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2016-2017学年江苏省苏州市高新区八年级数学上期中试卷.doc


江苏省苏州市高新区 2016-2017 学年八年级(上)期中数学 试卷(解析版)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 2 分,共 20 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一个选项是正确的,请把正确答案填在后面表格中相应的位置) 1.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中,是轴对称图形的是( )

A.

B.

C.

D.

2.下列实数 A.2 个 3.式子 A.x>1









,0.1,﹣0.010010001,其中无理数有( C .4 个 ) D.x≤1 ) D.1.5 或 2 D.5 个



B.3 个

在实数范围内有意义,则 x 的取值范围是( B.x≥1 C.x<1

4.等腰三角形一边长为 2,周长为 5,则它的腰长为( A.2 B.5 C.1.5 )

5.下列三角形中,可以构成直角三角形的有( A.三边长分别为 2,2,3 C.三边长分别为 4,5,6

B.三边长分别为 3,3,5 D.三边长分别为 1.5,2,2.5 )

6.到△ABC 的三条边距离相等的点是△ABC 的( A.三条中线交点 C.三条高的交点 B.三条角平分线交点 D.三条边的垂直平分线交点

7.如图是“赵爽弦图”,△ABH、△BCG、△CDF 和△DAE 是四个全等的直角三角形,四 边形 ABCD 和 EFGH 都是正方形,如果 AB=10,EF=2,那么 AH 等于( )

A.8

B.6

C .4

D.5

8.如图,数轴上 A,B 两点表示的数分别为﹣1 和 C 所表示的数为( A.﹣2﹣ ) B.﹣1﹣

,点 B 关于点 A 的对称点为 C,则点

C.﹣2+

D.1+

9.已知∠AOB=30° ,点 P 在∠AOB 内部,点 P1 与点 P 关于 OA 对称,点 P2 与点 P 关于 OB 对称,则△P1OP2 是( A.含 30° 角的直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 ) B.顶角是 30° 的等腰三角形

10.如图,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,DE⊥BC,垂足为点 E,连接 AC 交 DE 于点 F, 点 G 为 AF 的中点,∠ACD=2∠ACB.若 DG=3,EC=1,则 DE 的长为( )

A.2

B.

C .2

D.

二、填空题(本大题共 8 小题,每小题 2 分,共 16 分,把答案填写在相应位置上) 11.近似数 3.20×106 精确到 12.如图,则小正方形的面积 S= 万位. .

13.若 a<

2 2 <b,且 a,b 为连续正整数,则 b ﹣a =

. ﹣ = .

14.实数 a、b 在数轴上的位置如图所示,化简:|a|﹣

15.已知 y=

+

﹣8,则

=

. ° .

16.一个等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角为 40° ,则它的顶角为:

17.如图,在△ABC 中,∠C=90° ,BD 是∠ABC 的平分线,DE⊥AB,AC=8cm,AE=4cm, 则 DE 的长是 .

18.如图,长方形 ABCD 中,∠DAB=∠B=∠C=∠D=90° ,AD=BC=8,AB=CD=17.点 E 为射线 DC 上的一个动点,△ADE 与△AD′E 关于直线 AE 对称,当△AD′B 为直角三角形 时,DE 的长为 .

三、解答题(本大题共 10 题,共 64 分,请写出必要的计算过程或推演步骤) 19.(8 分)计算: (1) (2) ﹣(
2 ) +(﹣ )
﹣1



﹣|

﹣4|

20.(6 分)求下列各式中的 x
2 (1)4x =81; 3 (2)(2x+10) =﹣27.

21.(4 分)已知 5x﹣1 的算术平方根是 3,4x+2y+1 的立方根是 1,求 4x﹣2y 的平方根. 22.(5 分)如图,AD 是∠BAC 的平分线,点 E 在 AB 上,且 AE=AC,EF∥BC 交 AC 于 点 F. 试说明:EC 平分∠DEF.

23.(6 分)已知,如图△ABC 中,AB=AC,D 点在 BC 上,且 BD=AD,DC=AC, (1)写出图中两个等腰三角形; (2)求∠B 的度数.

24.如图 1,利用网格线用三角尺画图,在 AC 上找一点 P,使得 P 到 AB、BC 的距离相等; (2)图 2 是 4×5 的方格纸,其中每个小正方形的边长均为 1cm,每个小正方形的顶点称为 格点.请在图 2 的方格纸中画出一个面积为 10cm 的正方形,使它的顶点都在格点上.
2

25.(6 分)如图,一架 10 米长的梯子 AB,斜靠在一竖直的墙 AC 上,梯子的顶端距地面 的垂直距离为 8 米,如果梯子的顶端沿墙下滑 1 米. (1)求它的底端滑动多少米? (2)为了防止梯子下滑,保证安全,小强用一根绳子连结在墙角 C 与梯子的中点 D 处,你 认为这样效果如何?请简要说明理由.

26. BE 平分∠ABC, ED⊥AB 于 D. (7 分) 如图, 在△ABC 中, ∠ACB=90° , 如果∠A=30° , AE=6cm. (1)求证:AE=BE; (2)求 AB 的长; (2)若点 P 是 AC 上的一个动点,则△BDP 周长的最小值= .

27.(8 分)在△ABC 中,AB=8,BC=10,AC=6,动点 P 从点 C 出发,沿着 CB 运动,速 度为每秒 2 个单位,到达点 B 时运动停止,设运动时间为 t 秒,请解答下列问题: (1)求 BC 上的高; (2)当 t 为何值时,△ACP 为等腰三角形?

28.(8 分)如图,在△ABC 中,∠BAC=90° ,AB=AC,BD 平分∠ABC 时 (1)若 CE⊥BD 于 E, ①∠ECD= ° ;

②求证:BD=2EC; (2)如图,点 P 是射线 BA 上 A 点右边一动点,以 CP 为斜边作等腰直角△CPF,其中∠ F=90° ,点 Q 为∠FPC 与∠PFC 的角平分线的交点.当点 P 运动时,点 Q 是否一定在射线 BD 上?若在,请证明,若不在;请说明理由.

2016-2017 学年江苏省苏州市高新区八年级(上)期中数学试卷 参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 2 分,共 20 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一个选项是正确的,请把正确答案填在后面表格中相应的位置) 1.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中,是轴对称图形的是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】轴对称图形. 【分析】根据轴对称图形的概念求解.如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合, 这样的图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴. 【解答】解:A、是轴对称图形,故 A 符合题意; B、不是轴对称图形,故 B 不符合题意; C、不是轴对称图形,故 C 不符合题意; D、不是轴对称图形,故 D 不符合题意. 故选:A. 【点评】本题主要考查轴对称图形的知识点.确定轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两 部分折叠后可重合.

2.下列实数 A.2 个









,0.1,﹣0.010010001,其中无理数有( C .4 个 D.5 个



B.3 个

【考点】无理数. 【分析】由于所以初中常见的无理数有三类:①π 类;②开方开不尽的数,如 律但无限不循环的数,如 0.8080080008…(2015?武汉校级模拟)式子 有意义,则 x 的取值范围是( A.x>1 ) C.x<1 D.x≤1 ;③有规

在实数范围内

B.x≥1

【考点】二次根式有意义的条件.

【分析】根据被开方数大于等于 0 列式计算即可得解. 【解答】解:由题意得,x﹣1≥0, 解得 x≥1. 故选 B. 【点评】本题考查的知识点为:二次根式的被开方数是非负数.

4.等腰三角形一边长为 2,周长为 5,则它的腰长为( A.2 B.5 C.1.5

) D.1.5 或 2

【考点】等腰三角形的性质;三角形三边关系. 【分析】 分别从若等腰三角形的腰长为 2 与若等腰三角形的底边长为 2 去分析求解即可求得 答案. 【解答】解:若等腰三角形的腰长为 2, 则底边长为:5﹣2﹣2=1, ∵2+1>2, 能组成三角形, 此时它的腰长为 2; 若等腰三角形的底边长为 2, 则腰长为: ∵1.5+1.5>2, 能组成三角形, 此时它的腰长为 1.5. ∴它的腰长为 1.5 或 2. 故选 D. 【点评】此题考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系.此题难度不大,注意掌握分 类讨论思想的应用. =1.5,

5.下列三角形中,可以构成直角三角形的有( A.三边长分别为 2,2,3 C.三边长分别为 4,5,6



B.三边长分别为 3,3,5 D.三边长分别为 1.5,2,2.5

【考点】勾股定理的逆定理. 【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一分析即可.
2 2 2 【解答】解:A、由于 2 +2 =8≠3 =9,故本选项错误;

B、由于 22+22=8≠32=9,故本选项错误; C、由于 22+22=8≠32=9,故本选项错误; D、由于 22+22=8≠32=9,故本选项正确. 故选 D.
2 2 2 【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理,即如果三角形的三边长 a,b,c 满足 a +b =c ,

那么这个三角形就是直角三角形.

6.到△ABC 的三条边距离相等的点是△ABC 的( A.三条中线交点 C.三条高的交点 B.三条角平分线交点 D.三条边的垂直平分线交点



【考点】角平分线的性质. 【分析】由于角平分线上的点到角的两边的距离相等,而已知一点到△ABC 的三条边距离 相等,那么这样的点在这个三角形的三条角平分线上,由此即可作出选择. 【解答】解:∵到△ABC 的三条边距离相等, ∴这点在这个三角形三条角平分线上, 即这点是三条角平分线的交点. 故选 B. 【点评】此题主要考查了三角形的角平分线的性质:三条角平分线交于一点,并且这一点到 三边的距离相等.

7.如图是“赵爽弦图”,△ABH、△BCG、△CDF 和△DAE 是四个全等的直角三角形,四 边形 ABCD 和 EFGH 都是正方形,如果 AB=10,EF=2,那么 AH 等于( )

A.8

B.6

C .4

D.5

【考点】勾股定理的证明. 【分析】根据面积的差得出 a+b 的值,再利用 a﹣b=2,解得 a,b 的值代入即可. 【解答】解:∵AB=10,EF=2, ∴大正方形的面积是 100,小正方形的面积是 4, ∴四个直角三角形面积和为 100﹣4=96,设 AE 为 a,DE 为 b,即 4× ab=96,
2 2 ∴2ab=96,a +b =100, 2 2 2 ∴(a+b) =a +b +2ab=100+96=196,

∴a+b=14, ∵a﹣b=2, 解得:a=8,b=6, ∴AE=8,DE=6, ∴AH=8﹣2=6. 故答案为:6. 【点评】 此题考查勾股定理的证明,关键是应用直角三角形中勾股定理的运用解得 ab 的值.

8.如图,数轴上 A,B 两点表示的数分别为﹣1 和 C 所表示的数为( A.﹣2﹣ 【考点】实数与数轴. 【分析】由于 A,B 两点表示的数分别为﹣1 和 据 C 在原点的左侧,进而可求出 C 的坐标. 【解答】解:∵对称的两点到对称中心的距离相等, ∴CA=AB,|﹣1|+| ∴OC=2+ |=1+ , ) B.﹣1﹣

,点 B 关于点 A 的对称点为 C,则点

C.﹣2+

D.1+

,先根据对称点可以求出 OC 的长度,根

,而 C 点在原点左侧, .

∴C 表示的数为:﹣2﹣ 故选 A.

【点评】 本题主要考查了求数轴上两点之间的距离, 同时也利用对称点的性质及利用数形结 合思想解决问题.

9.已知∠AOB=30° ,点 P 在∠AOB 内部,点 P1 与点 P 关于 OA 对称,点 P2 与点 P 关于 OB 对称,则△P1OP2 是( A.含 30° 角的直角三角形 C.等边三角形 【考点】轴对称的性质. 【分析】根据轴对称的性质,结合等边三角形的判定求解. 【解答】解:∵P 为∠AOB 内部一点,点 P 关于 OA、OB 的对称点分别为 P1、P2, ∴OP=OP1=OP2 且∠P1OP2=2∠AOB=60° , ∴故△P1OP2 是等边三角形. 故选 C. D.等腰直角三角形 ) B.顶角是 30° 的等腰三角形

【点评】本题考查轴对称的性质,对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直,对应点所 连的线段被对称轴垂直平分, 对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等, 对应的角、 线段都相等.

10.如图,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,DE⊥BC,垂足为点 E,连接 AC 交 DE 于点 F, 点 G 为 AF 的中点,∠ACD=2∠ACB.若 DG=3,EC=1,则 DE 的长为( )

A.2

B.

C .2

D.

【考点】勾股定理;等腰三角形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线. 【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质可得 DG=AG,根据等腰三角形的性质可得∠ GAD=∠GDA,根据三角形外角的性质可得∠CGD=2∠GAD,再根据平行线的性质和等量 关系可得∠ACD=∠CGD, 根据等腰三角形的性质可得 CD=DG,再根据勾股定理即可求解. 【解答】解:∵AD∥BC,DE⊥BC,

∴DE⊥AD,∠CAD=∠ACB,∠ADE=∠BED=90° , 又∵点 G 为 AF 的中点, ∴DG=AG, ∴∠GAD=∠GDA, ∴∠CGD=2∠CAD, ∵∠ACD=2∠ACB=2∠CAD, ∴∠ACD=∠CGD, ∴CD=DG=3, 在 Rt△CED 中,DE= 故选:C. 【点评】综合考查了勾股定理,等腰三角形的判定与性质和直角三角形斜边上的中线,解题 的关键是证明 CD=DG=3. =2 .

二、填空题(本大题共 8 小题,每小题 2 分,共 16 分,把答案填写在相应位置上) 11.近似数 3.20×106 精确到 【考点】近似数和有效数字. 【分析】根据近似数的精确度求解. 【解答】解:3.20×10 精确到万位. 故答案为万. 【点评】本题考查了近似数和有效数字:经过四舍五入得到的数称为近似数;从一个近似数 左边第一个不为 0 的数数起到这个数完,所以这些数字都叫这个近似数的有效数字.
6

万 万位.

12.如图,则小正方形的面积 S= 30 .

【考点】勾股定理.
2 2 2 2 2 【分析】在直角△ABC 中,AB 为斜边,则存在 AB =AC +BC ,根据 AB =80,AC =50,

可以求得 BC ,即小正方形面积 S.

2

2 2 【解答】解:由题意知 AB =80,AC =50,

在直角三角形中,AB 为斜边,
2 2 2 ∴AB =AC +BC , 2 2 ∵AB =80,AC =50, 2 ∴BC =80﹣50=30, 2 即 S=BC =30.

故答案为:30.

【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用,考查了正方形面积的计算,本题中正 确的根据勾股定理求 BC 是解题的关键.
2

13.若 a<

2 2 <b,且 a,b 为连续正整数,则 b ﹣a = 7



【考点】估算无理数的大小.
2 2 【分析】因为 3 <13<4 ,所以 3<

<4,求得 a、b 的数值,进一步求得问题的答案即

可.
2 2 【解答】解:∵3 <13<4 ,

∴3<

<4,

即 a=3,b=4,
2 2 ∴b ﹣a =7.

故答案为:7. 【点评】此题考查无理数的估算,利用平方估算出根号下的数值的取值,进一步得出无理数 的取值范围,是解决这一类问题的常用方法.

14.实数 a、b 在数轴上的位置如图所示,化简:|a|﹣



= ﹣b .

【考点】二次根式的性质与化简;实数与数轴. 【分析】利用数轴可得出 a<0,b>0,进而化简求出答案.

【解答】解:由数轴可得:a<0,b>0, 则|a|﹣ =﹣b. 故答案为:﹣b. 【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简,正确得出 a,b 的符号是解题关键. ﹣ =﹣a﹣(﹣a)﹣b

15.已知 y=

+

﹣8,则

= 4 .

【考点】二次根式有意义的条件;立方根. 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式,求出 x、y 的值,根据立方根的定义计算 即可. 【解答】解:由题意得,x﹣24≥0,24﹣x≥0, 解得,x=24, 则 y=﹣8, 故 =4,

故答案为:4. 【点评】 本题考查的是二次根式有意义的条件, 掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题 的关键.

16.一个等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角为 40° ,则它的顶角为: 50 或 130 ° . 【考点】等腰三角形的性质;直角三角形的性质. 【分析】等腰三角形分为锐角、直角、钝角等腰三角形,当为等腰直角三角形时不可能出现 题中所说情况, 所以舍去不计, 另外两种情况可以根据垂直的性质及外角的性质求出顶角的 度数. 【解答】解:①当为锐角三角形时,如图, 高与右边腰成 40° 夹角,由三角形内角和为 180° 可得,顶角为 50° ; ②当为钝角三角形时,如图,此时垂足落到三角形外面, 因为三角形内角和为 180° , 由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为 50° , 所以三角形的顶角为 130° .

故答案为 50° 或 130° .

【点评】 本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理, 做题时, 考虑问题要全面, 进行分类讨论是正确解答本题的关键,难度适中.

17.如图,在△ABC 中,∠C=90° ,BD 是∠ABC 的平分线,DE⊥AB,AC=8cm,AE=4cm, 则 DE 的长是 3cm .

【考点】角平分线的性质. 【分析】先根据角平分线的性质得出 CD=DE,再设 DE=x,则 CD=x,故 AD=8﹣x,再由 勾股定理求出 x 的值即可. 【解答】解:∵在△ABC 中,∠C=90° ,BD 是∠ABC 的平分线,DE⊥AB, ∴CD=DE,再设 DE=x,则 CD=x,AD=8﹣x, 在 Rt△ADE 中,
2 2 2 2 2 2 ∵AE +DE =AD ,即 4 +x =(8﹣x) ,解得 x=3cm.

故答案为:3cm. 【点评】 本题烤鹌鹑的是角平分线的性质, 熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是 解答此题的关键.

18.如图,长方形 ABCD 中,∠DAB=∠B=∠C=∠D=90° ,AD=BC=8,AB=CD=17.点 E 为射线 DC 上的一个动点,△ADE 与△AD′E 关于直线 AE 对称,当△AD′B 为直角三角形 时,DE 的长为 2 或 32 .

【考点】翻折变换(折叠问题). 【分析】分两种情况:点 E 在 DC 线段上,点 E 为 DC 延长线上的一点,进一步分析探讨得 出答案即可. 【解答】解:如图 1,

∵折叠, ∴△AD′E≌△ADE, ∴∠AD′E=∠D=90° , ∵∠AD′B=90°, ∴B、D′、E 三点共线, 又∵ABD′∽△BEC,AD′=BC, ∴ABD′≌△BEC, ∴BE=AB=17, ∵BD′= ∴DE=D′E=17﹣15=2; 如图 2, = =15,

∵∠ABD″+∠CBE=∠ABD″+∠BAD″=90°, ∴∠CBE=∠BAD″, 在△ABD″和△BEC 中, , ∴△ABD″≌△BEC, ∴BE=AB=17, ∴DE=D″E=17+15=32. 综上所知,DE=2 或 32. 故答案为:2 或 32. 【点评】此题考查翻折的性质,三角形全等的判定与性质,勾股定理,掌握翻折的性质,分 类探讨的思想方法是解决问题的关键.

三、解答题(本大题共 10 题,共 64 分,请写出必要的计算过程或推演步骤) 19.计算: (1) (2) ﹣(
2 ) +(﹣ )
﹣1



﹣|

﹣4|

【考点】实数的运算;负整数指数幂. 【分析】(1)原式利用二次根式性质,平方根定义,以及负整数指数幂法则计算即可得到 结果; (2)原式利用二次根式性质,立方根定义,以及绝对值的代数意义化简,计算即可得到结 果. 【解答】解:(1)原式=2 (2)原式=3+2﹣4+ = ﹣3﹣2=2 +1. ﹣5;

【点评】此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.

20.求下列各式中的 x
2 (1)4x =81; 3 (2)(2x+10) =﹣27.

【考点】平方根;立方根.
2 【分析】(1)先变形为 x =

,然后根据平方根的定义求

的平方根即可;

(2)根据题意求出﹣27 的立方根,即有 2x+10=
2 【解答】(1)解:∵x =

=﹣3,然后解一元一次方程即可.



∴x=±

=± ;

(2)解:2x+10= ∴2x+10=﹣3, ∴x=﹣ .



【点评】本题考查了平方根的定义:若一个数的平方等于 a,那么这个数叫 a 的平方根,记 作± (a≥0);也考查了立方根的定义.

21.已知 5x﹣1 的算术平方根是 3,4x+2y+1 的立方根是 1,求 4x﹣2y 的平方根. 【考点】立方根;平方根;算术平方根. 【分析】根据算术平方根、立方根的定义求出 x、y 的值,求出 4x﹣2y 的值,再根据平方根 定义求出即可. 【解答】解:∵5x﹣1 的算术平方根为 3, ∴5x﹣1=9, ∴x=2, ∵4x+2y+1 的立方根是 1, ∴4x+2y+1=1, ∴y=﹣4, 4x﹣2y=4×2﹣2×(﹣4)=16, ∴4x﹣2y 的平方根是±4. 【点评】本题考查了平方根、立方根、算术平方根的应用,解此题的关键是求出 x、y 的值, 主要考查学生的理解能力和计算能力.

22.如图,AD 是∠BAC 的平分线,点 E 在 AB 上,且 AE=AC,EF∥BC 交 AC 于点 F.

试说明:EC 平分∠DEF.

【考点】等腰三角形的性质;平行线的性质;全等三角形的判定与性质. 【分析】先根据 SAS 证明△ACD≌△AED,再根据全等三角形的性质得到 CD=ED,由等腰 三角形的性质和平行线的性质可得∠DEC=∠FEC,从而得出结论. 【解答】证明:∵AD 平分∠BAC, ∴∠BAD=∠CAD, 在△ACD 与△AED 中, ∵ ,

∴△ACD≌△AED(SAS), ∴CD=ED, ∴∠DEC=∠DCE, ∵EF∥BC, ∴∠FEC=∠DCE, ∴∠DEC=∠FEC, ∴CE 平分∠DEF. 【点评】考查了全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质和平行线的性质,解题的关键 是 SAS 证明△ACD≌△AEC.

23.已知,如图△ABC 中,AB=AC,D 点在 BC 上,且 BD=AD,DC=AC, (1)写出图中两个等腰三角形; (2)求∠B 的度数.

【考点】等腰三角形的判定与性质;三角形内角和定理. 【分析】(1)根据,AB=AC,DC=AC,BD=AD 可判断出等腰三角形. (2)设∠B=x° ∵BD=AD∴∠DAB=∠B=x° ,利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即 可解题. 【解答】(1)△ABC,△ACD.△ABD, 解:由 AB=AC,可得△ABC 是等腰三角形;由 BD=AD,可得△ABD 是等腰三角形; 由 DC=AC 得△ACD 是等腰三角形.

(2)设∠B=x, ∵BD=AD, ∴∠DAB=∠B=x, ∵AB=AC, ∴∠C=∠B=x, ∵DC=AC, ∴∠CAD=∠ADC=∠DAB+∠B=2x, 在△ACD 中,由∠CAD+∠ADC+∠C=180° ,得 2x+2x+x=180, 解得 x=36° ,∴∠B=36° . 答:∠B 的度数为 36° . 【点评】 此题考查学生对等腰三角形判定与性质和三角形内角和定理的理解和掌握, 难度不 大,是一道基础题

24.(1)如图 1,利用网格线用三角尺画图,在 AC 上找一点 P,使得 P 到 AB、BC 的距 离相等; (2)图 2 是 4×5 的方格纸,其中每个小正方形的边长均为 1cm,每个小正方形的顶点称为 格点.请在图 2 的方格纸中画出一个面积为 10cm 的正方形,使它的顶点都在格点上.
2

【考点】作图—基本作图;角平分线的性质. 【分析】(1)作∠ABC 的平分线交 AC 于点 P,则点 P 即为所求; (2)根据勾股定理及正方形的性质即可得出结论. 【解答】解:(1)如图 1 所示;

(2)如图 2 所示.

【点评】本题考查的是作图﹣基本作图,熟知角平分线的性质是解答此题的关键.

25.如图,一架 10 米长的梯子 AB,斜靠在一竖直的墙 AC 上,梯子的顶端距地面的垂直距 离为 8 米,如果梯子的顶端沿墙下滑 1 米. (1)求它的底端滑动多少米? (2)为了防止梯子下滑,保证安全,小强用一根绳子连结在墙角 C 与梯子的中点 D 处,你 认为这样效果如何?请简要说明理由.

【考点】勾股定理的应用. 【分析】(1)在直角△ABC 中,根据勾股定理求得 BC 的长度;然后在直角△A1BC1 中, 根据勾股定理求得 B1C 的长度,则 BB1=B1C﹣BC; (2)因为在直角三角形中:斜边上的中线等于斜边的一半,斜边为梯子的长度不变,所以 绳子的长度不变,并不拉伸,对梯子无拉力作用. 【解答】解:(1)在直角△ABC 中,∠ACB=90° ,AB=10 米,AC=8 米,由勾股定理得 BC= =6 米. .

在直角△A1BC1 中,∠C=90° ,A1B1=10,A1C=7,由勾股定理得 B1C= 所以 BB1=B1C﹣BC= 答:它的底端滑动( ﹣7 ﹣7)米.

(2)并不稳当,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,梯子若下滑,绳子的长度 不变,并不拉伸,对梯子无拉力作用. 【点评】 本题考查了勾股定理在实际生活中的应用, 本题中根据梯子长不会变的等量关系求 解是解题的关键.

26. BE 平分∠ABC, ED⊥AB 于 D. AE=6cm. 如图, 在△ABC 中, ∠ACB=90° , 如果∠A=30° , (1)求证:AE=BE; (2)求 AB 的长; (2)若点 P 是 AC 上的一个动点,则△BDP 周长的最小值= 9+3 .

【考点】轴对称-最短路线问题;角平分线的性质;含 30 度角的直角三角形. 【分析】(1)根据平分线的性质和三角形内角和解答即可; (2)根据勾股定理进行解答即可; (3)根据等腰三角形的性质解答即可. 【解答】解:(1)∵∠ACB=90° ,∠A=30° ∴∠ABC=90° ﹣∠A=60°

∵BE 平分∠ABC ∴∠ABE=30° ∴∠ABE=∠A ∴AE=BE (2)∵ED⊥AB,∠A=30° , ∴ED= AE=3cm ∴ ∵AE=BE,DE⊥AB ∴AB=2AD=6 (3)若点 P 是 AC 上的一个动点,则△BDP 周长的最小值时为△BDP 等腰三角形, 可得最小值为:9+3 故答案为:9+3 . . ,

【点评】 本题主要考查角平分线的性质, 掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的 关键.

27.在△ABC 中,AB=8,BC=10,AC=6,动点 P 从点 C 出发,沿着 CB 运动,速度为每 秒 2 个单位,到达点 B 时运动停止,设运动时间为 t 秒,请解答下列问题: (1)求 BC 上的高; (2)当 t 为何值时,△ACP 为等腰三角形?

【考点】等腰三角形的判定. 【分析】(1)过点 A 作 AD⊥BC 于点 D,根据三角形的面积公式解答即可; (2)根据等腰三角形的性质分三种情况进行解答即可. 【解答】解:(1)过点 A 作 AD⊥BC 于点 D,

2 2 ∵AB +AC =100 2 2 2 ∴AB +AC =BC

BC2=100

∴∠BAC=90° ∴ ∴AD=4.8;

即△ABC 为直角三角形,

(2)当 AC=PC 时, ∵AC=6, ∴AC=PC=6, ∴t=3 秒; 当 AP=AC 时,过点 A 作 AD⊥BC 于点 D, PD=DC CD= ∴PC=7.2, ∴t=3.6 秒; 当 AP=PC 时, ∠PAC=∠C ∵∠BAC=90° ∴∠BAP+∠PAC=90° ∠B+∠C=90° ∴∠BAP=∠B ∴PB=PA ∴PB=PC=5 ∴t=2.5 综上所述,t=3 秒或 3.6 秒或 2.5 秒. =3.6,

【点评】 此题考查等腰三角形的判定和性质, 关键是根据等腰三角形的性质分三种情况进行 解答.

28.如图,在△ABC 中,∠BAC=90° ,AB=AC,BD 平分∠ABC 时 (1)若 CE⊥BD 于 E, ①∠ECD= 22.5 ° ;

②求证:BD=2EC; (2)如图,点 P 是射线 BA 上 A 点右边一动点,以 CP 为斜边作等腰直角△CPF,其中∠ F=90° ,点 Q 为∠FPC 与∠PFC 的角平分线的交点.当点 P 运动时,点 Q 是否一定在射线 BD 上?若在,请证明,若不在;请说明理由.

【考点】三角形综合题. 【分析】(1)①先运用三角形内角和定理,得出∠ABD=∠ECD,再根据∠ABD=22.5° ,得 到∠ECD=22.5° ;②延长 CE 交 BA 的延长线于点 G,通过判定△ABD≌△ACG,得出 BD=CG=2CE 即可; (2)连接 CQ,过点 Q 作 QM⊥BP 于 M,作 QN⊥BC 于 N,在等腰直角△CPF 中,求得 ∠QCP=∠QPC=22.5° ,进而得出△PQC 中,∠PQC=135° ;在四边形 QNBM 中,根据 QM ⊥BP,QN⊥BC,∠ABC=45° ,得到∠MQN=135° ,进而得到∠NQC=∠MQP,根据 AAS 判定△QPM≌△QCN,得出 QM=QN,最后根据角平分线的性质定理的逆定理,得出点 Q 一定在射线 BD 上. 【解答】解:(1)①∵∠BAC=90° ,CE⊥BD,∠ADB=∠CDE, ∴∠ABD=∠ECD, 又∵∠BAC=90° ,AB=AC,BD 平分∠ABC, ∴∠ABD=22.5° , ∴∠ECD=22.5° ;

故答案为:22.5.

②如图,延长 CE 交 BA 的延长线于点 G,

∵BD 平分∠ABC,CE⊥BD, ∴CE=GE, 在△ABD 与△ACG 中, , ∴△ABD≌△ACG(AAS), ∴BD=CG=2CE;

(2)点 Q 一定在射线 BD 上, 理由:如图,连接 CQ,过点 Q 作 QM⊥BP 于 M,作 QN⊥BC 于 N,

∵QF 为∠PFC 的角平分线,△CPF 为等腰直角三角形, ∴QF 为 PC 的垂直平分线, ∴PQ=QC, ∵Q 为∠FPC 与∠PFC 的角平分线的交点, ∴CQ 平分∠FCP,

∵△CPF 为等腰直角三角形, ∴∠FCP=∠FPC=45° , ∴∠QCP=∠QPC=22.5° , ∴△PQC 中,∠PQC=135° , ∵在四边形 QNBM 中,QM⊥BP,QN⊥BC,∠ABC=45° , ∴∠MQN=135° , ∴∠MQN=∠PQC, ∴∠NQC=∠MQP, 又∵QC=QP,QM⊥BP,QN⊥BC, ∴△QPM≌△QCN(AAS), ∴QM=QN, 又∵QM⊥BP,QN⊥BC, ∴点 Q 一定在射线 BD 上. 【点评】本题主要考查了三角形的综合应用,解题时需要运用三角形内角和定理、等腰直角 三角形的性质、 角平分线的定义以及全等三角形的判定与性质等知识. 解决问题的关键是作 辅助线,构造全等三角形,根据全等三角形的性质进行推导.解题时注意:到角两边距离相 等的点在这个角的平分线上.


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