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第21讲三角形的相关概念


三角形的相关概念

中考要求
1.了解三角形有关概念(内角、外角、中线、 高、角平分线),会画出任意三角形的角平分 线、中线和高,了解三角形的稳定性。 2.探索三角形中位线的性质。
3.了解等腰三角形的有关概念,探索并掌握等 腰三角形的性质和一个三角形是等腰三角形的 条件;了解等边三角形的概念及性质。 4.了解直角三角形的概念,探索并掌握直角三 角形的性质和一个三角形是直角三角形的条件。

考点一 首尾顺次相接 所围成的平面图形, 1.由三条线段__________ 叫做三角形. 不等边三角形 等腰三角形 2.三角形按边可分为: _________和_______ ; 锐角三角形 、________ 钝角三角形和________ 直角三角形. 按角可分为________

考点二 三角形的性质
180° 1.三角形的内角和是____ ,三角形的外角等于与 不相邻 的两个内角的和,三角形的外角大于任何一 它_____ 个和它不相邻的内角,三角形外角和是 360° . 小于 大于 第三边,两边之差____ 2.三角形的两边之和____ 第三边. 3.三角形中的重要线段 (1)角平分线:三角形的三条角平分线交于一点,这 点叫做三角形的内心,它到三角形各边的距离相等. (2)中线:三角形的三条中线交于一点,这点叫做三 角形的重心. (3)高:三角形的三条高交于一点,这点叫做三角形 的垂心.

(4)三边垂直平分线:三角形的三边垂直平分线交 于一点,这点叫做三角形的外心,外心到三角形三 个顶点距离相等. (5)中位线:三角形中位线平行于第三边且等于第 三边的一半.

考点三 等腰三角形 1.概念及分类 两边相等的三角形叫等腰三角形;有三边相等 有_______ _______的三角形叫 腰和底不相等 做等边三角形,也叫正三角形;等腰三角形分为_________ 腰和底相等的等腰三角形. 的等腰三角形和_________ 2.等腰三角形的性质 (1)等腰三角形两腰相等;等腰三角形的两个底角相等; (2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合, 简称“三线合一”; (3)等腰(非等边)三角形是轴对称图形,它有一条对称轴. 3.等腰三角形的判定 (1)有两条边相等的三角形是等腰三角形; (2)有两角相等的三角形是等腰三角形.(等角对等边)

考点四 等边三角形的性质与判定 1.性质:①等边三角形的内角都相等,且等于60°; ②等边三角形是轴对称图形,等边三角形每条边上的 中线、高和所对角的平分线都“三线合一”,它们所 在的直线都是等边三角形的对称轴. 2.判定:三个角相等的三角形是等边三角形;有一 个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 考点五 线段的中垂线 1.概念:垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段 的垂直平分线,也叫中垂线. 2.性质:线段中垂线上的点到这条线段两端点的距 离相等. 3.判定:到一条线段的两个端点距离相等的点在中 垂线上,线段的中垂线可以看作是到线段两端点距离相 等的点的集合.

考点六 直角三角形的性质、判定 1.性质 互余 ; (1)直角三角形的两个锐角 ____ 2 2 2 ? b ? c 在Rt△ABC中,∠C=90°); a_______( (2)勾股定理: (3)在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么 它所对的直角边等于斜边的____ 一半; (4)在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半, 30° ; 那么这条直角边所对的锐角为_____ 斜边上的中线等于斜边的一半. (5)直角三角形____ 2.判定 90° (1)有一个角是___ 的三角形是直角三角形; (2)勾股定理的逆定理; (3)如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那 直角 么这个三角形为 ___ 三角形; 直角三角形. (4)有两个角互余的三角形是____

(1)(2010·山西)现在四根木棒,长度分别为4 cm、6 cm、 8 cm、10 cm,从中任取三根木棒,能组成三角形的个数 为( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
(2)(2009·锦州)如图,∠BDC =98°,∠C=38°,∠B= 23°,∠A的度数是( ) A.61° B.60° C.37° D.39°
例1(2)题

(3)(2010· 昆明)如图,在△ABC 中,CD是∠ACB的平分线, ∠A=80°,∠ACB=60°, 那么∠BDC=( ) A.80° B.90° C.100° D.110°

例1(3)题

(4)(2010· 广州)在△ABC中,D、E分别是边AB、 AC的中点,若BC=5,则DE的长是( ) A.2.5 B.5 C.10 D.15 (5)(2010· 济宁)若一个三角形三个内角度数的比为 2∶3∶4,那么这个三角形是( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形

(1)(2010·江西)已知等腰三角形的两条边长分别是7和3, 则第三条边的长是( ) A.8 B.7 C.4 D.3 (2)(2010· 东阳)已知等腰三角形的一个内角为40°,则这 个等腰三角形的顶角为( ) A.40° B.100° C.40°或100° D.70°或50°

(3)(2010·烟台)如图,在等腰三角形 ABC中,AB=AC,∠A=20°.线段 AB的垂直平分线交AB于D,交AC于E, 连结BE,则∠CBE等于( ) A.80° B.70° C.60 D.50°
例1(3)题

(4)(2010·宁波)如图,在△ABC中 ,AB=AC,∠A=36°,BD、CE分 别是△ABC、△BCD的角平分线,则 图中的等腰三角形有( ) A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
例2(4)题

【点拨】本组题主要考查等腰三角形的有关性质和判定. 【解答】(1)根据“三角形任意两边之和大于第三边” 知腰应为7,该三角形三边为7、7、3.故选B. (2)当40°为底角时,顶角为100°;40°也可以为顶 角.故选C. (3)∵DE垂直平分AB,∴EA=EB,∴∠EBD=∠A= 20°.∵∠A=20°,AB=AC,∴∠ABC=∠C=80°, ∴∠CBE=80°-20°=60°,故选C. (4)等腰三角形分别是△ABC、△ABD、△BCD、 △BCE、△CDE.故选A.

(1)(2010·长沙)下列每一组数据中的三个数值分别为三角 形的三边长,不能构成直角三角形的是( ) A.3、4、5 B.6、8、10 C. 3、2、 5 D.5、12、 13
(2)(2009·济宁)如图,△ABC是等腰直 角三角形,BC是斜边,将△ABP绕点A 逆时针旋转后,能与△ACP′重合,如果 AP=3,那么PP′的长等于( ) A. 3 3 4 2 D. 3 2 B. 2 3 C. 【点拨】本组题考查直角三角形的基础知识和相关性质、判定.

1.下列长度的三条线段能组成三角形的是( ) A.1 cm,2 cm,3.5 cm B.4 cm,5 cm,9 cm C.5 cm,8 cm,15 cm D.6 cm,8 cm,9 cm 2.一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7, 这个三角形一定是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 3.如图,在△ABC中,AC=DC=DB, ∠ACD=100°,则∠B等于( ) A.50° B.40° C.25° D.20°

4.等腰△ABC的两边长分别为2和5,则第三边的长为 5.某等腰三角形的两条边长分别为3 cm和6 cm,则它 的周长为( ) A.9 cm B.12 cm C.15 cm D.12 cm或15 cm
6.已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4,则这 个等腰三角形顶角的度数为( ) A.20° B.120° C.20°或120° D.36° 7.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,则顶 角的度数为( ) A.60° B.120° C.60°或150° D.60°或120°

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8.下面给出的几种三角形:(1)有两个角为60°的三角形; (2)三个外角都相等的三角形;(3)一边上的高也是这边上的 中线的等腰三角形;(4)有一个角为60°的等腰三角形.其 中一定是等边三角形的有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 9.如图,△ABC内有一点D,且DA=DB =DC,若∠DAB=20°,∠DAC=30°, 则∠BDC的大小是( ) A.100° B.80° C.70° D.50° 10.如图,在边长为4的正三角形 ABC中,AD⊥BC于点D,以AD为 一边向右作正三角形ADE. (1)求△ABC的面积S; (2)判断AC、DE的位置关系,并 给出证明.

11.如图,将三角尺的直 角顶点放在直尺的一边上, ∠1=30°,∠2=50°,则 ∠3的度数等于( ) A.50° C.20° B.30° D.15°

12.利用图①或图②两个图 形中的有关面积的等量关系 都能证明数学中一个十分著 名的定理,这个定理称为勾 股定理,该定理的数学表达 2 2 2 ? ? 式是________ a b c.

13.如图,点P是∠AOB的角平分线上的一 点,过P作PC∥OA,交OB于点C,若 ∠AOB=60°,OC=4,则点P到OA的距 离PD等于多少?


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