2)令 P n 表示恰好得到 n 分的概率,不出现 n 分的唯一情况是得到
一次反面. 因为“不出现 n 分”的概率是 1 ? Pn , “恰好得到 n ? 1 分”的概率是 Pn ?1 , 因为“掷一次出现反面”的概率是 即 Pn ?

1 1 ,所以有 1 ? Pn ? Pn ?1 , 2 2

2 1 2 ? ? ( Pn ?1 ? ) . 3 2 3 2 2 1 2 1 1 ? ? ? ? 为首项,以 ? 为公比的等比数列. 于是 {Pn ? } 是以 P 1? 3 3 2 3 6 2
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2 1 1 1 1 ? ? (? ) n ?1 ,即 Pn ? [2 ? ( ? ) n ] . 3 6 2 3 2 1 1 n 恰好得到 n 分的概率是 [2 ? ( ? ) ] . 3 2
所以 Pn ? 【考点】等可能事件的概率;分布列和数学期望; “恰好”事件的概率. 19. 如图, 高为 3 的直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, 底面是直三角形,AC ? 2 ,D 为 AC 1 1 的中点, F 在线段 AA1 上, CF ? DB1 ,且 A 1F ? 1 .

(1)求证: CF ? 平面 B1DF ; (2)求平面 B1FC 与平面 AFC 所成的锐角二面角的余弦值.

【答案】 (1)见解析; (2)

6 . 3
2 2 2

【解析】试题分析: (1)连结 CD ,通过勾股定理可求得 | DF | , | CF | , | CD | 的 值,可知 | CD | ?| CF | ? | DF | ,
2 2 2

所以 DF ? CF ,又由条件 CF ? DB1 ,且 D B1 ?D F ? D ,可得证 CF ? 平面 B1DF ; (2) 以 B 点为原点,BA、BC、BB1 分别为 x、y、z 轴建立如图所示空间直角坐标系, 分别求出平面 B1FC 与平面 AFC 的法向量, 利用空间向量求得平面 B1FC 与平面 AFC 所成的锐角二面角的余弦值.
2 2 2 试题解析: (1)证明:连结 CD ,在 Rt ?A 1DF 中, | DF | ?| A 1F | ? | A 1D | ? 2 ,

同理可得: | CF | ? 8 , | CD | ? 10 ,可知 | CD | ?| CF | ? | DF | ,
2 2 2 2 2

因此, DF ? CF ,又由条件 CF ? DB1 ,且 DB1 ? DF ? D , ∴ CF ? 平面 B1DF .

( 2 ) 在直 三棱 柱 ABC ? A1B1C1 中 , 因为 AA1 ? 面 A1B1C1 , 又 B1 D ? CF , 由 于 , DF ? AA 1 ? F

D 是 AC 所以 B1D ? 平面 AC 1 ,可得 B 1B 1C1 为等腰直 1D ? AC 1 1 ,结合 1 1 中点,可知 ?A
角 三 角 形 , ?A1 B1 C1为 直 角 , | A ? | C1 B1? | 1B 1| ,因此可以 B 点为原点, 2

分别为 x、 y、 z 轴建立如图所示空间直角坐标系,所以 B(0, 0, 0), BA 、 BC 、 B 1B

A( 2,0,0) , C(0, 2,0) , B1 (0,0,3) , A1 ( 2,0,3) , C1 (0, 2,3) ,

?? F ( 2,0, 2) ,由(1)知平面 AFC 的法向量为 n1 ? (1,1,0) . ? ??? ? ? ? ? ? n ? CF ? 0 ? 2x ? 2 y ? 2z ? 0 设平面 B1FC 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,则由 ? ? ???? ,得 ? , ? n ? B F ? 0 2 x ? z ? 0 ? ? ? 1 ? ? 令 x ? 1 ,得 n ? (1,3, 2) ,
所 以 平 面 B1CF 与 平 面 ABC 所 成 的 锐 角 二 面 角 的 余 弦 值

? ?? cos ? n, n1 ??

4 6 . ? 3 2 ? 1? 9 ? 2

【考点】直线与平面垂直的判定;空间二面角. 20.已知椭圆具有如下性质:若椭圆的方程为 一点 A( x0 , y0 ) 处的切线方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,则椭圆在其上 a 2 b2

x0 x y0 y ? 2 ? 1 ,试运用该性质解决以下问题:已知椭圆 a2 b

C1 :

x2 x2 ? y 2 ? 1 和椭圆 C2 : ? y 2 ? ? ( ? ? 1, ? 为常数) . 2 4

试卷第 14 页,总 21 页

(1)如图(1) ,点 B 为 C1 在第一象限中的任意一点,过 B 作 C1 的切线 l , l 分别与 x 轴和 y 轴的正半轴交于 C , D 两点,求 ?OCD 面积的最小值; ( 2)如图( 2) ,过椭圆 C2 上任意一点 P 作 C1 的两条切线 PM 和 PN ,切点分别为

M , N ,当点 P 在椭圆 C2 上运动时,是否存在定圆恒与直线 MN 相切?若存在,求出
圆的方程;若不存在,请说明理由. 【答案】 (1)

1 2 2 2 ; (2)存在, x ? y ? . ? 2 x2 x ? y2 y ? 1 , 2

【解析】 试题分析: (1) 设 B( x2 , y2 ) , 则椭圆 C1 在点 B 处的切线方程为 令 x ? 0, yD ?

2 1 1 ,令 y ? 0, xC ? ,所以 S?OCD ? ,又点 B 在椭圆的第一象限 x2 y2 x2 y2
2 x2 2 ? y2 ? 1 ,两式联立即可求得 ?OCD 面积的最小值; 2

上,所以 x2 ? 0, y2 ? 0,

(2)解决“是否存在定圆恒与直线 MN 相切”这个问题,只要先求得直线 MN 的方程, 在判断是否存在某点到直线 MN 的距离是定值即可 试题解析: (1)设 B( x2 , y2 ) ,则椭圆 C1 在点 B 处的切线方程为 令 x ? 0, yD ?

x2 x ? y2 y ? 1 2

2 1 1 ,令 y ? 0, xC ? ,所以 S?OCD ? x2 y2 x2 y2
2 x2 2 ? y2 ?1 2

又点 B 在椭圆的第一象限上,所以 x2 ? 0, y2 ? 0,
2 x2 x2 2 2 ? y2 ? 2 2 y2 ? 2 x2 y2 2 2

∴1 ?

∴ S?OCD ?

x2 1 1 2 2 ,当且仅当 2 ? y2 ? x2 ? 2 y2 ? 1 ? ? 2 x2 y2 2 2
2 2 . ) 时,三角形 OCD 的面积的最小值为 2 2

所以当 B (1,

x3 x ? y3 y ? 1 2 x x 又 PM 过点 P(m, n) ,所以 3 m ? y3 n ? 1 ,同理点 N ( x4 , y4 ) 也满足 4 m ? y4 n ? 1 2 2 x x 所以 M , N 都在 m ? yn ? 1 上,即直线 MN 的方程为 m ? yn ? 1 ,又 P(m, n) 在 C2 2 2
(2)设 P(m, n) ,则椭圆 C1 在点 M ( x3 , y3 ) 处的切线为: 上,

m2 ? n2 ? ? , 4

故原点 O 到直线 MN 的距离为: d ?

1 m2 ? n2 4

?

1

?



2 2 所以直线 MN 始终与圆 x ? y ?

1

?

相切.

【考点】直线与椭圆的位置关系;定值问题;面积最值问题. 【方法点睛】圆锥曲线中求最值常见的解法有两种:①几何法,若题目的条件和结论能 明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决;②代数法,若题目的条件和结 论能体现一种明确的函数关系,则可先建立起目标函数,再求这个函数的最值.求定值 问题常见的方法有两种: (1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关. (2) 直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值. 21.已知 f ( x) ? ln x ? x ? 1 ( x ? R? ) , g ( x) ? mx ? 1(m ? 0) . (1)判断函数 y ? f ( x) 的单调性,给出你的结论; (2)讨论函数 y ? f ( x) 的图象与直线 g ( x) ? mx ? 1(m ? 0) 公共点的个数; ( 3 ) 若 数 列 {an } 的 各 项 均 为 正 数 , a1 ? 1 , 在 m ? 2 时 ,

an?1 ? ( f

n

a) ?

g ( na ? )

2 ? (n ,求证: N* ) an ? 2n ?1 .

【答案】 ( 1 )函数 y ? f ( x) 在 (0,1) 上是增函数,在 (1, ?? ) 上是减函数; ( 2 )①当

0 ? m ? e ? 1时,函数 y ? f ( x) 的图象与直线 g ( x) 有 2 个公共点;②当 m ? e ? 1 时,
函数 y ? f ( x) 的图象与直线 g ( x) 有 1 个公共点;③当 m ? e ? 1 时,函数 y ? f ( x) 的 图象与直线 g ( x) 有 0 个公共点; (3)见解析 【解析】试题分析: (1)易知函数 y ? f ( x) 的定义域为 (0, ??) ,通过导函数 f ?( x ) 即 可求得单调性; (2) 当 x ? 0 时, 函数 y ? f ( x) 的图象与直线 g ( x) ? mx ? 1(m ? 0) 公共点的个数等价 于y?

ln x ? 2 ? 1 与直线 y ? m( m ? 0) 公共点的个数,通过数形结合的方法即可求得 x

公共点个数;

试卷第 16 页,总 21 页

( 3 ) 由 题 意 , 正 项 数 列 {an } 满 足 : a1 ? 1, an?1 ? ln an ? an ? 2 , 由 ( 1 ) 知 :

f ( x) ? ln x ? x ? 1 ? f (1) ? 0 ,即有不等式 ln x ? x ? 1( x ? 0) ,由已知条件知 an ? 0 ,

an?1 ? ln an ? an ? 2 ? an ?1 ? an ? 2 ? 2an ? 1,
故 an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) ,即 0 ?

an?1 ? 1 ? 2 ,累乘即可得证. an?2 ? 1

0?

an ? 1 a ?1 ? 2 ,以上格式相乘得: 0 ? n ? 2n ?1 ,又 a1 ? 1 ,故 an ? 1 ? 2n ,即 an?1 ? 1 a1 ? 1

an ? 2n ?1 ,
对 n ? 1 也成立,所以有 an ? 2n ?1(n ? N*)(*) .
' 试题解析: (1)求导 f ( x) ?

1 1? x ?1 ? ,由 f ' ( x) ? 0 得 x ? 1 . x x

当 x ? (0,1) 时, f ' ( x) ? 0 ;当 x ? (1, ??) 时, f ' ( x) ? 0 , 所以函数 y ? f ( x) 在 (0,1) 上是增函数,在 (1, ??) 上是减函数. (2) 当 x ? 0 时, 函数 y ? f ( x) 的图象与直线 g ( x) ? mx ? 1(m ? 0) 公共点的个数等价

ln x ? 2 ? 1 与直线 y ? m(m ? 0) 公共点的个数. x ln x ? 2 1 ? ln x ' 1 ? 1 ,则 h' ( x) ? ? 令 h( x ) ? ,所以 h ( ) ? 0 . 2 x x e 1 1 ' 当 x ? (0, ) 时, h ( x) ? 0 , h( x) 在 (0, ) 上是增函数; e e 1 1 ' 当 x ? ( , ??) 时, h ( x) ? 0 , h( x) 在 ( , ??) 上是减函数. e e 1 所以, h( x) 在 (0, ??) 上的最大值为 h( ) ? e ? 1 ? 0 , e 1 4 2 且 h( 2 ) ? ?1 ? 0 , h(e ) ? 2 ? 1 ? 0 , e e
于曲线 y ?

如图:于是

①当 0 ? m ? e ? 1时, 函数 y ? f ( x) 的图象与直线 g ( x) ? mx ? 1(m ? 0) 有 2 个公共点; ②当 m ? e ? 1 时,函数 y ? f ( x) 的图象与直线 g ( x) ? mx ? 1(m ? 0) 有 1 个公共点; ③当 m ? e ? 1 时,函数 y ? f ( x) 的图象与直线 g ( x) ? mx ? 1(m ? 0) 有 0 个公共点. (3)由题意,正项数列 {an } 满足: a1 ? 1, an?1 ? ln an ? an ? 2 由(1)知: f ( x) ? ln x ? x ? 1 ? f (1) ? 0 ,即有不等式 ln x ? x ? 1( x ? 0) 由已知条件知 an ? 0 , an?1 ? ln an ? an ? 2 ? an ?1 ? an ? 2 ? 2an ? 1, 故 an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) , 所 以 当 n ? 2 时 , 0 ?

a ?1 a2 ? 1 ?2 , 0? 3 ?2 ,?, a1 ? 1 a2 ? 1

0?

an?1 ? 1 ? 2, an?2 ? 1 an ? 1 a ?1 ? 2 ,以上格式相乘得: 0 ? n ? 2n ?1 ,又 a1 ? 1 ,故 an ? 1 ? 2n ,即 an?1 ? 1 a1 ? 1

0?

an ? 2n ?1 ,
对 n ? 1 也成立,所以有 an ? 2n ?1(n ? N*)(*) . 【考点】导函数的应用;函数的零点个数;函数与数列;数列与不等式. 【方法点睛】与数列有关的不等式的命题常用的方法有:比较法(作差作商) 、放缩法、 利用函数的单调性、数学归纳法证明,其中利用不等式放缩证明是一个热点,常常出现 在高考的压轴题中,是历年命题的热点.这类题目技巧性比较强,需要平时一定量的训 练与积累,在后续复习时应予以关注. 22.选修 4-1:几何证明选讲 如图所示,已知圆 O 的半径长为 4 ,两条弦 AC , BD 相交于点 E ,若 BD ? 4 3 ,

BE ? DE , E 为 AC 的中点, AB ? 2 AE .

(1)求证: AC 平分 ?BCD ; (2)求 ? ADB 的度数. 【答案】 (1)见解析; (2) 30 .
试卷第 18 页,总 21 页
0

【解析】试题分析: (1)通过证明 ?ABE ∽ ?ACB ,所以得证 ?ABE ? ?ACB ,又因 为 ?ACD ? ?ABE 所以 ?ACD ? ?ACB ,即证 AC 平分 ?BCD ; (2)连接 OA ,由点 A 是弧 BAD 的中点,则 OA ? BD ,设垂足为点 F ,则点 F 为弦

BD 的中点, BF ? 2 3 ,在 Rt ?OFB 中,利用锐角三角函数即可求得 ?AOB ,因为

?ADB ?

1 ?AOB ,即求得 ?ADB 的值. 2

试题解析: (1)由 E 为 AC 的中点, AB ?

2 AE 得

AB AC ? 2? AE AB ? BAE ? ? CAB 又 ∴ ?ABE ∽ ?ACB ∴ ?ABE ? ?ACB 又 ?ACD ? ?ABE ∴ ?ACD ? ?ACB 故 AC 平分 ?BCD (2)连接 OA ,由点 A 是弧 BAD 的中点,则 OA ? BD ,
设垂足为点 F ,则点 F 为弦 BD 的中点, BF ? 2 3 , 连接 OB ,则 OF ? OB ? BF ?
2 2

42 ? (2 3) 2 ? 2 ,

∴ cos ?AOB ? ∴ ?ADB ?

OF 2 1 ? ? , ?AOB ? 600 . OB 4 2

1 ?AOB ? 300 . 2

【考点】三角形相似;有关圆的证明和计算. 23.选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程为 ?

? ? x ? 2 cos ? (其中 ? 为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的 y ? 3 sin ? ? ?

正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? cos ? ? ? sin ? ? 1 ? 0 . (1)分别写出曲线 C1 与曲线 C2 的普通方程; (2)若曲线 C1 与曲线 C2 交于 A, B 两点,求线段 AB 的长.

x2 y 2 24 【答案】 (1) C1 : (2) . ? ? 1 , C2 : x ? y ? 1 ? 0 ; 7 4 3
【解析】试题分析: (1)利用同角三角函数关系消去参数 ? ,得曲线 C1 : 利用 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? ,得曲线 C2 : x ? y ? 1 ? 0 ; (2)把曲线 C2 : x ? y ? 1 ? 0 和曲线 C1 : 结合弦长公式即可求得弦 AB 的长.

x2 y 2 ? ? 1, 4 3

x2 y 2 ? ? 1 联立消去 y 得 7 x 2 ? 8 x ? 8 ? 0 , 4 3

x2 y 2 ? ? 1, 试题解析: (1)曲线 C1 : 4 3
曲线 C2 : x ? y ? 1 ? 0 .

?x ? y ?1 ? 0 ? 2 (2)联立 ? x 2 y 2 ,得 7 x ? 8 x ? 8 ? 0 , ?1 ? ? 3 ? 4
8 8 , x1 x2 ? ? , 7 7 24 于是 | AB |? 1 ? 1 | x1 ? x2 |? 2 ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? . 7 24 故线段 AB 的长为 . 7
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ? 【考点】参数方程;极坐标方程;直线与圆锥曲线的位置关系. 24.选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| . (1)求不等式 f ( x) ? 2 ; ( 2 )若函数 g ( x) ? f ( x) ? f ( x ? 1) 的最小值为 a ,且 m ? n ? a( m ? 0, n ? 0),求

m2 ? 2 n 2 ? 1 ? 的最小值. m n
【答案】 (1) ( ?

1 3 7?2 2 , ); (2) . 2 2 2

【解析】试题分析: (1)由 f ( x) ? 2 知 | 2 x ? 1|? 2 ,于是 ?2 ? 2 x ? 1 ? 2 ,即解得不 等式 f ( x) ? 2 的解集; . ( 2 )由绝对值不等式得 | 2 x ? 1| ? | 2 x ? 3 |?| 2 x ? 1 ? (2 x ? 3) |? 2 ,即得 a ? 2 ,故

试卷第 20 页,总 21 页

m2 ? 2 n 2 ? 1 2 1 2 1 2 1 m?n ? 2, ? ? m ? n ? ? ? 2 ? ? ,即只需求得 ? 的最小 m n m n m n m n
值即可,结合 m ? n ? 2 利用基本不等式求得最小值. 试题解析: (1)由 f ( x) ?2 知 | 2 x ? 1|? 2 ,于是 ?2 ? 2 x ? 1 ? 2 ,解得 ? 故不等式 f ( x) ? 2 的解集为 ( ?

1 3 ?x? , 2 2

1 3 , ). 2 2 1 3 2 2

(2)由条件得 g ( x) ?| 2 x ? 1| ? | 2 x ? 3 |?| 2 x ? 1 ? (2 x ? 3) |? 2 ,当且仅当 x ? [ , ] 时,其最小值 a ? 2 , 即m?n ? 2. 又

2 1 1 2 1 1 2n m 1 ? ? (m ? n)( ? ) ? (3 ? ? ) ? (3 ? 2 2) , m n 2 m n 2 m n 2

所以

m2 ? 2 n 2 ? 1 2 1 1 7?2 2 , ? ? m ? n ? ? ? 2 ? (3 ? 2 2) ? m n m n 2 2



m2 ? 2 n 2 ? 1 7?2 2 ? 的最小值为 ,此时 m ? 4 ? 2 2 , n ? 2 2 ? 2 . m n 2

【考点】绝对值不等式;基本不等式.


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