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云南师大附中2015届高三上学期第一次月考数学试卷(文科)


云南师大附中 2015 届高三上学期第一次月考数学试卷(文科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1. (5 分)已知全集 U 和集合 A,B 如图所示,则(?UA)∩B=()

A.{5,6}

B.{3,5,6}

C.{3}

D.{0,4,5,6,7,8}

2. (5 分) A.﹣2i

=() B . ﹣i C.1﹣i D.1+i

3. (5 分)在如下的四个电路图中,记:条件 M:“开关 S1”闭合;条件 N:“灯泡 L 亮”,则满 足 M 是 N 的必要不充分条件的图为()

A.

B.

C.

D. 4. (5 分)下列命题中为真命题的是() A.命题“若 x>y,则 x>|y|”的逆命题 2 B. 命题“x>1,则 x >1”的否命题 2 C. 命题“若 x=1,则 x +x﹣2=0”的否命题 2 D.命题“若 x >0,则 x>1”的逆否命题 5. (5 分)等差数列{an}的公差为 2,前 n 项和为 Sn,若 a1+1,a3,a6 成等比数列,则 Sn=() 2 A.n(n+1) B. n C.n(n﹣1) D.2n

6. (5 分)已知向量 , 满足| ﹣ |= A. B. 2

, ? =1,则| + |=() C. D.10

7. (5 分)在区间[0,1]内任取两个实数,则这两个实数的和大于 的概率为() A. B. C. D.

8. (5 分)在△ ABC 中,已知 sinC=2sinAcosB,那么△ ABC 一定是() A.等腰直角三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D.等边三角形 9. (5 分)已知函数 f(x)及其导数 f′(x) ,若存在 x0,使得 f′(x0)=f(x0) ,则称 x0 是 f(x) 的一个“和谐点”,下列函数中①f(x)=x ;②f(x)= 存在“和谐点”的是() A.①② B.①④
2

;③f(x)=lnx;④f(x)=x+ ,

C.①③④

D.②③④

10. (5 分)将边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,使得 BD=a,则三棱锥 D﹣ABC 的体积为() A. B. C. D.

11. (5 分)如图,网格纸上小方格的边长为 1(表示 1cm) ,图中粗线和虚线是某零件的三视 图,该零件是由一个底面半径为 4cm,高为 3cm 的圆锥毛坯切割得到,则毛坯表面积与切削 得的零件表面积的比值为()

A.

B.

C.

D.

12. (5 分)若函数 f(x)=alnx+ 在区间(1,+∞)上单调递增,则实数 a 的取值范围是() A.(﹣∞,﹣2] B.(﹣∞,﹣1] C.[1,+∞) D.[2,+∞)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

13. (5 分)设 A、B 分别是椭圆

=1(a>b>0)的左、右顶点,点 P 在 C 上且异于 A、

B 两点,若直线 AP 与 BP 的斜率之积为﹣ ,则 C 的离心率为.

14. (5 分) 定义一种新运算“?”: S=a?b, 其运算原理如图 3 的程序框图所示, 则 3?6﹣5?4=.

15. (5 分)设奇函数 f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数,且 f(2)=0,则不等式 ≥0 的解集为.
*

16. (5 分)已知数列{an}中,a1=1,前 n 项和为 Sn,且 Sn+1=2Sn+1(n∈N ) ,则 an=.

三、解答题(共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (12 分)已知函数 f(x)=cos x﹣ (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)若 x∈[0, ],求函数 f(x)的值域.
2

sinxcosx+2sin x﹣

2

18. (12 分)某日用品按行业质量标准分成五个等级,等级系数 X 依次为 1,2,3,4,5.现 从一批该日用品中随机抽取 20 件,对其等级系数进行统计分析,得到频率分布表如下: X 1 2 3 4 5 f a 0.2 0.45 b c (Ⅰ)若所抽取的 20 件日用品中,等级系数为 4 的恰有 3 件,等级系数为 5 的恰有 2 件,求 a、b、c 的值;

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,将等级系数为 4 的 3 件日用品记为 x1,x2,x3,等级系数为 5 的 2 件日用品记为 y1,y2,现从 x1,x2,x3,y1,y2,这 5 件日用品中任取两件(假定每件日用品 被取出的可能性相同) , 写出所有可能的结果, 并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率. 19. (12 分) 如图, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, PA⊥底面 ABCD, 四边形 ABCD 为长方形, AD=2AB, 点 E、F 分别是线段 PD、PC 的中点. (Ⅰ)证明:EF∥平面 PAB; (Ⅱ)在线段 AD 上是否存在一点 O,使得 BO⊥平面 PAC,若存在,请指出点 O 的位置,并 证明 BO⊥平面 PAC;若不存在,请说明理由.

20. (12 分)如图,已知抛物线 C:y =2px 和⊙M: (x﹣4) +y =1,过抛物线 C 上一点 H(x0, y0)作两条直线与⊙M 相切于 A、B 两点,分别交抛物线为 E、F 两点,圆心点 M 到抛物线准 线的距离为 .

2

2

2

(1)求抛物线 C 的方程; (2)当∠AHB 的角平分线垂直 x 轴时,求直线 EF 的斜率.

21. (12 分)已知函数 f(x)=ax﹣1﹣lnx,a∈R. (Ⅰ)讨论函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若函数 f(x)在 x=1 处取得极值,对?x∈(0,+∞) ,f(x)≥bx﹣2 恒成立,求实数 b 的取值范围.

【选修 4-1:几何证明选讲】 (共 1 小题,满分 10 分) 22. (10 分)如图,直线 AB 经过⊙O 上的点 C,并且 OA=OB,CA=CB,⊙O 交直线 OB 于 E、D,连接 EC、CD. (1)求证:直线 AB 是⊙O 的切线;

(2)若 tan∠CED= ,⊙O 的半径为 3,求 OA 的长.

【选修 4-4:坐标系与参数方程】 (共 1 小题,满分 0 分)

23.在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,在极坐标系(与

直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的 方程为 . (Ⅰ)求圆 C 的圆心到直线 l 的距离; (Ⅱ)设圆 C 与直线 l 交于点 A、B.若点 P 的坐标为(3, ) ,求|PA|+|PB|.

【选修 4-5:不等式选讲】 (共 1 小题,满分 0 分) 24.已知一次函数 f(x)=ax﹣2. (1)解关于 x 的不等式|f(x)|<4; (2)若不等式|f(x)|≤3 对任意的 x∈[0,1]恒成立,求实数 a 的范围.

云南师大附中 2015 届高三上学期第一次月考数学试卷 (文 科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1. (5 分)已知全集 U 和集合 A,B 如图所示,则(?UA)∩B=()

A.{5,6}

B.{3,5,6}

C.{3}

D.{0,4,5,6,7,8}

考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 先由文氏图求出集合 U,A,B,再由集合的运算法则求出(CUA)∩B. 解答: 解:由图可知,U={0,1,2,3,4,5,6,7,8}, A={1,2,3},B={3,5,6}, ∴(CUA)∩B={0,4,5,6,7,8}∩{3,5,6} ={5,6}. 故选 A. 点评: 本题考查集合的运算和应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意文氏图的合理运 用.

2. (5 分) A.﹣2i

=() B . ﹣i C.1﹣i D.1+i

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数的运算法则即可得出. 解答: 解: = =﹣i.

故选:B. 点评: 本题考查了复数的运算法则,属于基础题. 3. (5 分)在如下的四个电路图中,记:条件 M:“开关 S1”闭合;条件 N:“灯泡 L 亮”,则满 足 M 是 N 的必要不充分条件的图为()

A.

B.

C.

D. 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据充分条件和必要条件的定义结合物理知识进行判断即可. 解答: 解:对于图 A,M 是 N 的充分不必要条件. 对于图 B,M 是 N 的充要条件.

对于图 C,M 是 N 的必要不充分条件. 对于图 D,M 是 N 的既不充分也不必要条件. 故选:C 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,判断充分必要条件一般先明确条件与结 论,若由条件能推出结论,则充分性成立,若由结论能推出条件,则必要性成立. 4. (5 分)下列命题中为真命题的是() A.命题“若 x>y,则 x>|y|”的逆命题 2 B. 命题“x>1,则 x >1”的否命题 2 C. 命题“若 x=1,则 x +x﹣2=0”的否命题 2 D.命题“若 x >0,则 x>1”的逆否命题 考点: 四种命题的真假关系. 专题: 阅读型. 分析: 根据题意,依次分析题意,A 中命题的逆命题是“若 x>|y|,则 x>y”,正确;B 中命 2 2 题的否命题是“x≤1,则 x ≤1”,举反例即可;C 中命题的否命题是“若 x≠1,则 x +x﹣2≠0”,当 2 x=﹣2 时,x +x﹣2=0,故错误;D 中逆否命题与原命题同真假,只要判断原命题的真假即可. 解答: 解:A 中命题“若 x>y,则 x>|y|”的逆命题是“若 x>|y|,则 x>y”,无论 y 是正数、 负数、0 都成立; 2 B 中命题的否命题是“x≤1,则 x ≤1”,当 x=﹣1 时不成立; 2 2 C 中命题的否命题是“若 x≠1,则 x +x﹣2≠0”,当 x=﹣2 时,x +x﹣2=0,故错误; D 中逆否命题与原命题同真假,原命题假,故错误. 故选 A 点评: 本题考查四种命题及真假判断,属基础知识的考查. 5. (5 分)等差数列{an}的公差为 2,前 n 项和为 Sn,若 a1+1,a3,a6 成等比数列,则 Sn=() 2 A.n(n+1) B. n C.n(n﹣1) D.2n 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由题意列式求得等差数列的首项,然后直接代入等差数列的前 n 项和公式得答案. 解答: 解:由等差数列{an}的公差为 2,且 a1+1,a3,a6 成等比数列,得 即 解得 a1=2, ∴Sn= =n(n+1) . , ,

故选:A. 点评: 本题考查了等差数列的通项公式,考查了等比数列的性质,考查了等差数列的前 n 项和,是基础题.

6. (5 分)已知向量 , 满足| ﹣ |=

, ? =1,则| + |=()

A.

B. 2

C.

D.10

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 运用向量数量积的性质:向量的平方即为模的平方和完全平方公式,计算即可得到. 解答: 解:由已知得| ﹣ | =( ﹣ ) = = 即
2 2 2 2

+

2

﹣2 ?

+
2

2

﹣2=6,
2

+

=8,
2 2 2

即有| + | =( + ) =

+

2

+2 ? =8+2=10,

即 . 故选 C. 点评: 本题考查向量的数量积的性质,主要考查向量的平方即为模的平方,考查运算能力, 属于基础题. 7. (5 分)在区间[0,1]内任取两个实数,则这两个实数的和大于 的概率为() A. B. C. D.

考点: 几何概型. 专题: 概率与统计. 分析: 由题意,本题符合几何概型的概率求法,所以只要求出区域面积以及满足条件的区 域面积,由几何概型的公式解答即可.

解答: 解:设 x,y∈[0,1],作出不等式组

所表示的平面区域,如图

由几何概型知,所求概率 故选 D.



点评: 本题考查了几何概型公式的运用;当总体个数有无限多时的概率问题为几何概型, 若事件与两个变量有关时,可归结为面积问题进行解答. 8. (5 分)在△ ABC 中,已知 sinC=2sinAcosB,那么△ ABC 一定是() A.等腰直角三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D.等边三角形 考点: 三角形的形状判断. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 三角形的内角和为 π,利用诱导公式可知 sinC=sin(A+B) ,与已知联立,利用两角 和与差的正弦即可判断△ ABC 的形状; 解答: 解:∵在△ ABC 中,sinC=sin[π﹣(A+B)]=sin(A+B) , ∴sinC=2sinAcosB?sin(A+B)=2sinAcosB, 即 sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB, ∴sinAcosB﹣cosAsinB=0, ∴sin(A﹣B)=0, ∴A=B. ∴△ABC 一定是等腰三角形. 故选 B. 点评: 本题考查三角形的形状判断,考查两角和与差的正弦,利用 sinC=sin(A+B) 是关键, 属于中档题. 9. (5 分)已知函数 f(x)及其导数 f′(x) ,若存在 x0,使得 f′(x0)=f(x0) ,则称 x0 是 f(x) 的一个“和谐点”,下列函数中①f(x)=x ;②f(x)= 存在“和谐点”的是() A.①② B.①④
2

;③f(x)=lnx;④f(x)=x+ ,

C.①③④

D.②③④

考点: 导数的运算. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 分别求函数的导数,根据条件 f(x0)=f′(x0) ,确实是否有解即可.

解答: 解:①中的函数 f(x)=x ,f'(x)=2x.要使 f(x)=f′(x) ,则 x =2x,解得 x=0 或 2,可见函数有和谐点; 对于②中的函数,要使 f(x)=f′(x) ,则 e =﹣e ,由对任意的 x,有 e >0,可知方程 无解,原函数没有和谐点; 对于③中的函数,要使 f(x)=f′(x) ,则 lnx= ,由函数 f(x)=lnx 与 y= 的图象它们有交 点,因此方程有解,原函数有和谐点; 对于④中的函数,要使 f(x)=f′(x) ,则
3 2 2
﹣x ﹣x ﹣x

2

2

,即 x ﹣x +x+1=0,

3

2

设函数 g(x)=x ﹣x +x+1,g'(x)=3x ﹣2x+1>0 且 g(﹣1)<0,g(0)>0, 显然函数 g(x)在(﹣1,0)上有零点,原函数有和谐点. 故答案为:①③④ 故选:C 点评: 本题主要考查导数的应用,以及函数的方程的判断,对于新定义问题,关键是理解 其含义,本题的本质是方程有无实根问题. 10. (5 分)将边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,使得 BD=a,则三棱锥 D﹣ABC 的体积为() A. B. C. D.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 计算题. 分析: 取 AC 的中点 O,连接 DO,BO,求出三角形 DOB 的面积,求出 AC 的长,即可求 三棱锥 D﹣ABC 的体积. 解答: 解:O 是 AC 中点,连接 DO,BO,如图, △ ADC,△ ABC 都是等腰直角三角形, DO=B0= = ,BD=a,

△ BDO 也是等腰直角三角形,DO⊥AC,DO⊥BO,DO⊥平面 ABC, DO 就是三棱锥 D﹣ABC 的高, S△ ABC= a 三棱锥 D﹣ABC 的体积: 故选 D.
2



点评: 本题考查棱锥的体积,是基础题.

11. (5 分)如图,网格纸上小方格的边长为 1(表示 1cm) ,图中粗线和虚线是某零件的三视 图,该零件是由一个底面半径为 4cm,高为 3cm 的圆锥毛坯切割得到,则毛坯表面积与切削 得的零件表面积的比值为()

A.

B.

C.

D.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 求出圆锥毛坯的表面积,切削得的零件表面积,即可求出毛坯表面积与切削得的零 件表面积的比值. 解答: 解:圆锥毛坯的底面半径为 r=4cm,高为 h=3cm,则母线长 l=5cm, 所以圆锥毛坯的表面积 S 圆表=πrl+πr =π×4×5+π×4 =36π, 切削得的零件表面积 S 零件表=S 圆表+2π×2×1=40π, 所以所求比值为 = .
2 2

故选 D. 点评: 由三视图求几何体的表面积,关键是正确的分析原几何体的特征.

12. (5 分)若函数 f(x)=alnx+ 在区间(1,+∞)上单调递增,则实数 a 的取值范围是() A.(﹣∞,﹣2] B.(﹣∞,﹣1] C.[1,+∞) D.[2,+∞)

考点: 函数的单调性与导数的关系. 专题: 导数的综合应用. 分析: 求导数 f′(x)= ,所以根据已知的 f(x)在(1,+∞)上单调递增可得到 ax

﹣1≥0 在(1,+∞)上恒成立,而 a=0 和 a<0 都不能满足 ax﹣1≥0 恒成立,所以需 a>0.所 以一次函数 ax﹣1 为增函数,所以有 a﹣1≥0,这样即求出了实数 a 的取值范围. 解答: 解:f′(x)= ∵f(x)在(1,+∞)上单调递增; ;

∴f′(x)≥0 在(1,+∞)上恒成立; ∴ax﹣1≥0 在(1,+∞)上恒成立; 显然,需 a>0; ∴函数 y=ax﹣1 在[1,+∞)上是增函数; ∴a﹣1≥0,a≥1; ∴实数 a 的取值范围是[1,+∞) . 故选:C. 点评: 考查函数的单调性和函数导数符号的关系,以及一次函数的单调性,以及对增函数 定义的运用. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)设 A、B 分别是椭圆 =1(a>b>0)的左、右顶点,点 P 在 C 上且异于 A、

B 两点,若直线 AP 与 BP 的斜率之积为﹣ ,则 C 的离心率为



考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由题意可得 A(﹣a,0) ,B(a,0) ,设 P(x0,y0) ,由题意可得 ab 的关系式,结 合椭圆系数的关系和离心率的定义可得. 解答: 解:由题意可得 A(﹣a,0) ,B(a,0) ,设 P(x0,y0) , 则由 P 在椭圆上可得 + =1,∴y0 =
2

?b ,①

2

∵直线 AP 与 BP 的斜率之积为﹣ ,



?

=﹣ ,∴

= ﹣ ,②

把①代入②化简可得

= ,即

= ,



= ,∴离心率 e= =

=

故答案为: 点评: 本题考查椭圆的简单性质,涉及椭圆的离心率和直线的斜率公式,属中档题. 14. (5 分) 定义一种新运算“?”: S=a?b, 其运算原理如图 3 的程序框图所示, 则 3?6﹣5?4= ﹣3.

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 由框图可知算法的功能是求 的值. 解答: 解:由框图可知 , 从而由新定义可得 3?6﹣5?4

从而得:3?6﹣5?4=6(3﹣1)﹣5(4﹣1)=﹣3. 故答案为:﹣3. 点评: 本题主要考查了程序框图和算法,读懂程序框图,理解所定义的新运算,即可解答, 属于基本知识的考查. 15. (5 分)设奇函数 f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数,且 f(2)=0,则不等式 ≥0 的解集为[﹣2,0)∪(0,2].

考点: 奇偶性与单调性的综合;函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行等价转化即可. 解答: 解:∵奇函数 f(x)在(0,+∞)上为增函数,又 f(2)=0, ∴函数 f(x)在(﹣∞,0)上为增函数,且 f(﹣2)=﹣f(2)=0, ∴函数 f(x)的图象如图, 则不等式不等式 即 , ≥0 等价为 = ,

等价为 x>0 时,f(x)≤0,此时 0<x≤2. 当 x<0 时,f(x)≥0,此时﹣2≤x<0, 即不等式的解集是:[﹣2,0)∪(0,2]. 故答案为:[﹣2,0)∪(0,2].

点评: 本题主要考查不等式的解法,根据函数奇偶性和单调性的性质作出函数的草图是解 决本题的关键. 16. (5 分)已知数列{an}中,a1=1,前 n 项和为 Sn,且 Sn+1=2Sn+1(n∈N ) ,则 an=2 考点: 数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由 Sn+1=2Sn+1,当 n≥2 时,Sn=2Sn﹣1+1,可得 Sn+1﹣Sn=2(Sn﹣Sn﹣1) ,即 an+1=2an, 再利用等比数列的通项公式即可得出. 解答: 解:由 Sn+1=2Sn+1,当 n≥2 时,Sn=2Sn﹣1+1, ∴Sn+1﹣Sn=2(Sn﹣Sn﹣1) ,即 an+1=2an, ∴ ,
* n﹣1



又 a1=1,得 S2=2a1+1=3=a1+a2, ∴a2=2,∴ ,

因此 n=1 时也成立. ∴数列{an}是首项为 1,公比为 2 的等比数列, ∴ .

点评: 本题考查了等比数列的定义及其通项公式,一般遇到数列的前 n 项和之间的递推公 式,经常利用 an=Sn﹣Sn﹣1 进行转化求解.考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 三、解答题(共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (12 分)已知函数 f(x)=cos x﹣ (1)求函数 f(x)的最小正周期;
2

sinxcosx+2sin x﹣

2

(2)若 x∈[0,

],求函数 f(x)的值域.

考点: 正弦函数的图象;y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)利用三角函数的倍角公式将函数进行化简即可求函数 f(x)的最小正周期; (2)利用三角函数的图象和性质进行求解即可. 解答: 解: (1) ∵ . ∴其最小正周期为 (2)由(Ⅰ)知 又∵ ∴ ∴函数 f(x)的值域为 . . . , , = =

点评: 本题主要考查三角函数的图象和性质,利用三角函数的倍角公式以及辅助角公式将 函数化成 y=Asin(ωx+φ)形式再进行解答,是解决本题的关键. 18. (12 分)某日用品按行业质量标准分成五个等级,等级系数 X 依次为 1,2,3,4,5.现 从一批该日用品中随机抽取 20 件,对其等级系数进行统计分析,得到频率分布表如下: X 1 2 3 4 5 f a 0.2 0.45 b c (Ⅰ)若所抽取的 20 件日用品中,等级系数为 4 的恰有 3 件,等级系数为 5 的恰有 2 件,求 a、b、c 的值; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,将等级系数为 4 的 3 件日用品记为 x1,x2,x3,等级系数为 5 的 2 件日用品记为 y1,y2,现从 x1,x2,x3,y1,y2,这 5 件日用品中任取两件(假定每件日用品 被取出的可能性相同) , 写出所有可能的结果, 并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率. 考点: 概率的应用. 专题: 分类讨论;转化思想;概率与统计. 分析: (I)通过频率分布表得推出 a+b+c=0.35.利用等级系数为 4 的恰有 3 件,等级系数 为 5 的恰有 2 件,分别求出 b,c,然后求出 a. (II)根据条件列出满足条件所有的基本事件总数,“从 x1,x2,x3,y1,y2,这 5 件日用品中 任取两件,等级系数相等”的事件数,求解即可. 解答: 解: (I)由频率分布表得 a+0.2+0.45+b+c=1,即 a+b+c=0.35. 因为抽取的 20 件日用品中,等级系数为 4 的恰有 3 件,所以 b= =0.15

等级系数为 5 的恰有 2 件,所以 c=

=0.1

从而 a=0.35﹣0.1﹣0.15=0.1 所以 a=0.1,b=0.15,c=0.1. (II)从 x1,x2,x3,y1,y2,这 5 件日用品中任取两件,所有可能的结果为: {x1,x2},{x1,x3},{x1,y1},{x1,y2},{x2,x3},{x2,y1},{x2,y2},{x3,y1},{x3, y2},{y1,y2} 设事件 A 表示“从 x1,x2,x3,y1,y2,这 5 件日用品中任取两件,等级系数相等”,则 A 包含 的基本事件为: {x1,x2},{x1,x3},{x2,x3},{y1,y2}共 4 个, 又基本事件的总数为:10 故所求的概率 P(A)= =0.4

点评: 本题考查概率、统计等基本知识,考查数据处理能力、运算能力、应用意识.考查 函数与方程思想、分类与整合思想、必然与或然思想. 19. (12 分) 如图, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, PA⊥底面 ABCD, 四边形 ABCD 为长方形, AD=2AB, 点 E、F 分别是线段 PD、PC 的中点. (Ⅰ)证明:EF∥平面 PAB; (Ⅱ)在线段 AD 上是否存在一点 O,使得 BO⊥平面 PAC,若存在,请指出点 O 的位置,并 证明 BO⊥平面 PAC;若不存在,请说明理由.

考点: 直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 证明题. 分析: (I)根据平行线的传递性,得到 EF∥AB,再结合线面平行的判定定理,可得 EF∥ 平面 PAB. (II)在线段 AD 上存在靠 A 点较近的一个四等分点 O,使得 BO⊥平面 PAC.先在长方形 ABCD 中,证出△ ABO∽△ADC,利用角互余的关系,得到 AC⊥BO,再利用线面垂直的判 定定理, 可证出 PA⊥BO, 结合 PA、 AC 是平面 PAC 内的相交直线, 最终得到 BO⊥平面 PAC. 解答: 证明: (Ⅰ)∵四边形 ABCD 为长方形, ∴CD∥AB, ∵EF∥CD,∴EF∥AB, 又∵EF?平面 PAB,AB?平面 PAB, ∴EF∥平面 PAB. …(6 分) (Ⅱ) 在线段 AD 上存在一点 O,使得 BO⊥平面 PAC,

此时点 O 为线段 AD 的四等分点,满足 ∵长方形 ABCD 中, ∠BAO=∠ADC=90°, =

,…(8 分)

∴△ABO∽△ADC, ∴∠ABO+∠CAB=∠DAC+∠CAB=90°, ∴AC⊥BO, (10 分) 又∵PA⊥底面 ABCD,BO?底面 ABCD, ∴PA⊥BO, ∵PA∩AC=A,PA、AC?平面 PAC ∴BO⊥平面 PAC. (12 分)

点评: 本题以底面为长方形、一条侧棱垂直于底的四棱锥为载体,通过证明线线垂直和线 面平行,着重考查了线面平行的判定定理、线面垂直的判定与性质等知识点,属于中档题. 20. (12 分)如图,已知抛物线 C:y =2px 和⊙M: (x﹣4) +y =1,过抛物线 C 上一点 H(x0, y0)作两条直线与⊙M 相切于 A、B 两点,分别交抛物线为 E、F 两点,圆心点 M 到抛物线准 线的距离为 .
2 2 2

(1)求抛物线 C 的方程; (2)当∠AHB 的角平分线垂直 x 轴时,求直线 EF 的斜率.

考点: 直线与圆锥曲线的关系;抛物线的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)利用点 M(4,0)到抛物线准线的距离为 ,即可得出 p.

(2)当∠AHB 的角平分线垂直 x 轴时,点 H(4,2) ,可得 kHE=﹣kHF, 设 E(x1,y1) ,F(x2,y2) ,利用抛物线的方程和斜率计算公式即可得出.

解答: 解: (1)∵点 M(4,0)到抛物线准线的距离为 ∴p= ,即抛物线 C 的方程为 y =x.
2



(2)∵当∠AHB 的角平分线垂直 x 轴时,点 H(4,2) ,∴kHE=﹣kHF, 设 E(x1,y1) ,F(x2,y2) , ∴ ,

∴ ∴y1+y2=﹣2yH=﹣4. =



=



点评: 熟练掌握抛物线的标准方程及其性质、圆的切线的性质、斜率计算公式等是解题的 关键. 21. (12 分)已知函数 f(x)=ax﹣1﹣lnx,a∈R. (Ⅰ)讨论函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若函数 f(x)在 x=1 处取得极值,对?x∈(0,+∞) ,f(x)≥bx﹣2 恒成立,求实数 b 的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的单调性;函数恒成立问题. 专题: 导数的综合应用. 分析: ①对函数进行求导,然后令导函数大于 0 求出 x 的范围,令导函数小于 0 求出 x 的 范围,即可得到答案; ②由函数 f(x)在 x=1 处取得极值求出 a 的值,再依据不等式恒成立时所取的条件,求出实 数 b 的取值范围即可. 解答: 解: (Ⅰ)在区间(0,+∞)上, ①若 a≤0,则 f′(x)<0,f(x)是区间(0,+∞)上的减函数; ②若 a>0,令 f′(x)=0 得 x= . 在区间(0, )上,f′(x)<0,函数 f(x)是减函数; 在区间 上,f′(x)>0,函数 f(x)是增函数; .

综上所述,①当 a≤0 时,f(x)的递减区间是(0,+∞) ,无递增区间; ②当 a>0 时,f(x)的递增区间是 ,递减区间是 .

(II)因为函数 f(x)在 x=1 处取得极值,所以 f′(1)=0 解得 a=1,经检验满足题意.

由已知 f(x)≥bx﹣2,则 令 g(x)= =1+
2

,则
2

易得 g(x)在(0,e ]上递减,在[e ,+∞)上递增, 所以 g(x)min= ,即 .

点评: 本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系,即当导函数大于 0 时原 函数单调递增,当导函数小于 0 时原函数单调递减. 会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值. 掌握不等式恒成立时 所取的条件. 【选修 4-1:几何证明选讲】 (共 1 小题,满分 10 分) 22. (10 分)如图,直线 AB 经过⊙O 上的点 C,并且 OA=OB,CA=CB,⊙O 交直线 OB 于 E、D,连接 EC、CD. (1)求证:直线 AB 是⊙O 的切线; (2)若 tan∠CED= ,⊙O 的半径为 3,求 OA 的长.

考点: 圆的切线的性质定理的证明;直线与圆的位置关系;矩阵与矩阵的乘法的意义;简 单曲线的极坐标方程;直线的参数方程. 专题: 计算题;证明题. 分析: (1)要想证 AB 是⊙O 的切线,只要连接 OC,求证∠ACO=90°即可; (2)先由三角形判定定理可知,△ BCD∽△BEC,得 BD 与 BC 的比例关系,最后由切割线 定理列出方程求出 OA 的长. 解答: 解: (1)如图,连接 OC, ∵OA=OB,CA=CB, ∴OC⊥AB. ∴AB 是⊙O 的切线; (2)∵BC 是圆 O 切线,且 BE 是圆 O 割线, 2 ∴BC =BD?BE, ∵tan∠CED= ,∴ ∵△BCD∽△BEC,∴
2

. ,
2

设 BD=x,BC=2x.又 BC =BD?BE,∴(2x) =x?(x+6) ,

解得 x1=0,x2=2,∵BD=x>0,∴BD=2,∴OA=OB=BD+OD=3+2=5. (10 分) .

点评: 本题考查的是切线的判定、相似三角形的判定和性质,以及切割线定理的综合运用, 属于基础题. 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 (共 1 小题,满分 0 分)

23.在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,在极坐标系(与

直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的 方程为 . (Ⅰ)求圆 C 的圆心到直线 l 的距离; (Ⅱ)设圆 C 与直线 l 交于点 A、B.若点 P 的坐标为(3, ) ,求|PA|+|PB|. 考点: 直线的参数方程;简单曲线的极坐标方程. 专题: 直线与圆. 分析: (I)圆 C 的极坐标方程两边同乘 ρ,根据极坐标公式进行化简就可求出直角坐标方 程,最后再利用三角函数公式化成参数方程; (Ⅱ)将直线 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,得即 ,根据两交点 A,

B 所对应的参数分别为 t1,t2,利用根与系数的关系结合参数的几何意义即得. 解答: 解: (Ⅰ)由 . ,可得 ,即圆 C 的方程为



可得直线 l 的方程为



所以,圆 C 的圆心到直线 l 的距离为 (Ⅱ)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,得 . 由于△ =



…(5 分) ,即

.故可设 t1、t2 是上述方程的两个实根,

所以

,又直线 l 过点



故由上式及 t 的几何意义得



…(10 分)

点评: 此题考查学生会将极坐标方程和参数方程分别化为直角坐标方程和普通方程,掌握 直线参数方程中参数的几何意义,是一道中档题. 【选修 4-5:不等式选讲】 (共 1 小题,满分 0 分) 24.已知一次函数 f(x)=ax﹣2. (1)解关于 x 的不等式|f(x)|<4; (2)若不等式|f(x)|≤3 对任意的 x∈[0,1]恒成立,求实数 a 的范围. 考点: 绝对值不等式的解法;函数恒成立问题. 专题: 计算题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: (1)解绝对值不等式的关键是去绝对值,可利用绝对值不等式的解集,对 a 讨论, 分 a>0,a<0,即可得到解集; (2)对于不等式恒成立求参数范围问题,通常分离参数转化为函数的最值问题进行解答. 解答: 解: (1)|f(x)|<4 即为|ax﹣2|<4, 即﹣2<ax<6, 则当 a>0 时,不等式的解集为 当 a<0 时,不等式的解集为 (2)|f(x)|≤3?|ax﹣2|≤3?﹣3≤ax﹣2≤3 ?﹣1≤ax≤5? , ; .

∵x∈[0,1],∴当 x=0 时,不等式组恒成立;

当 x≠0 时,不等式组转化为

又∵



∴﹣1≤a≤5 且 a≠0 点评: 本题考查绝对值不等式的解法,考查不等式的恒成立问题转化为求最值,运用参数 分离和分类讨论是解题的关键.


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