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题型三


题型三

由数列的前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系求通项 an
(推荐时间:30 分钟)

1 1.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 an+2Sn·n-1=0 (n≥2),a1= . S 2 1? ? (1)求证:?S ?为等差数列; ? n? (2)求 an 的表达式. 1.(1)证明 ∵an=Sn-Sn-1 (n≥2),an+2Sn·n-1=0 (n≥2), S ∴Sn-Sn-1+2Sn·n-1=0. S 1 1 ∵Sn≠0,∴ - =2 (n≥2). Sn Sn-1 ?1? 1 1 由等差数列的定义,可知?S ?是以 = =2 为首项,以 2 为公差的等差数列. S 1 a1 ? n? 1 1 (2)解 方法一 由(1),知 = +(n-1)d=2+(n-1)×2=2n, Sn S1 1 ∴Sn= . 2n 1 当 n≥2 时,有 an=-2Sn·n-1=- S ; 2n?n-1? 1 当 n=1,a1= ,不满足上式, 2 1 ?n=1?, 2 故 an= 1 - ?n≥2?. 2n?n-1? 1 1 1 方法二 由(1),知 = +(n-1)d=2+(n-1)×2=2n,∴Sn= . Sn S1 2n

? ? ?

当 n≥2 时,有 an=Sn-Sn-1 1 1 1 = - =- , 2n 2?n-1? 2n?n-1? 1 当 n=1 时,a1= ,不满足上式, 2

?2 故 a =? 1 - ? 2n?n-1?
1
n

?n=1?, ?n≥2?.

例 6 (2004 年全国 I 第 15 题,原题是填空题)已知数列 {an } 满足

a1 ? 1 an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ?1)an?1 (n ? 2) ,求 {an } 的通项公式。 ,
解:因为 an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ?1)an?1 (n ? 2) 所以 an?1 ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ?1)an?1 ? nan ② ①

用②式-①式得 an?1 ? an ? nan . 则 an?1 ? (n ? 1)an (n ? 2)



an ?1 ? n ? 1(n ? 2) an an an?1 a n! ? ??? 3 ? a2 ? [n(n ? 1) ??? 4 ? 3]a2 ? a2 . an?1 an?2 a2 2

所以 an ?



由 an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ?1)an?1 (n ? 2) ,取n ? 2得a2 ? a1 ? 2a2 ,则 a2 ? a1 ,又知

a1 ? 1 ,则 a2 ? 1 ,代入③得 an ? 1? 3 ? 4 ? 5 ?? ? n ?
所以, {an } 的通项公式为 an ?

n! 。 2

n! . 2

评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? (n ? 1)an (n ? 2) 转化为

an ?1 ? n ? 1(n ? 2) , an

进而求出

an an?1 a 从而可得当 n ? 2时,an 的表达式, 最后再求出数列 {an } 的 ? ?? ? 3 ? a2 , an?1 an?2 a2

通项公式。 例 9 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3n2 ? 4n ? 5,a1 ? 1,求数列 {an } 的通项公式。 解:设 an?1 ? x(n ? 1)2 ? y(n ? 1) ? z ? 2(an ? xn2 ? yn ? z) 将 an?1 ? 2an ? 3n2 ? 4n ? 5 代入⑧式,得 ⑧

2an ? 3n2 ? 4n ? 5 ? x(n ?1)2 ? y(n ?1) ? z ? 2(an ? xn2 ? yn ? z) ,则 2an ? (3 ? x)n2 ? (2x ? y ? 4)n ? ( x ? y ? z ? 5) ? 2an ? 2xn2 ? 2 yn ? 2z
等式两边消去 2an ,得 (3 ? x)n ? (2 x ? y ? 4)n ? ( x ? y ? z ? 5) ? 2xn ? 2 yn ? 2z ,
2 2

?3 ? x ? 2 x ?x ? 3 ? ? 解方程组 ?2 x ? y ? 4 ? 2 y ,则 ? y ? 10 ,代入⑧式,得 ?x ? y ? z ? 5 ? 2z ? z ? 18 ? ?

an?1 ? 3(n ?1)2 ?10(n ?1) ?18 ? 2(an ? 3n2 ?10n ?18) ⑨
由 a1 ? 3?12 ? 10 ?1 ? 18 ? 1 ? 31 ? 32 ? 0 及⑨式,得 an ? 3n2 ? 10n ? 18 ? 0



an?1 ? 3(n ? 1)2 ? 10(n ? 1) ? 18 ? 2 ,故数列 {an ? 3n2 ?10n ?18} 为以 2 an ? 3n ? 10n ? 18

a1 ? 3?12 ? 10 ?1 ? 18 ? 1 ? 31 ? 32 为首项,以 2 为公比的等比数列,因此 an ? 3n2 ?10n ?18 ? 32 ? 2n?1 ,则 an ? 2n?4 ? 3n2 ?10n ?18 。
评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? 2an ? 3n2 ? 4n ? 5 转化为

an?1 ? 3(n ?1)2 ?10(n ?1) ?18 ? 2(an ? 3n2 ?10n ?18) ,从而可知数列
进而求出数列 {an ? 3n2 ? 10n ? 18} 的通项公式, 最后再 {an ? 3n2 ?10n ?18} 是等比数列, 求出数列 {an } 的通项公式。

类型 1

an ?1 ? an ? f (n)

解法:把原递推公式转化为 an?1 ? an ? f (n) ,利用累加法(逐差相加法)求解。 例 1:已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

1 1 , a n ?1 ? a n ? 2 ,求 an 。 2 n ?n

解:由条件知: a n ?1 ? a n ?

1 1 1 1 ? ? ? n ? n n(n ? 1) n n ? 1
2

分 别 令 n ? 1,2,3,? ? ? ? ??, (n ? 1) , 代 入 上 式 得 (n ? 1) 个 等 式 累 加 之 , 即

(a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? (a4 ? a3 ) ? ? ? ? ? ? ? ?(an ? an?1 )
1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ? ? ?( ? ) 2 2 3 3 4 n ?1 n 1 所以 a n ? a1 ? 1 ? n 1 1 1 3 1 ? a1 ? ,? a n ? ? 1 ? ? ? 2 2 n 2 n

类型 2

an?1 ? f (n)an
an?1 ? f (n) ,利用累乘法(逐商相乘法)求解。 an
2 n a n ,求 an 。 , a n ?1 ? 3 n ?1

解法:把原递推公式转化为

例 2:已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 解:由条件知 累乘之,即

an?1 n ,分别令 n ? 1,2,3,? ? ? ? ??, (n ? 1) ,代入上式得 (n ? 1) 个等式 ? an n ?1

a a a 2 a3 a 4 1 2 3 n ?1 2 1 又 ? a1 ? , ? ? ? ?????? ? n ? ? ? ? ??????? ? n ? 2 3 4 n 3 a1 a2 a3 an?1 a1 n
? an ? 2 3n

(2004,全国 I,理 15. )已知数列{an},满足 a1=1,an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? ? ? (n ? 1)an?1 (n ≥2),则{an}的通项 an ? ?

?1 ? ___

n ?1 n?2

解:由已知,得 an?1 ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? ? ? (n ? 1)an?1 ? nan ,用此式减去已知式,得 当 n ? 2 时, an?1 ? an ? nan ,即 an?1 ? (n ? 1)an ,又 a2 ? a1 ? 1,

? a1 ? 1,

a a a2 a n! (n ? 2) 将以上 n 个式子相乘, a n ? 得 ? 1, 3 ? 3, 4 ? 4,? ? ?, n ? n , 2 a1 a2 a3 an?1

类型 3

an?1 ? pan ? q(其中

p,q 均为常数,( pq( p ?1) ? 0) ) 。
q ,再利用 1? p

解法(待定系数法) :把原递推公式转化为: an?1 ? t ? p(an ? t ) ,其中 t ? 换元法转化为等比数列求解。 例 4:已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 3 ,求 an .

解:设递推公式 an?1 ? 2an ? 3 可以转化为 an?1 ? t ? 2(an ? t ) 即 an?1 ? 2an ? t ? t ? ?3 . 故 递 推 公 式 为 an?1 ? 3 ? 2(an ? 3) , 令 bn ? an ? 3 , 则 b1 ? a1 ? 3 ? 4 , 且

bn?1 an?1 ? 3 ? ? 2 . 所 以 ?bn ? 是 以 b1 ? 4 为 首 项 , 2 为 公 比 的 等 比 数 列 , 则 bn an ? 3

bn ? 4 ? 2n?1 ? 2n?1 ,所以 an ? 2n?1 ? 3 .

类型 4

。 an?1 ? pan ? q n (其中 p,q 均为常数, ( pq( p ? 1)(q ? 1) ? 0) )

(或

an?1 ? pan ? rqn ,其中 p,q, r 均为常数) 。
解法:一般地,要先在原递推公式两边同除以 q n?1 ,得:

an?1 p an 1 ? ? ? 引入辅助数列 q n?1 q q n q

?bn ? (其中 bn ? an n
q

) ,得: bn?1 ?

p 1 bn ? 再待定系数法解决。 q q

例 5:已知数列 ?an ? 中, a1 ? 解:在 a n ?1 ?

5 1 1 n ?1 , a n ?1 ? a n ? ( ) ,求 an 。 6 3 2

1 1 2 a n ? ( ) n ?1 两边乘以 2 n ?1 得: 2 n?1 ? a n?1 ? (2 n ? a n ) ? 1 3 2 3 2 2 n 令 bn ? 2n ? an , 则 bn ?1 ? bn ? 1 , 解 之 得 : bn ? 3 ? 2( ) 所 以 3 3 b 1 1 a n ? n ? 3( ) n ? 2( ) n n 2 3 2

类型 5 递推公式为 a
?s ? t ? p ? ?st ? ?q

n? 2

? pan?1 ? qa(其中 n

p, 均为常数) q 。

解法一(待定系数法):先把原递推公式转化为 an?2 ? san?1 ? t (an?1 ? san ) 其中 s,t 满足

解法二(特征根法): 对于由递推公式 an?2 ? pan?1 ? qan ,a1 ? ? , a2 ? ? 给出的数列 ?an ? , 方程 x ? px ? q ? 0 ,叫做数列 ?an ? 的特征方程。若 x1 , x 2 是特征方程的两个根,当
2

n x1 ? x 2 时,数列 ?an ? 的通项为 an ? Ax1n?1 ? Bx2 ?1 ,其中 A,B 由 a1 ? ? , a2 ? ? 决 n n 定 (即把 a1 , a2 , x1 , x2 和 n ? 1,2 , 代入 an ? Ax1 ?1 ? Bx2 ?1 , 得到关于 A、 的方程组) B ; n 当 x1 ? x 2 时,数列 ?an ? 的通项为 an ? ( A ? Bn) x1 ?1 ,其中 A,B 由 a1 ? ? , a2 ? ? 决

定(即把 a1 , a2 , x1 , x2 和 n ? 1,2 ,代入 an ? ( A ? Bn) x1 ,得到关于 A、B 的方程组) 。

n?1

解法一(待定系数——迭加法) 例 4, :数列 ?an ? :3an?2 ? 5an?1 ? 2an ? 0(n ? 0, n ? N ) , a1 ? a, a2 ? b , 求数列 ?an ? 的

通 项 公 式 。 由 3an?2 ? 5an?1 ? 2an ? 0 , 得 a n ? 2 ? a n ?1 ?

2 (a n ?1 ? a n ) , 且 3

a2 ? a1 ? b ? a 。
则 数 列 ?an?1 ? an ? 是 以 b ? a 为 首 项 ,

2 为公比的等比数列,于是 3

2 a n ?1 ? a n ? (b ? a)( ) n ?1 。 3
把 n ? 1,2,3,? ? ?, n 代 入 , 得 a2 ? a1 ? b ? a , a 3 ? a 2 ? (b ? a ) ? ( ) ,

2 3

2 a 4 ? a3 ? (b ? a) ? ( ) 2 , ? ? ? 3 2 a n ? a n ?1 ? (b ? a)( ) n ? 2 。把以上各式相加,得 3

2 1 ? ( ) n ?1 2 2 2 3 a n ? a1 ? (b ? a)[1 ? ? ( ) ? ? ? ? ? ( ) n ? 2 ] ? (b ? a) 。 2 3 3 3 1? 3 2 2 ? a n ? [3 ? 3( ) n ?1 ]( b ? a) ? a ? 3(a ? b)( ) n ?1 ? 3b ? 2a 。 3 3
解法二(特征根法) : 数 列 ?an ? 中 3an?2 ? 5an?1 ? 2an ? 0(n ? 0, n ? N ) , a1 ? a, a2 ? b 的 特 征 方 程 是 :

3x 2 ? 5 x ? 2 ? 0 。 ? x1 ? 1, x 2 ?

2 2 n ?1 n n , ? an ? Ax1 ?1 ? Bx2 ?1 ? A ? B ? ( ) 。 又 由 3 3

a1 ? a, a2 ? b ,于是

?a ? A ? B ? A ? 3b ? 2a 2 n ?1 ? 故 a n ? 3b ? 2a ? 3(a ? b)( ) 2 ?? ? 3 ?b ? A ? 3 B ?B ? 3(a ? b) ?
类型 6 递推公式为 S n 与 an 的关系式。(或 Sn ? f (an ) ) 解 法 : 这 种 类 型 一 般 利 用

?S1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(n ? 1) an ? ? ?S n ? S n ?1 ? ? ? ? ? ? ? (n ? 2)



an ? S n ? S n?1 ? f (an ) ? f (an?1 ) 消去 S n (n ? 2) 或与 S n ? f (S n ? S n?1 ) (n ? 2) 消去 an
进行求解。 例:已知数列 ?an ? 前 n 项和 S n ? 4 ? a n ?

1 2
n?2

.(1)求 an?1 与 an 的关系; (2)求通项公式

an .
解 : ( 1 ) 由

S n ? 4 ? an ?

1 2
n?2

得 :

S n ?1 ? 4 ? a n ?1 ?

1 2 n ?1

于 是

S n ?1 ? S n ? (a n ? a n ?1 ) ? (

1 2
n?2

?

1 2 n ?1

)

所以 a n ?1 ? a n ? a n ?1 ?

1 1 1 ? a n ?1 ? a n ? n . n ?1 2 2 2

(2)应用类型 4( an?1 ? pan ? q n (其中 p,q 均为常数, ( pq( p ? 1)(q ? 1) ? 0) ) ) 的 方 法 , 上 式 两 边 同 乘 以

2 n ?1 得 : 2n?1 an?1 ? 2n an ? 2 由

1 ? a1 ? 1 .于是数列 2 n an 是以 2 为首项, 为公差的等差数列, 2 2 n 所以 2n an ? 2 ? 2(n ?1) ? 2n ? a n ? n ?1 2 a1 ? S1 ? 4 ? a1 ?
1? 2

?

?

、 类型 7 an?1 ? pan ? an ? b ( p ? 1 0,a

? 0)

解 法 : 这 种 类 型 一 般 利 用 待 定 系 数 法 构 造 等 比 数 列 , 即 令

an?1 ? x(n ? 1) ? y ? p(an ? xn ? y) , 与 已 知 递 推 式 比 较 , 解 出 x, y , 从 而 转 化 为

?an ? xn ? y?是公比为 p 的等比数列。
例:设数列 ?an ? : a1 ? 4, an ? 3an?1 ? 2n ? 1, (n ? 2) ,求 an .

解:设 bn ? an ? An ? B, 则an ? bn ? An ? B ,将 a n , a n ?1 代入递推式, 得

bn ? An ? B ? 3?bn?1 ? A(n ?1) ? B? ? 2n ?1 ? 3bn?1 ? (3A ? 2)n ? (3B ? 3A ? 1)
? A ? 3A ? 2 ?A ? 1 ? ?? ?? ? B ? 3B ? 3 A ? 1 ? B ? 1 ?

? 取bn ? an ? n ? 1 … ( 1 ) 则 bn ? 3bn?1 , 又 b1 ? 6 , 故

bn ? 6 ? 3n?1 ? 2 ? 3n 代入(1)得 an ? 2 ? 3n ? n ? 1
类型 9 a n?1 ?

f ( n) a n g ( n) a n ? h( n)

解法:这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为 an?1 ? pan ? q 。

例:已知数列{an}满足: an ?

an?1 , a1 ? 1 ,求数列{an}的通项公式。 3 ? an?1 ? 1

解:取倒数:

?1? 1 3 ? an?1 ? 1 1 ? ? ? 是等差数列, ? ? 3? an an?1 an?1 ? a n ?

1 1 1 ? ? (n ? 1) ? 3 ? 1 ? (n ? 1) ? 3 ? a n ? 3n ? 2 an a1
类型 14 周期型 解法:由递推式计算出前几项,寻找周期。

例:若数列 ?an ? 满足 a n ?1

1 ? ?2a n , (0 ? a n ? 2 ) 6 ? ?? ,若 a1 ? ,则 a 20 的值为___________。 7 ?2a ? 1, ( 1 ? a ? 1) n n ? 2 ?



6 ) 7

变式:(2005,湖南,文,5) 已知数列 {an } 满足 a1 ? 0, a n ?1 ?

an ? 3 3a n ? 1

(n ? N * ) ,则 a 20 =





(B)

A.0

B. ? 3

C. 3

D.

3 2

类型 11 an?1 ? an ? pn ? q 或 an?1 ? an ? pqn 解法:这种类型一般可转化为 ?a2 n?1 ?与 ?a2 n ? 是等差或等比数列求解。 例: (I)在数列 {an } 中, a1 ? 1, an?1 ? 6n ? an ,求 an (II)在数列 {an } 中, a1 ? 1, an an?1 ? 3n ,求 an


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