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新课标高二数学上学期期末考试卷(理)必修三、选修2-1综合测试题


新课标高二数学上学期期末考试卷(理) (必修三、选修 2-1 综合测试卷)
一、选择题:本大题共 15 小题, 每小题 4 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1. 下列对一组数据的分析,不正确的说法是 ( ) A、数据极差越小,样本数据分布越集中、稳定 B、数据平均数越小,样本数据分布越集中、稳定 C、数据标准差越小,样本数据分布越集中、稳定 D、数据方差越小,样本数据分布越集中、稳定 2.过点 M(-4,3)和 N(-2,1)的直线方程是 ( ) A. x ? y ? 3 ? 0 B. x ? y ? 1 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 3 ? 0 ( D、以上都不对 ( ) )

3、向量 a ? (1, 2, ?2), b ? (?2, ?4, 4) ,则 a与b A、相交 B、垂直 C、平行

?

?

? ?

4、已知命题 p : ?x ? R,sin x ? 1, 则 ? p 是 A、 ?x ? R,sin x ? 1 C、 ?x ? R,sin x ? 1 B、 ?x ? R,sin x ? 1 D、 ?x ? R,sin x ? 1

5、在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,化简 BB1 ? AB ? DA ? A、 AC1

???? ??? ??? ? ?





???? ?

B、 CA1

????

C、 BD1

???? ?

D、 DB1

???? ?

频率 组距

6

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

下图是容量为 200 的样本的频率分布直方图, 那么样本数据 落在 ?10,14? 内的频率,频数分别为( )
0.09 0.08

A.0.32; 64 C.0.36; 64
2

B.0.32; 62 D.0.36; 72
2

0.03 0.02

7. 与椭圆 线方程为 A.

10 x y ? ? 1 共焦点,且两准线间的距离为 的双曲 3 16 25
( )

样本 数据
2 6 10 14 18 22

O

y2 x2 ? ?1 5 4

B.

x2 y2 ? ?1 5 4

C.

y2 x2 ? ?1 5 3

D.

x2 y2 ? ?1 5 3


8.某人在打靶中,连续射击2次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( A.至多有一次中靶 B.两次都中靶 C.两次都不中靶 D.只有一次中靶

-1-

9. 某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有 150 个、120 个、180 个、150 个销售点,公司 为了调查产品销售的情况, 需从这 600 个销售点中抽取一个容量为 100 的样本, 记这项调查 为(1); 在丙地区中有 20 个特大型销售点, 要从中抽取 7 个调查其销售收入和售后服务情况, 记这项调查为(2)。则完成(1)、(2)这两项调查宜采用的抽样方法依次是 ( A、分层抽样法,简单随机抽样法 C、系统抽样法,分层抽样法 10.在 Scilab 界面内,输入如下程序: B、分层抽样法, 系统抽样法 D、简单随机抽样法,分层抽样法 )

在输入完程序,击 Enter 键后,输出的 j 值为( ) A. 29 B. 30 C. 31 D. 32 11. 先后抛掷两颗骰子,设出现的点数之和是12,11,10的概率依次是P1,P2,P3 ,则( A. P1=P2<P3 B. P1<P2<P3 C. P1<P2=P3 D.P3=P2<P1



12.在正方体 ABCD ? A B1C1D1 中, E 是棱 A1B1 的中点,则 A B 与 D1E 所成角的余弦值为 1 1

A.

5 10
4 3

B.

10 10

C.

5 5

D.

10 5
( )

2 2 13.过椭圆 x ? y ? 1 的焦点且垂直于 x 轴的直线 l 被此椭圆截得的弦长为

A.

3 2

B. 3

C. 2

D.3

14. 已知直线 l 过点 P(1,0,-1),平行于向量 a ? (2,1,1) ,平面 ? 过直线 l 与点 M(1,2,3),则 平面 ? 的法向量不可能是( ) A. (1,-4,2) B. ( , ?1, )

?

3

1 4

1 2

C. (?

1 1 ,1, ? ) 4 2

D. (0,-1,1)

15. 以下给出的是计算 1 ? 是( ) . A. k ? 10

1 1 1 ? ? ? ? 的值的一个程序框图, 其中判断框内应填入的条件 3 5 19
C. k ? 19 D. k ? 19

B. k ? 10

-2-

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 16.下面程序输出的结果是______________ (注: abs(x) 表示 x 的绝对值)

x?

1 ; 2

for n=2:1:99

x ? abs( x ? 1) ? abs( x);
end

x

2 2 17.设椭圆 x ? y ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F1,右准线为 l1,若过 F1 且垂直于 x 轴的弦长等 2 2

a

b

于 F1 到 l1 的距离,则椭圆的离心率为 . 18.某射箭运动员一次射箭击中 10 环、9 环、8 环的概率分别是 0.2,0.3,0.3,那么他射箭一 次不够 8 环的概率是 19、棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1,E,F 分别是棱 AB,BC 上的动点,且 AE=BF= x , 其中 0 ? x ? a ,则直线 A1F 与 C1E 所成角的余弦值为 20.F1,F2 是双曲线

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,P 是双曲线上的点,已知|PF1|,|PF2|,|F1F2| 4 45
.

依次成等差数列,且公差大于 0,则∠F1PF2=

-3-

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)

21. (本小题满分 10 分) 对甲、乙两位同学的学习成绩进行抽样分析,各抽 5 门功课,
得到的观测值如下:

(1) 计算甲、乙两位同学学习成绩平均数和标准差; (2)比较两个人的成绩,分析谁的各门功课发展较平衡?

22、 (本小题满分 10 分)已知 a ? 0, a ? 1 ,命题 p : 函数 y ? loga ( x ? 1) 在 (0, ??) 上单调
2 递减, 命题 q : 曲线 y ? x ? (2a ? 3) x ? 1 与 x 轴交于不同的两点, p ? q 为假命题,p ? q 若

为真命题,求实数 a 的取值范围。

23. (本小题满分 12 分)已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 ,其长轴长是短轴长的 2 倍,右准线方程为 a2 b2

x?

4 3. 3
(1)求该椭圆方程, (2)如过点(0,m) ,且倾斜角为

? 的直线 l 与椭圆交于 A、B 两点,当△AOB(O 4

为原点)面积最大时,求 m 的值.

-4-

24. (本小题满分 11 分)已知抛物线的顶点在原点,它的准线经过曲线

x2 y2 ? ? 1 的右焦 a2 b2

点,且与 x 轴垂直,抛物线与此双曲线交于点(

3 , 6) ,求抛物线与双曲线的方程. 2

25. (本小题满分12分) 一只口袋内装有大小相同的5只球,其中3只白球,2只 黑球.现从口袋中每次任取一球,每次取出不放回,连续取两次.问: (1) 取出的两只球都是白球的概率是多少? (2) 取出的两只球至少有一个白球的概率是多少?

26. (本小题满分 15 分)如图,在四棱锥 O ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的菱形,

?ABC ?

?
4

, OA ? 底面ABCD , OA ? 2 , M 为 OA 的中点,N 为 BC 的中点, A 为原 以

点,建立适当的空间坐标系,利用空间向量解答以下问题: (Ⅰ)证明:直线 MN‖ 平面OCD ;
O

(Ⅱ)求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小; (Ⅲ)求点 B 到平面 OCD 的距离.
M

A B N C

D

-5-

新课标高二数学上学期期末考试卷(理) (必修三、选修 2-1 综合测试卷)答案
一、 B 1. 2B 3C 4C 5.A 6.D 7.A 8C 9.A 10.C 11.B 12.B 13.D 14.D 15.A 二、填空题(本大题共 4 小题, 每小题 4 分,共 16 分.) 16. 1; 17.

1 2

18.0.2

19.0 20.120°

三、解答题 21. (本题满分10分) 解: x甲 ?

1 (60 ? 80 ? 70 ? 90 ? 70) ? 74 5 1 x乙 ? (80 ? 60 ? 70 ? 80 ? 75) ? 73 5

--------------2 分 ----------------4 分

s甲 ? s乙 ?


1 2 ( ? 6 2 ? 4 2 ? 16 2 ? 4 2)? 104 ? 2 26 14 5

------------6 分

1 2 ( ? 13 2 ? 32 ? 7 2 ? 2 2)? 56 ? 2 14 ----------------8 分 7 5
-------------------------------10 分 -------------------12 分

x甲 ? x 乙,s甲 ? s乙

∴ 甲的平均成绩较好,乙的各门功课发展较平衡

22、 (本题 10 分) p 为真: 0 ? a ? 1 ;??1 分; q 为真: a ?

5 1 或 0 ? a ? ???3 分 2 2

0 ? a ?1 1 (1)当 p 真 q 假 { 1 5 ? ? a ? 1 ????? 5 分 2 ?a? 2 2 a ?1 5 (2)当 p 假 q 真 { 1 5 ? a ? ????7 分 2 0 ? a ? 或a ? 2 2 1 5 综上, a 的取值范围是 [ ,1) ? ( , ??) ???????8 分 2 2
23.解(1)? a ? 2b, 又a ? 4 3
c 3
2

?c2 ? a2 ? b2 ?

3 2 a 4

e?

c 3. ? a 2
x2 ? y2 ? 1 4

? a ? 2, c ? 3, b ? 1

? 椭圆方程为

(2)设 l : y ? x ? m ,代入椭圆方程得 5x 2 ? 8m x ? 4m 2 ? 4 ? 0
2 令 ? ? 64m2 ? 20(4m2 ? 4) ? 0得 ? 5 ? m ? 5 .设 A( x , y ) B( x , y )则x ? x ? ? 8 m, x x ? 4m ? 4 1 2 2 2 1 2 1 2

5

5

-6-

? AB |? 2 | x1 ? x2 |? 2 |
? S ?OAB ?

( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ?

4 2 5 ? m2 5

原点 O 到 l 的距离 d ? | m |
2

1 2 2 5 25 | AB | ?d ? | m | ? 5 ? m 2 ? ? (m 2 ? ) 2 ? 2 5 5 2 4

5 ? 当m 2 ? 时 ,S 取得最大值. 即当△AOB 的面积最大时, m ? ? 10 . 2 2

24.解:由题意可知抛物线的焦点到准线间的距离为 2C(即双曲线的焦距). 设抛物线的方程为 y 2 ? 4cx. ∵抛物线过点 ( 3 , 6 ) ? 6 ? 4c ? 3 ? c ? 1即a 2 ? b 2 ? 1 ① 2 2
( ) 2 又知 2 ? ( 6 ) ? 1 2 2 a b 3
2

?

9 6 ? ? 1② 4a 2 b 2
2

由①②可得 a 2 ? 1 , b 2 ? 3
4 4

∴所求抛物线的方程为 y ? 4 x ,双曲线的方程为 4 x 2 ? 4 y 2 ? 1 3 25. (本题满分12分) 解:(1) 分别记白球为1,2,3号,黑球为4,5号.从口袋中每次任取一球,每次取出不 放回,连续取两次,其一切可能的结果组成的基本事件(第一次摸到1号,第二次摸到2号球 用(1,2)表示)空间为: ? ? { (1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1), (1,5),(5,1),(2,3),(3,2),(2,4),(4,2),(2,5),(5,2),(3,4), (4,3),(3,5),(5,3),(4,5),(5,4) } ,共有20个基本事件, 且上述20个基本事 件发生的可能性相同. ------------------------------------------------------4分 记“取出的两只球都是白球”为事件 A. -----------------------------------5 分 A={(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,3),(3,2)},共有 6 个基本事件.-------7 分 故 P(A)=

6 3 ? . 20 10 3 . ----------------------------------8 分 10

所以取出的两只球都是白球的概率为

(2)设“取出的两只球中至少有一个白球”为事件 B,则其对立事件 B 为“取出的两只球 均为黑球”. ---------------------------------------------------------------9 分

B ={(4,5),(5,4)},共有 2 个基本事件.
则 P ( B) ? 1 ? P ( B) ? 1 ?

-------------------------------10 分

2 9 ? 20 10

------------------------------------11 分

所以取出的两只球中至少有一个白球的概率为

9 --------------------------12 分 10

-7-

20.解:由题意可知抛物线的焦点到准线间的距离为 2C(即双曲线的焦距). 设抛物线的方程为 y 2 ? 4cx. ∵抛物线过点 ( 3 , 6 ) ? 6 ? 4c ? 3 ? c ? 1即a 2 ? b 2 ? 1 ① 2 2
( ) 2 又知 2 ? ( 6 ) ? 1 2 2 a b 3
2

?

9 6 ? ? 1② 4a 2 b 2

由①②可得 a 2 ? 1 , b 2 ? 3
4 4

∴所求抛物线的方程为 y 2 ? 4 x ,双曲线的方程为 4 x 2 ? 4 y 2 ? 1 3 26.解: 作 AP ? CD 于点 P,如图,分别以 AB,AP,AO 所在直线为 x, y, z 轴建立坐标系

A(0,0,0), B(1,0,0), P(0,

2 2 2 2 2 ,0), D(? , ,0), O(0,0, 2), M (0, 0,1), N (1 ? , ,0) ,(3 分) 2 2 2 4 4 ???? ? ??? ? ???? 2 2 2 2 2 (1) MN ? (1 ? , , ?1), OP ? (0, , ?2), OD ? (? , , ?2) (5 分) 4 4 2 ??? 2 2 ? ? ? ? ? ??? 设平面 OCD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 n? OP ? 0, n? ? 0 OD
z

O ? 2 y ? 2z ? 0 ? ? 2 即 ? M ?? 2 x ? 2 y ? 2 z ? 0 ? 2 ? 2 ? 取 z ? 2 ,解得 n ? (0,4, 2) (7 分) D A ???? ? ? 2 2 x N C P y B ∵ MN ?n ? (1 ? , , ?1)? 4, 2) ? 0 (0, 4 4 ? MN‖ 平面OCD (9 分) ??? ? ???? ? 2 2 (2)设 AB 与 MD 所成的角为 ? ,∵ AB ? (1,0,0), MD ? (? , , ?1) 2 2 ??? ???? ? ? AB?MD ? 1 ? , AB 与 MD 所成角的大小为 (13 分) ∴c o ? ? ??? ???? ? ∴? ? s , ? ? 3 3 AB ? MD 2 ??? ? ? (3)设点 B 到平面 OCD 的距离为 d ,则 d 为 OB 在向量 n ? (0, 4, 2) 上的投影的绝对值, ??? ? ? OB ? n 2 ??? ? 2 由 OB ? (1,0, ?2) , 得 d ? ? ? .所以点 B 到平面 OCD 的距离为 (15 分) 3 n 3

-8-


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