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任意角的三角函数定义引入的微课教学设计_图文

教学方法

JIAOXUE FANGFA

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任意角的三角函数定义引入的微课教学设计

◎张军钢 ( 浙江省衢州第一中学 324000)

设计的意图: “任意角的三角函数的概念”的教学设计 应注意通过与“锐角三角函数”概念的因袭与扩张关系,引 导学生参与“定义任意角三角函数的过程”. 有了适切的“立 意”,借助怎样的载体来落实,也是一个值得细究的问题. 那 么,以“锐角三角函数的概念”作为任意角三角函数的知识 生长点是否合适? “锐角三角函数的概念”是以直角三角形 为载体,关注的是“解决直角三角形的边角关系问题”,而对 它的函数本性的 认 识 并 不 是 重 点,锐 角 三 角 函 数 并 没 有 被 纳入函数概念体系中. 因此,要使锐角三角函数概念成为教 学的起点,还需要一个较长的过程铺垫: 回顾定义———坐标 化( 全新的学习) ———“单位化”( 取 r = 1,全新的学习) ,而 且学生可能无法把任意角的三角函数的概念纳入到函数的 概念中.
因此,还有一种想法是在函数概念下以“圆心在原点的 圆周上的点的坐标”随角的变化而变化的“操作、观察”,先 让学生建立起“任意给定一个角 α,圆周上就有唯一的一个 点 P( x,y) 与之对应”的直观感受,把注意力集中在三角函 数的“函数特性”上,能使学生认清其对应关系、定义域和值 域等,从而真正把握三角函数的“本来面目”. 是否可以在 “函数是描述 客 观 世 界 变 化 规 律 的 数 学 模 型 ”的 思 想 指 导 下,以“如何建立圆周运动的数学模型”为教学起点,调动象 限角、弧度制、单位圆、锐角三角函数等相关知识,在建立函 数模型的过程中水到渠成地引入任意角三角函数的概念. 这样,既可以使学 生 知 道 这 一 概 念 的 背 景、解 决 的 问 题,也 可以使他们感受 运 用 函 数 概 念 建 立 模 型 的 过 程 和 方 法 ,还 可以让他们体会三角函数在物理学科中的重要性. 如果这 样的设计思想能够实现,那么其效果是一举多得的. 以下为 笔者在教学 实 践 中 对 任 意 角 的 三 角 函 数 定 义 引 入 的 微 课 设计.
一、教材分析 三角函数是函 数 的 一 个 基 本 组 成 部 分,也 是 一 个 重 要 组成部分,在整个 高 中 以 至 于 大 学 都 会 经 常 用 到 三 角 函 数 的知识. 初中已经学习过锐角的三角函数,教材第一节学习 了任意角的表示方法,这些是学习任意角三角函数的基础. 本节课的主要内容是: 正弦、余弦、正切的定义; 正弦、余弦、 正切函数的定义域. 二、教学目标 理解任意角的三角函数的定义. 三、重点,难点 1. 重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义; 2. 难点: 任意角的三角函数概念的建构过程; 四、教学情景设计 1. 引 入 我们初中已经 学 习 了 锐 角 三 角 函 数,知 道 它 是 以 锐 角
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为自变量,以比值为函数值的函数,那么高中为什么还要继 续研究呢?
实例导入: “离离原上草,一岁一枯荣. 野火烧不尽,春 风吹又生. ”( 王安石诗) . 诗中描绘的是自然界中“按一定 规律周而复始”的现象,称之为“周期现象. ”我们曾学习过 用“指数函数”模型刻画人口增长问题,用“对数函数”的模 型刻画地震的震 级 变 化,用 怎 样 的 数 学 模 型 来 刻 画 周 期 现 象呢? “周期现象一般与周期运动有关”,一个简单而基本 的例子便是“圆周上的一点旋转运动”.
2. 探 究 情境———选择数学模型. 问题: 摩天轮的中心离地面高度为 h0 ,它的直径为 2r, 逆时针方向匀速转动,转动一周需要 360 秒,若现在你坐在 座舱中,从初始位置点 A 出发( 如图 1 所示) .
图1
求人相对于地面的高度 h 与时间 t 的函数关系式. 先从一个具体情境入手,例如过了 30 秒后,你离地面 的高度如何计算? 答: h = h0 + rsin 30° = h + MP.
再计算几个: 60 秒时. 答: h = h0 + rsin 60°. 90 秒时. 答: h = h0 + rsin 90°. 一般的,过了 t 秒呢? 猜想( 愿望) : 答: h( t) = h0 + r sint0 . “这样的想法合情,但合理吗?” ( 意图: 先从几个特殊情形出发,而后猜测一般性结论, 再进行合理性论证! ) 总结: 人距离地面的高度 h = h0 + MP,其中 h0 是不变 量,MP 表示点 P 到水平位置 OA 的距离,是变量; 可以通过

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点 P 旋转的角度∠POA 的大小,再结合初中锐角三角函数 来计算.
3. 分析数学模型 问题: 对任意角∠POA; sin∠POA 该如何定义? 对前面 这个问题往下具体分析:
当时间为 t 秒时,人距离地面的高度用 h = h0 ± MP 来 表示,其中 MP 表示点 P 到水平位置 OA 的距离.
对比: h = h0 ± MP 与 h( t) = h0 + r sint0 . 愿望: 要想两者和谐统一. 必须有: rsint0 = ± MP 即: sint0 = ± MP / r. 小结: 点 P 在圆周上旋转运动,引起∠POA 的变化,对 任意一个 确 定 的 ∠POA 对 应 着 唯 一 点 P,进 而 有 唯 一 的 MP,得到 sin∠POA = ± MP / r①. 提问一: ①式的分子何时取正值,何时取负值? 答: OA 上方为正,OA 下方为负. 提问二: 根据 ① 式这些特点,用怎样的一个量来替代 MP 或 - MP,可以使上面的表示更简洁? 答: 建直角坐标系,利用 P 的纵坐标替代 MP 或 - MP. 4. 建构三角函数的定义 任意的角的正弦一种定义方法.

问题一: 当 α 为锐角时,此规定与初中定义矛盾吗? 结论: 不矛盾,而且坐标法的引入摆脱了锐角的束缚. 问题二: 圆的半径 r 大小有限定吗? 结论: 根据相似三角形的知识,对于确定的角 α,这个比 值不会随点 P 在 α 的终边上的位置的改变而改变,是唯一 确定的. 问题三: 半径 r 取多少时,会使得比值更加简洁?

结论: 可以考虑取 r = 1,这样的圆我们称单位圆.

即: 在直角坐标系中,以原点为圆心,以单位长度 1 为 半径的圆.
( 意图: 可以打破知识结构的平衡,感受到学习新知识

的必要性———角的范围扩大了,锐角三角函数也应该“与时

俱进”,并不显得突然. 把定义的主动权交给学生,引导学生

参与定义过程发展思维. )

6. 导出任意角的三角函数定义

设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P ( x,

y) ,那么,

y 叫做 α 的正弦,记作 sinα,即 sinα = y;

x 叫做 α 的余弦,记作 cosα,即 cosα = x;

y x

叫做 α 的正切,记作 tanα,即 tanα =

y x

( x≠0 ).

正弦、余弦、正切 都 是 以 角 为 自 变 量,以 单 位 圆 上 点 的

坐标或坐标的比 值 为 函 数 值 的 函 数,我 们 将 它 们 统 称 为 三

角函数. 使比值有意义的角的集合即为三角函数的定义域.

7. 归纳总结,注重渗透

本节课通过对 实 际 问 题 的 解 决,学 习 了 任 意 三 角 函 数

的概念. 请同学们简要回顾探究过程. 三角函数的定义可谓

“看似平凡最崎岖. 成如容易却艰辛. ”( 王安石诗) . 早期的

三角学隶属于天文学,为了天文观测的需要,与古希腊几何

有不可分割的联系. 尽管三角知识起源较早,但在欧拉以

前,人们对三角函 数 的 研 究 大 都 在 一 个 半 径 不 定 的 圆 内 进

行的,运用起来很不方便. 直到欧拉时代,才令圆的半径为

1 ,置角于单位圆 中,把 三 角 函 数 定 义 为 相 应 的 线 段 与 圆 半

径 1 之比. 教材中现在的定义与历史上大数学家欧拉的定

义是一致的. 欧拉用直角坐标来定义三角函数,彻底解决了

三角函数在四个 象 限 中 的 符 号 问 题,使 三 角 函 数 成 为 研 究

现实世界中周期变化现象的“最有表现力的函数”.

( 设计意图: 对教学内容进行归纳、疏理、提升. 有意加

强数学文化的熏 陶,让 学 生 在 数 学 学 习 中 寻 求 数 学 发 展 的

历史轨迹,感受数 学 家 们 严 谨 治 学 和 锲 而 不 舍 的 探 索 创 新

精神,从而提升自身的文化素养和创新意识. )

( 1) 把 α“放到直角坐标系内”.

( 2) 以原点为圆心,半径 r 作圆,又与 α 的终边相交于

点 P 坐标为( x,y) .

( 3) 规定: sinα =

y r



5. 分析: 以上规定是否合理?

【参考文献】 [1]简洪权. 高中数学运算能力的组成及培养策略[J]. 中学数学教学参考,2000. 1 - 2. [2]张卫国. 例谈高考应用题对能力的考查[J]. 中学数 学研究,2001. 3.
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