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人教版高中数学必修一课件:2.1.2指数函数及其性质2


第2课时 指数函数及其
性质的应用

1

1.指数函数的定义 一般地,函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做

指数函数.

2

指数函数的图象和性质
0<a<1
a>1
y

y ? a

x

y ? ax

y

图 象
0

1
x

定义 域 值 域

1 0

x

R

(0,+∞)

性 (1)过定点(0,1),即x=0时,y=1 质 (2)在R上是减函数 (2)在R上是增函数
3

1.复习回顾指数函数的概念、图象和性质;

2.通过典型例题初步掌握指数函数在解决实际问
题中的应用; (重点)

3.通过典型例题初步掌握指数函数的图象和性质
在解题中的应用.(难点)

4

探究点1 指数函数在实际问题中的应用 例1.截止到1999年底,我国人口约13亿。如果今后 能将人口年平均增长率控制在1%,那么经过20年后, 我国人口数最多为多少(精确到亿)? 分析:可以从经过1年后、2年后、3年后等具体的 人口数入手,归纳经过x年之后的人口数的函数关 系式,再把经过20年后的人口数表示出来,进行具 体计算.
5

解:设今后人口年平均增长率为1%,经过x年后,我
国人口数为y亿.1999年底,我国人口数约为13亿.

经过1年(即2000年),人口数为

13 ? 13 ?1% ? 13 ? (1 ? 1%)(亿);
经过2年(即2001年),人口数为

13? (1 ? 1%) ? 13? (1 ? 1%) ?1% ? 13? (1 ? 1%)2(亿).

6

经过3年(即2002年),人口数为 (亿); 13? (1 ? 1%)2 ? 13? (1 ? 1%)2 ?1% ? 13? (1 ? 1%)3
??

所以,经过x年,人口数为
y ? 13 ? (1 ? 1%) x ? 13 ?1.01x(亿)

当x=20时,y ? 13 ?1.0120 ? 16 (亿)。 所以,经过20年后,我国人口数最多为16亿。

7

【提升总结】 在实际问题中,经常会遇到类似本例的指数增

长模型:设原有量为N,每次的增长率为p,经过x
次增长,该量增长到y,则 y ? N (1 ? p) x ( x ? N). 形

如 y ? ka x (k ? R, 且k ? 0, a ? 0, 且a ? 1) 的函数是一
种指数型函数,这是非常有用的函数模型。

8

【变式练习】
普通纸140张的厚度大约是1厘米,一张纸足够

大,可以任意折叠的纸,折10次后纸张的厚度
为多少米?

1 1 解: 2 ? ? (米) 140 100
10

9

探究点2 人口增长率问题的进一步探究
(1)如果人口年平均增长率保持在2%,利用计算器 分别计算2020到2100年,每隔5年相应的人口数。 以例题中计算的2020年我国的人口数16亿为基准。

这时函数模型是 y ? 16 ?1.02x.

; 2025年的人口数是 y ? 16 ?1.02 ? 18(亿)
5

2030年的人口数是 y ? 16 ?1.0210 ? 20(亿) ;

10

2035年的人口数是 y ? 16 ?1.0215 ? 22(亿); 2040年的人口数是 y ? 16 ?1.0220 ? 24(亿) ;
2045年的人口数是 y ? 16 ?1.0225 ? 26(亿); 2050年的人口数是 y ? 16 ?1.0230 ? 29(亿);

2055年的人口数是 y ? 16 ?1.0235 ? 32(亿);
2060年的人口数是 y ? 16 ?1.02 ? 35(亿);
40

2065年的人口数是 y ? 16 ?1.0245 ? 39(亿);
11

2070年的人口数是 y ? 16 ?1.0250 ? 43(亿);
55 y ? 16 ? 1.02 ? 48(亿); 2075年的人口数是

2080年的人口数是 y ? 16 ?1.02 ? 52(亿);
60

2085年的人口数是 y ? 16 ?1.0265 ? 58(亿);

(亿); 2090年的人口数是 y ? 16 ?1.0270 ? 64
2095年的人口数是 y ? 16 ?1.0275 ? 71(亿);
80 (亿) ; 2100年的人口数是 y ? 16 ?1.02 ? 78
12

(2)你看到人口的增长呈什么趋势? 我们使用软件画出函数 f ( x) ? 16 ?1.02x 的图象
y

从这个图象上可以看 出随着x的增大,函 数值的增长越来越快, 呈现一种“爆炸式” 的增长趋势。
O

x
13

探究点3

指数函数在解题中的应用

1 4 1 3 5 0 3 2 例2.三个数 ( ) , ( ) , ( ) 的大小顺序是( B ). 3 4 6 1 1 1 4 1 3 5 4 5 3 A.( ) 3 ? ( ) 2 ? ( )0 B.( ) 3 ? ( ) 0 ? ( ) 2 3 4 6 3 6 4 1 1 1 1 3 2 4 3 5 0 5 0 4 3 3 2 C.( ) ? ( ) ? ( ) D.( ) ? ( ) ? ( ) 4 3 6 6 3 4

分析:根据指数函数的性质,注意采用中间值0和1进 行比较。
1 5 4 解:0 ? ( 3 ) ? 1; ( ) 0 ? 1; ( ) 3 ? 1. 6 3 4

1 2

4 5 0 3 1 所以,( ) ? ( ) ? ( ) 2 . 3 6 4

1 3

14

【变式练习】
三个数

注意与1的 比较!
的大小顺序是( B ).

10, 0.4?2.5, 2?0.2
? 1 ? 0.4
0 ?2.5

A.10 ? 0.4 ?2.5 ? 2?0.2 C .2
?0.2

B.0.4 ?2.5 ? 10 ? 2?0.2 D.0.4
?2.5

?2

?0.2

?1

0

0 解析:2?0.2 ? 11 , =1, 0.4?2.5 ? 1.

15

例3.解下列不等式:

(1) 2 ? 4
x

x ?1
2x ?4

(2) a

3x ?1

?a

(a ? 0, 且a ? 1)

分析:根据指数函数的单调性把指数不等式转化
为代数不等式. 解:(1)由 2 x ? 4 x ?1 ,得 2x ? 22 x? 2 , 根据指数函数的单调性得 x ? 2 x ? 2. 解这个不等式得 x ? ?2.
16

(2)当0<a<1时,根据指数函数的单调性得不
等式 3x-1≥2x-4

解这个不等式得x≥-3. 当a>1时,根据指数函数的单调性得不等式3x1≤2x-4,解这个不等式得x≤-3.

所以,当0<a<1时,不等式的解集是x≥-3;
当a>1时,不等式的解集是x≤-3.
17

【提升总结】 本题的不等式通常称为指数不等式,解这类不 等式的基本方法是根据指数函数的单调性转化为代 数不等式,在底数不确定时要注意分类讨论.

转化的思 想方法!

18

1.如果指数函数 f ( x) ? (a ? 1) x 是 R 上的减函数,那么 a 的取值范围是 ( C ) A. a ? 2
b

B. a ? 2
a

C. 1 ? a ? 2

D. 0 ? a ? 1

1 ?1? ?1? 2. 设 ? ? ? ? ? ? ? 1 .则有( D ) 3 ? 3? ? 3?

A. 0 ? b ? a ? 1

B. a ? b ? 1

C. 1 ? a ? b

D. 0 ? a ? b ? 1

19

3. 解方程 4 ? 2
x

x2 ?1

1 , x ? __

解: ?4 ? 2
x

2x

?2

x2 ?1

? 2x ? x2 ? 1
解方程得x=1

20

4.某工厂现在的年利润是1 000万元,该工厂年

利润的增长率是20%,则10年后该工厂的年利润
是多少万元?(精确到万元) 答案: 1 000 ?1.210 ? 6192(万元).

21

1.指数型函数模型是应用十分广泛的一类函数模 型,当指数函数的底数大于1时,随着自变量的 增加,函数值呈现“爆炸式”增长. 2.根据指数函数性质进行数值的大小比较时,要 注意采用中间值0、1进行比较.

22

3.解指数不等式或者指数方程时,要注意根据指数
函数的单调性进行转化,转化为代数不等式或者代

数方程求解,在底数不确定时要注意分类讨论,这
里体现了化归转化思想和分类讨论思想.

23

除了人格以外,人生最大的损失,莫 过于失掉自信心了。

24


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