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最新人教版高中数学选修1.3.3-函数的最大(小)值与导数 (1)ppt课件_图文

?1.3.3 函数的最大(小)值与导数 ? 【课标要求】 ? 1.能够区分极值与最值两个不同的概念. ? 2.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般 不超过三次). ? 【重难点】 ? 1.利用导数求给定区间上函数的最大值与最小值.(重点) ? 2.常与函数的单调性、参数的讨论等知识结合命题. ? 自学学习 ? 函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值 ? 如 果在区间 [a , b] 上函数 y = f(x) 的图象是一条连续不断的 曲线,则该函数在[a,b]上一定能够取得最大值和最小值,并 且函数的最值必在极值点或区间端点取得. ? 想一想:在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲 线,想一想,在[a,b]上一定存在最值和极值吗? ? 提示 一定有最值,但不一定有极值.如果函数f(x)在[a,b] 上是单调的,此时 f(x) 在 [a, b]上无极值;如果 f(x) 在 [a, b]上不 是单调函数,则f(x)在[a,b]上有极值. ? 2.求函数y=f(x)在[a,b]上的最值的步骤 极值 ? (1)求函数y=f(x)在(a,b)内的 ; 各极值 ? (2)将函数y=f(x)的 与 端点处的函数值 f(a),f(b)比 较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. ? 想一想:极值和最值的区别与联系? ? 提示 (1)函数的最大值和最小值是一个整体性概念,最大值 必须是整个区间上所有函数值中的最大值,最小值必须是整个区 间上所有函数值中的最小值. ? (2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出 的,函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的,函数的极值 可以有多个,但最大(小)值至多只能有一个;极值只能在区间内 取得,最值则可以在端点取得;有极值的未必有最值,有最值的 未必有极值;极值有可能成为最值,最值只要不在端点必定是极 值. ?(3)若函数f(x)在开区间I上只有一个极值,且是极大(小)值,则这个 极大(小)值就是函数f(x)在区间I上的最大(小)值. ?(4)开区间(a,b)上连续函数y=f(x)的最值的几种情况 ?图(1)中的函数y=f(x)在开区间(a,b)上有最大值无最小值; ?图(2)中的函数y=f(x)在开区间(a,b) 上有最小值无最大值; ?图(3)中的函数y=f(x)在开区间(a,b) 上既无最大值也无最小值; ?图(4)中的函数y=f(x)在开区间(a,b)上既有最大值又有最小值. ? ? ? ? ? 知识应用 求函数在闭区间上的最值 【例1】 求下列各函数的最值: (1)f(x)=-x4+2x2+3,x∈[-3,2]; (2)f(x)=x3-3x2+6x-2,x∈[-1,1]. [思路探索 ] 先求f′(x),再令f′(x)=0得到相应的x的值,通过列 表,确定出极值点,求极值与端点值,从而比较大小确定最 值. ?解 (1)f′(x)=-4x3+4x, ?令f′(x)=-4x(x+1)(x-1)=0,得 ?x=-1,x=0,x=1. ?当x变化时,f′(x)及f(x)的变化情况如下表: x f′(x) -3 (-3,- 1) + -1 0 (-1,0) - 0 0 极小 值3 (0,1) + 1 0 (1,2) - 2 f(x) -60 极大 值4 极大 值4 -5 ?∴当x=-3时,f(x)取最小值-60; ?当x=-1或x=1时,f(x)取最大值4. ?(2)f′(x)=3x2-6x+6=3(x2-2x+2)=3(x-1)2+3, ?∵f′(x)在[-1,1]内恒大于0, ?∴f′(x)在[-1,1]上为增函数. ?故x=-1时,f(x)最小值=-12; ?x=1时,f(x)最大值=2. ?即f(x)的最小值为-12,最大值为2 ? ? ? ? ? 知识应用 含参数的最值问题 【例2】 已知a是实数,函数f(x)=x2(x-a). (1)若f′(1)=3,求a的值及曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方 程. (2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值. [思路探索] ①先对函数求导,由f′(1)=3得a的值及切线方程; ②根据a的不同取值范围,讨论确定f(x)在[0,2]上的最大值. 解 (1)f′(x)=3x2-2ax. 因为 f′(1)=3-2a=3,所以 a=0. 又当 a=0 时,f(1)=1,f′(1)=3, 所以曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 3x-y-2=0. 2a (2)令 f′(x)=0,解得 x1=0,x2= . 3 2a ①当 3 ≤0,即 a≤0 时, f(x)在[0,2]上单调递增, 从而 f(x)max=f(2)=8-4a. 2a ②当 3 ≥2,即 a≥3 时, f(x)在[0,2]上单调递减, 从而 f(x)max=f(0)=0. ? ?2a ? 2a? 2a ③当 0< 3 <2, 即 0<a<3 时, f(x)在?0, 3 ?上单调递减, 在? 3 ,2?上 ? ? ? ? 单调递增, 从而 ? ?0<a≤2?, ?8-4a f(x)max=? ? ?2<a<3?, ?0 ? ?8-4a 综上所述,f(x)max=? ? ?a>2?. ?0 ?a≤2?, ? ? ? ? 知识应用 函数最值的综合应用 【例3】 已知函数f(x)=x3-ax2+bx+c(a,b,c∈R). (1)若函数f(x)在x=-1和x=3处取得极值,试求a,b的值; (2) 在 (1) 的条件下,当 x∈[ - 2,6] 时, f(x)<2|c| 恒成立,求 c 的 取值范围. [规范解答] (1)f′(x)=3x2-2ax+b, ∵函数 f(x)在 x=-1 和 x=3 处取得极值, ∴-1,3 是方程 3x2-2ax+b=0 的两根. 2 ? ?-1+3=3a, ∴? ?-1×3=b, 3 ? ?

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