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重庆南开中学2015届一诊模拟考试 数学(理)试题(无答案)


重庆南开中学高 2015 级一诊模拟考试 数学试题卷(理综类)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 l50 分,考试时间 l20 分钟. 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动, 用橡皮 擦擦干净后,再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效. 5.考试结束后,将试题卷和答题卡一并收回.

第Ⅰ卷(选择题共 50 分)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个备选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.集合 A ? ?? 1,01?,则满足 B ? A 的集合 B 的个数为( A.4 2.复数 z ? B.6 C.7 ) D.8

2i (其中 i 为虚数单位),则 z 的共轭复数 z 的虚部为( ) 1? i A. ? 1 B.1 C. i D. ? i 3 . 设 ?ABC 的 内 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 为 a 、 b 、 c , 且
?A ? 75?,?B ? 45?, ,b ? 6 ,
则边 c = ( A.2 D. 2 ? 3 4.如题(4)图所示程序框图,若输入 N ? 3 ,则输出的 S = ( A. ) D. ) B.3 C.

6

5 4

B. )
2

4 5
2

C.

3 4
2 2

4 3

5.下列说法正确的是(

A.命题“若 x>y ,则 x >y 的否命题为“若 x>y ,则 x ? y ” ;

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B.命题 p : “ ?x>0 , sin x<x ” .则 ?p : “ ?x<0 , sin x ? x ” ; C. “ x<0 ”是“ ln ? x ? 1?<0 ”的必要不充分条件; D.命题 p : f ? x ? ? x sin x 为奇函数,命题 q : f ? x ? ? cos x ? 1 为偶函数,则“ p ? q ” 为假命题. 6.已知双曲线

x2 y2 ? 2 ? 1 的右焦点与抛物线 y 2 ? 12 x 的焦点重合,则该双曲线的焦点到 4 b
) B. 4 2 C.3 D.5

其渐近线的距离等于( A. 5

7.如题(7)图所示为某空间几何体的三视图, 则该几何体的表面积为( ) B.

11? 2 5? C. ?3 3 2
A.

11? ?6 2 11? D. ?3 3 2

?x ? y ? 2 ? 0 ? 8.若实数 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 ,则 z ? x ? 2 ? y ? 2 的取值范 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
围为( )

4? A. ?2,
2 2

6? B. ?4,

6? C. ?2,

6? D. ?0,

6? 上任取实数 m ,则直线 l: 9.已知圆 C:x ? y ? 2 x ? 4 y ? 11 ? 0 ,在区间 ?? 4,
x ? y ? m ? 0 与圆 C 相交所得 ?ABC 为钝角三角形(其中 A、B 为交点, C 为圆心)的
概率为( A. ) B.

2 5

4 5

C.

8 11
2 2

D.

9 11
)

10.已知实数 a,b,c,d 满足 ab ? c 2 ? d 2 ? 1 ,则 ?a ? c ? ? ?b ? d ? 的最小值为( A. 2 ? 1 B. 3 ? 2 2 C. 2 3 ? 3 D. 2 2 ? 2

第Ⅱ卷(非选择题,共 l00 分)
二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填写在答题卡相应位置上. 11.不等式

x ?1 >2 的解集为 x ?1



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12.已知幂函数 f ? x ? ? m ? m ? 5 x 为定义域是 R 的偶函数,则实数 m ?
2 m

?

?

. .

13.已知 a ? 1, ? 3, b ? 3, 2a ? b ?

?

?

??

?

?

? ? 则向量 a 与 b 的夹角为 37,

14.已知正项等比数列 ?a n ? 满足: a 2015 ? a 2014 ? 2a 2013 ,若存在两项 a m,a n 使得

a m a n ? 4a1 ,则

1 4 ? 的最小值为 m n



15.若函数 f ? x ? ? x 2 ? 2 x ? 2 ? a x ? 1 恰有四个不同的零点,则实数 a 的取值范围 为 .

三.解答睡:本大题 6 个小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(13 分)设 f ? x ? ? x ? a ln x ,其中 a ? R .曲线 y ? f ? x ? 在点 ?1,f ?1?? 处的切线 l 垂
2

直于 y 轴. (Ⅰ)确定 a 的值并求切线 l 的方程; (Ⅱ)求函数 f ? x ? 的单调区间与极值.

17.(13 分)进入秋冬季节以来,热饮受到大众喜爱.某中学校门口一奶茶店为了了解某品 牌热饮的日销售量 y (杯)与当日气温 x (℃)之间的关系,随机统计了某 5 天该品牌 热饮的日销量和当日气温的数据如下表:

利用最小二乘法估计出该组数据满足的回归直线方程为: y ? ?1.5 x ? a ?a ? R ? . (Ⅰ)试预测当气温为 4℃时,该品牌热饮的日销量? (Ⅱ)在已有的五组数据中任取两组,求至少有一组数据其日销量 y 的预测值和实际值之 差 的绝对值不超过 2 的概率.

?

18.(13 分)公差不为 0 的等差数列 ?a n ? 满足: a1 ? 6,a 2,a 6,a14 分别为等比数列 ?bn ?
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的第三、四、五项. (Ⅰ)求数列 ?a n ? 、 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)记数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n , ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,求使得 TK >

SK 的最小 k 值. 2

19.(12 分)已知 a ? ? cos x ? b ? sin ? x ? 4 ?, ?,b ? ? ? cos? x ? 4 ?,cosx ? ? ,函数 f ? x ? ? a· ? ? ? ? ? ? ? ? (Ⅰ)若 a ? ? ?

?

?

?

??

?

?

?

?

??

?

??

3 2 ? ? ?? ,求 cos 2a 的值; , ? 且 f ?a ? ? 10 ? 8 8?

(Ⅱ)将函数 y ? f ? x ? 的图像向左平移

?
4

个单位,再将所得图像上所有点的横坐标缩短为

原来的一半(纵坐标不变),得到函数 y ? g ? x ? 的图像,求函数 g ? x ? 在 x ? ?0, ? 上的值域.

? ?? ? 4?

20.(12 分)如题(20)图,在四棱锥 P ? ABCD 中,

PA ? 底面 ABCD , AB ? AD, AC ? CD, ?ABC ? 60? ,

PA ? AB ? BC ? 4 , E、A 分别是 PC、PD 的中点.
(Ⅰ)证明: PD ? 平面ABE ; (Ⅱ)求三棱锥 P ? BEF 的体积.

x2 2 21.(12 分)已知 A、B 分别为曲线 C: 2 ? y ? 1?a>0 ? 与 x 轴的左、右两个交点, a
直线 l 过点 B 且与 x 轴垂直, P 为 l 上异于点 B 的点,连结 AP 与曲线 C 交于点 M . (Ⅰ)若曲线 C 为圆,且 BP ?

2 3 ,求弦 AM 的长; 3
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(Ⅱ)设 N 是以 BP 为直径的圆与线段 BM 的交点,若 O、N、P 三点共线,求曲线 C 的 方程.

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