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【新】2019河南省辉县市一中高二数学上学期第一次阶段性考试试题培优班理00

辉县市一中 2018——2019 学年上期第一次阶段性考试 高二(培优班)数学试卷
(时间:120 分钟 满分:150 分) 注意事项: 1.答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其它答案标号.不能答在试题卷上. 3.第 II 卷答案要写在答题卷相应位置,写在试卷上无效. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的,请将正确答案的选项涂在答题卡上. ) 1.若命题“ ?? p ? q ? ”为假命题,则下列命题中正确的是 A. p, q 均为真命题 C. p, q 均为假命题 B. p, q 中至少有一个为真命题 D. p, q 中至多有一个为真命题

2.由 a1 ? 2, d ? 3 确定的等差数列 ?an ? ,当 an ? 98 时,序号 n 等于 A.99 C.11 B.33 D.22

3. ?ABC 中,若 sin A sin B ? sin A cos B ? cos A sin B ? cos A cos B ? 2 ,则 ?ABC 是 A.等边三角形 B.钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形 4.已知各项均为正数的等比数列 ?an ? , a1 ? a9 ? 16 则 a2 ? a5 ? a8 的值为 A.16 C.48 B.32 D.64

5.已知 ?ABC 中, AB ? 3, ?A ? 30 , ?B ? 120 ,则 ?ABC 的外接圆的面积为 A. 9? B. 3? C. 12? D. 3?

6. ?ABC 中, a, b, c 分别是内角 A, B, C 所对的边,若 a, b, c 成等比数列,且 c ? 2a ,则

sin B ?
A.

3 5

B.

7 4

C.

3 4

D.

4 5
1

7.设 x ? R ,则“ x ?

1 ”是“ 2 x 2 ? x ? 1 ? 0 ”的 2
B.必要

A.充分而不必要条件 而不充分条件 C.充要必要条件 也不必要条件 8.设 a ? 0, b ? 0 .若 3 是 3a 与 3b 的等比中项,则 A. 3 B.4

D.既不充分

1 1 ? 的最小值为 a b
D.

C.1

1 4

9.已知 p :函数 y ? 2 x?1 的图象关于直线 x=1 对称; q :函数 y ? x ?

数.由它们组成的新命题“ p ? q ”“ p ? q ”“ ? p ”中,真命题的个数为 A.0 C.2
2

1 在 ? 0, ??? 上是增函 x

B.1 D.3

10.不等式 x ? 3 ? x ?1 ? a ? 3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为 A. ? ??, ?1? C. ?1, 2?

?4, ???

B. ? ??, ?2? D. ? ??,1?

?5, ??? ?2, ???

11.已知每项均大于零的数列 ?an ? 中,首项 a1 ? 1 且前 n 项和 Sn 满足

Sn Sn ?1 ? Sn ?1 Sn ? 2 Sn Sn ?1 ( n ? N * 且 n ? 2 ) ,则 a81 ?
A. 638 C. 640
3

B. 639 D. 641

12.设函数 f ? x ? ? ? x ? 3? ? x ? 1 ,数列 ?an ? 是公差不为 0 的等差数列,

f ? a1 ? ? f ? a2 ? ?
A. 0

? f ? a7 ? ? 14 ,则 a1 ? a2 ?
B. 7

? a7 ?
D. 21

C. 14

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13.已知数列 ?an ? 中, a1 ?

1 1 , an ?1 ? 1 ? ,则 a2018 ? 2 an
2



14. 设动点 P 是抛物线 y ? 2 x 则 M 的轨迹方程是

? 1 上任意一点,顶点 A ? 0, ?1? ,点 M 使得 PM ? 2MA ,


2

15.如图,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同 一水平面内的两个测点 C 与 D.现测得

?BCD ?

?
3

, ?BDC ?

?
4

, CD ? 6 ,并在点 C 测得塔


顶 A 的仰角为

? ,则塔高 AB 为 4

16.在三角形 ABC 中, a,b,c 分别是内角 A,B,C 所对 的边,b=c,且满足 b cos A ? a ? a cos B ,若点 O 是三 角 形

ABC







,

?AOB ? ? ? 0 ? ? ? ? ? , OA ? 3, OB ? 2 , 则 平 面 四 边 形 OACB 面 积 的 最 大 值
是 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本题满分 10 分) 在锐角 ?ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,且 3a ? 2c sin A . (1)确定 C 的大小; (2)若 c ?

7 ,且 ?ABC 的周长为 5 ? 7 ,求 ?ABC 的面积.

18. (本题满分 12 分) 已知命题 p : x2 ? 4 x ? 5 ? 0 ,命题 q : x ? 2x ?1 ? m ? 0 ? m ? 0?
2 2

(1)若 p 是 q 的充分条件,求实数 m 的取值范围; (2)若 m ? 5 , p ? q 为真命题, p ? q 为假命题,求实数 x 的取值范围.

19. (本题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,设 S 为 ?ABC 的面积,满足

S?

3 2 a ? b2 ? c2 ? . ? 4
(1)求 C 的大小; (2)若 1 ?

tan A 2 c ? ,且 BA ? BC ? 32 ,求 c 的值. tan B b

3

20. (本题满分 12 分) 某玩具生产公司计划每天生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共 100 个,生产一个卫兵需 5 分钟, 生产一个骑兵需 7 分钟, 生产一个伞兵需 4 分钟, 已知总生产时间不超过 10 小时. 若 生产一个卫兵可获利润 5 元,生产一个骑兵可获利润 6 元,生产一个伞兵可获利润 3 元. (1)试用每天生产的卫兵个数 x 与骑兵个数 y,表示每天的利润 (元) ; (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大,最大利润是多少.

21. (本题满分 12 分) 已知各项均为正数的数列 ?an ? ,满足 an?1 ? an?1an ? 2an ? 0 ? n ? N *? 且 a1 ? 2 .
2 2

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设

bn ? an ? log 1 an ,若 b 的前 n 项和为 S ,求 S ; n n n
2

(3)在(2)的条件下,求使 Sn ? n ? 2

n?1

? 50 成立的正整数 n 的最小值.

22. (本题满分 12 分) 数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , ?an ? 的前 n 项和为 Tn ,且 Tn ? (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)令 bn ? (ⅰ)求 Sn ; (ⅱ)是否存在整数 ? ? ? ? 0? ,使得不等式

(an ? 1) 2 . 4

1 ,数列 bn 的前 n 项和为 Sn . an an ?1

1 ? 4Sn n ? ?1? ? ? ? n ? N *? 恒成立?若存 2

在,求出 λ 的取值的集合;若不存在,请说明理由.

4

辉县市一中 2018——2019 学年上期第一次阶段性考试 高二(培优班)数学试卷 参考答案 一、选择题 1—12 BBCD DBAB BACD

11.解析: 由 Sn Sn?1 ? Sn?1 Sn ? 2 Sn Sn ?1 可得 Sn ? Sn ?1 ? 2 ,所以

? S ? 是以 1 为首项,2 为公差的等差数列,
n
2

故 S n ? 2n ? 1, S n ? ? 2n ? 1? ,所以 a81 ? S81 ? S80 ? 161 ?159 ? 640 ,故选 C.
2 2

12.解析:

f ? a1 ? ? f ? a2 ? ?
3

? f ? a7 ? ? ? a1 ? 3? ? a1 ? 1 ? ? a2 ? 3? ? a2 ? 1 ?
3 3 3

? a7 ? 3?

3

? a7 ? 1 ? 14 ,

即 ? a1 ? 3? ? a1 ? 3 ? ? a2 ? 3? ? a2 ? 3 ? 根据等差数列的性质得

? a7 ? 3?

3

? a7 ? 3 ? 0 , ? 7 ? a4 ? 3? ? 0 ,
3

? a4 ? 3 ? 3d ? ? ? a4 ? 3 ? 2d ?
3 3 3

3

?

? a4 ? 3 ? 3d ?
3

3

即 ? a4 ? 3 ? 3d ? ? ? a4 ? 3 ? 3d ? ? ? a4 ? 3 ? 2d ? ? ? a4 ? 3 ? 2d ? ?

? ? a4 ? 3 ? ? 7 ? a4 ? 3 ? ? 0
3

? 2 ? a4 ? 3? ? a4 ? 3? ? 27d 2 ? 2 ? a4 ? 3? ? a4 ? 3? ? 12d 2 ? 2 ? a4 ? 3? ? a4 ? 3? ? 3d 2
2 2 2
3

? ? ? ? a ? 3? ? 7 ? a ? 3? ? 0 ,即 ? a ? 3? ? 7 ? a ? 3? ? 84d
2
4 4

?

?

?

?

2

4

4

?7 ? 0 ,

?

? a4 ? 3 ? 0 ,即 a4 ? 3 ,? a1 ? a2 ?
二、填空题 13.-1 三、解答题 14. y ? 6 x ?
2

? a7 ? 7a4 ? 21 ,故选 D.
15 3 4

1 3

15. y ? 6( 3 ?1)

16.

17.解: (1)因为 3a ? 2c sin A ,由正弦定理得 3 sin A ? 2sin C sin A , 因为 sin A ? 0 ,所以 sin C ? 所以 C ?

3 . 2

?
3

或C ?

2? ? . 因为 ?ABC 是锐角三角形, 所以 C ? . 3 3
① ②

(2)因为 c ?

7 ,且 ?ABC 的周长为 5 ? 7 ,所以 a+b=5
2 2

由余弦定理得 a ? b ? 2ab cos
2

?
3

?7

,即 a 2 ? b2 ? ab ? 7

由②变形得 ? a ? b ? ? 3ab ? 7 ,所以 ab=6,得 S ?

1 ? 3 3 . ab sin ? 2 3 2
5

18.解:(1)对于 p : A ? ? ?1,5? ,对于 q : B ? ?1 ? m,1 ? m? , 由已知, A ? B ,∴ ?

?1 ? m ? ?1 ∴ m ?[4, ??) ?1 ? m ? 5
由已知 p, q 一真一假.

(2)若 p 真: ?1 ? x ? 5 ,若 q 真: ?4 ? x ? 6 .

①若 p 真 q 假,则 ?

??1 ? x ? 5 无解; ? x ? ?4或x ? 6

②若 p 假 q 真,则 ?

? x ? ?1或x ? 5 ??4 ? x ? 6

∴ x ?? ?4, ?1? ? ? 5,6? 19.解: (1)∵根据余弦定理得 a 2 ? b2 ? c2 ? 2ab cos C ,

?ABC 的面积 S ?

1 ab sin C ; ∴由 4S ? 3 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2

得 tan C ? 3

∵ 0 ? C ? ? ,∴ C ? (2)∵ 1 ?

?

sin A cos B cos A sin B ? sin A cos B 2c ? ? , sin B cos A cos A sin B b sin C 2c sin C 2c ? ? 可得 ,即 . cos A sin B b cos A sin B b sin C 2sin C ? ∴由正弦定理得 , cos A sin B sin B 1 ? 解得 cos A ? .结合 0 ? A ? ? ,得 A ? . 2 3
∵ ?ABC 中, C ? ∵

3

.

?

3

,∴ B ? ? ? ? A ? C ? ? ∴

?

3



BA ? BC ? 32 ,

1 2 c ? 32 ,即 c ? 8 . 2

20.解: (1)依据题意可得每天生产的伞兵个数为( 100 ? x ? y ) , ∴利润 ? ? 5x ? 6 y ? 3?100 ? x ? y ? ? 2x ? 3 y ? 300 即 ? ? 2 x ? 3 y ? 300 . (2)根据题目信息可得:

?5 x ? 7 y ? 4 ?10 ? x ? y ? ? 600 ? x ? 3 y ? 200 ? ? 约束条件为: ?100 ? x ? y ? 0 整理可得 ? x ? y ? 100 ? x ? 0, y ? 0 ? x ? 0, y ? 0 ? ?
目标函数为: ? ? 2 x ? 3 y ? 300 .

6

作出可行域,如图所示. 初始直线: 2 x ? 3 y ? 0 ,平移初始直线经过 点 A 时, 有最大值. 由?

? x ? 3 y ? 200 ? x ? 50 可得 ? ,最优解为 A ? x ? y ? 100 ? y ? 50

(50,50) , ∴ ?max ? 2 x ? 3 y ? 300 ? 550 ,即 的最大值为 550 元. 故每天生产卫兵 50 个,骑兵 50 个,伞兵 0 个时利润最大,最大利润为 550 元. 21.解: (1)∵ an?1 ? an?1an ? 2an ? 0 ,?? an?1 ? an ?? an?1 ? 2an ? ? 0
2 2

∵数列 ?an ? 的各项均为正数,∴ an?1 ? an ? 0 , ∴ an?1 ? 2an ? 0 ,即 an?1 ? 2an ? n ? N *? 所以数列 ?an ? 是以 2 为公比的等比数列. ∵ a1 ? 2 ,∴数列 ?an ? 的通项公式 an ? 2 .
n

(2)由(1)及 ∵ Sn ? b1 ? b2 ?

bn ? an log 1 an 得, b ? ?n ? 2n , n
2

? bn ,
2 3 4

∴ Sn ? ?2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 4 ? 2 ? ∴ 2Sn ? ?2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 4 ? 2 ?
2 3 4 5

? n ? 2n ①

? ? n ?1? ? 2n ? n ? 2n?1 ②
2 ?1 ? 2n ? 1? 2

②-①得

Sn ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?
2 3 4 5

? 2 ? n?2
n

n ?1

?

? n ? 2n?1 ? ?1 ? n ? ? 2n?1 ? 2

(3)要使 Sn ? n ? 2 ∴使 Sn ? n ? 2
n?1

n?1

? 50 成立,只需 2n ?1 ? 2 ? 50 成立,即 2n ?1 ? 52 ,

? 50 成立的正整数 n 的最小值为 5.

22.解: (1) an ? 2n ? 1. (2) (ⅰ) bn ?

? 2n ?1?? 2n ? 1?

1

?

1? 1 1 ? ? ? ? ? 2n ?1?? 2n ? 1? 2 ? 2n ?1 2n ? 1 ? ? 1

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ? Sn ? ??1 ? ? ? ? ? ? ? 2 ?? 3 ? ? 3 5 ?

1 ?? ? 1 ?? ? ?? ? 2n ? 1 2 n ? 1 ? ?
7

1? 1 ? ? Sn ? ?1 ? ? 2 ? 2n ? 1 ?
n

? Sn ?

1 1 ? 2 4n ? 2

(ⅱ)存在整数 ? 使得不等式 ? ?1? ? ? 因为

1 ? 4Sn 3 1 ? ? . 2 2 2n ? 1 3 1 n 要使得不等式 ? ?1? ? ? ? ? n ? N *? 恒成立, 2 2n ? 1 3 1 3 1 n 当 n 为奇数时, ? ?1? ? ? ? ,即 ? ? ? ? . 2 2n ? 1 2 2n ? 1 3 1 7 7 所以当 n ? 1 时, ? ? 的最大值为 ? ,所以只需 ? ? ? . 2 2n ? 1 6 6 3 1 当 n 为偶数时, ? ? ? , 2 2n ? 1 3 1 13 13 所以当 n ? 2 时, ? 的最小值为 ,所以只需 ? ? . 2 2n ? 1 10 10 7 13 可知存在 ? ? ? ? ,且 ? ? 0 .又 ? 为整数,所以 ? 取值集合为 ??1,1? . 6 10

1 ? 4Sn ? n ? N *? 恒成立. 2

在的 不 处 无 是 明 文 养, 修 德 道 人 个 一 出 现 表 以 可 它 , 谊它 友 的 间 之 与 人 进 增 以 可 它 才能 样 怎 么 那 。 了 多 太 用 作 的 生 学 小 使 的校 丽 美 在 活 习 地 明 文 我们 , 先 ?Haoreyu首 呢 里 园 份, 身 合 符 , 体 得 装 着 要 生 学 小 风采 的 上 向 勃 蓬 生 学 纪 世 新 出 现 体 让人 以 可 态 容 、 表 仪 为 因 , 正来 香 芳 些 这 。 养 修 的 你 道 知 便 看 一 你 , 朵 花 种 各 于 自 们中 他 是 便 我 、 定能 们 我 己 自 信 相 , 子 份 一 的 行 现出 表 以 可 它 , 的 在 不 处 无 是 明 文 进人 增 以 可 它 , 养 修 德 道 的 人 个 一 多太 太 用 作 它 , 谊 友 的 间 之 与 明地 文 生 学 小 使 能 才 样 怎 么 那 。 了 多 呢 里 园 校 的 丽 美 在 活 生 习 学 ?Hao首 装 着 要 生 学 小 们 我 , 先 areyou得 世纪 新 出 现 份 身 生 学 合 符 , 体 表、 仪 为 因 , 采 风 的 上 向 勃 蓬 生 学 你的 道 知 便 看 一 人 让 以 可 态 容 仪 来 正 香 芳 些 这 。 养 修 花朵 种 各 于 自 相信 子 份 一 的 中 们 他 是 便 我 、 你 , 行 能 定 一 们 我 , 己 自

在的 不 处 无 是 明 文 养, 修 德 道 人 个 一 出 现 表 以 可 它 , 谊它 友 的 间 之 与 人 进 增 以 可 它 才能 样 怎 么 那 。 了 多 太 用 作 的 生 学 小 使 的校 丽 美 在 活 习 地 明 文 我们 , 先 ?Haoreyu首 呢 里 园 份, 身 合 符 , 体 得 装 着 要 生 学 小 风采 的 上 向 勃 蓬 生 学 纪 世 新 出 现 体 让人 以 可 态 容 、 表 仪 为 因 , 正来 香 芳 些 这 。 养 修 的 你 道 知 便 看 一 你 , 朵 花 种 各 于 自 们中 他 是 便 我 、 定能 们 我 己 自 信 相 , 子 份 一 的 行 现出 表 以 可 它 , 的 在 不 处 无 是 明 文 进人 增 以 可 它 , 养 修 德 道 的 人 个 一 的 间 之 与 多太 太 用 作 它 , 谊 友 明地 文 生 学 小 使 能 才 样 怎 么 那 。 了 多 呢 里 园 校 的 丽 美 在 活 生 习 学 ?Hao首 装 着 要 生 学 小 们 我 , 先 areyou得 世纪 新 出 现 份 身 生 学 合 符 , 体 表、 仪 为 因 , 采 风 的 上 向 勃 蓬 生 学 你的 道 知 便 看 一 人 让 以 可 态 容 仪 花朵 种 各 于 自 来 正 香 芳 些 这 。 养 修 相信 子 份 一 的 中 们 他 是 便 我 、 你 , 行 能 定 一 们 我 , 己 自 你的 道 知 便 看 一 人 朵, 花 种 各 于 自 来 正 香 芳 些 这 。 养 修 你 相信 子 份 一 的 中 们 他 是 便 我 、 行 能 定 一 们 我 , 己 自 处不 无 是 明 文 德修 道 人 个 一 出 现 表 以 可 它 , 的 在 友谊 的 间 之 与 人 进 增 以 可 它 , 养 怎样 么 那 。 了 多 太 用 作 的 它 , 小 使 能 才 美丽 在 活 习 地 明 文 生 学 呢 里 园 校 的 先, ?Haoreyu首 合身 符 体 得 装 着 要 生 学 小 们 我 上的 向 勃 蓬 生 学 纪 世 新 出 现 体 , 份 可以 态 容 、 表 仪 为 因 , 采 风 芳香 些 这 。 养 修 的 你 道 知 便 看 一 人 让 是他 便 我 、 你 , 朵 花 种 各 于 自 来 正 我一 己 自 信 相 , 子 份 一 的 中 们 行 能 定

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