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2014年高考理科数学总复习试卷第26卷题目及其答案


2014 年高考理科数学总复习试卷第 26 卷题目及其答案

考试时间:120 分钟 满分 150 分 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每个小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.集合 A ? {3 , 6 , 8 } 的真子集的个数为 A.6
2

B.7

C.8

D.9

2.不等式 ? x ? 3x ? 2 ? 0 的解集是 A. x x ? ?2或x ? ?1 C. x 1 ? x ? 2

?

?

B. x x ? 1或x ? 2 D. x ?2 ? x ? ?1

?

?

?

?
B. ? 0, ? ?

?

?
D. ? ? , 2? ?

3.函数 y ? cos x 的一个单调递增区间为 A.

? ? ?? ?? , ? ? 2 2?

C. ?

? ? 3? ? , ? ?2 2 ?

4.设复数 z 满足 iz ? 2 ? i ,则 z ? A. 1 ? 2i B. ?1 ? 2i

C. ?1 ? 2i

D. 1 ? 2i

5.函数 y ? ? log a ( x ? 1) (0<a<1)的图象大致是

A.

B.

C.

D.

a1 ? 2 且 a1 , a3 , a6 成等比数列, 6. 设 ?an ? 是公差不为 0 的等差数列, 则 ?an ? 的前 n 项和 S n =
A.

n2 7n ? 4 4

B.

n 2 5n ? 3 3

C.

n 2 3n ? 2 4

D. n ? n
2

7.已知 cos( ? ? ?) ? A.

33 65

3 5 ? ? , sin ? ? ? , ? ? (0, ) , ? ? (? ,0) ,则 sin ? 等于 5 13 2 2 63 33 63 B. C. ? D. ? 65 65 65

8.设集合 S ? { A0,A1,A2,A3} ,在 S 上定义运算 ? 为: Ai ? Aj ? Ak ,其中 k 为 i ? j 被 4 除的余数(其中 i,j ? 0, ,则满足关系式 ( x ? x) ? A2 ? A0 的 x( x ? S ) 的个数为 1, 2, 3) A.4 B.3 C.2
1

D.1

二、填空题:本大题共 7 小题.学生作答 6 小题.每小题 5 分,满分 30 分 (一)必做题(9~13 题) 9. cos( ? ??) ?

4 , x ? (? ,2? ) ,则 tan? ? _______. 5

? x ? 2, x ? 0 ? 10.若函数 f ( x ) ? ?a, x ? 0 是奇函数,则 a ? b ? _______. ? x ? b, x ? 0 ?

11.设等比数列{ an }的前 n 项和为 S n ,若

S S6 =3 ,则 9 ? ______. S6 S3

12.函数 f(x)=

x 的最大值为 ___________. x ?1

?x ? 0 ? 13.在平面直角坐标系上,设不等式组 ? y ? 0 所表示的平面区域为 Dn ,记 Dn 内的 ? y ? ? n ( x ? 4) ?
整点(即横坐标和纵坐标均为整数的点)的个数为 an (n ? N ? ) . 则 a1 = 可得到 an = . ,经推理

(二)选做题(14、15 题,学生只能从中选做一题) 14.在极坐标系中,若过 M (3,0) 且与极轴垂直的直线交曲线 ? ? 4 cos? 于 A, B 两点,则

| AB |? __________ _.
15.如图, AB 为圆 O 的直径,弦 AC 、 BD 交于 P ,若 AB ? 3 , CD ? 1 ,则

cos?APD ? _______.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 16. (本小题满分 l2 分)已知 f ( x) ? 2 sin x(sin x ? 3 cos x) , x ? R .

2

(1)求函数 f ( x) 的最小正周期; (2)求函数 f ( x) 的最大值及相应的 x 值.

17. (本小题满分 l2 分) 设命题 p : 函数 f ( x) ? x ? 4 x ? 3( x ? [0, a] ) 的值域是 [?1,3] ;
2

命题 q :指数函数 g ( x) ? (a ? 1) 在 (??,??) 上是减函数.若命题“ p 或 q ”是假命题,
x

求实数 a 的范围.

18. (本小题满分 l4 分)如图,边长为 6 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, M 是 DD1 的中 点, N 在线段 BC 上,且 BN ? 2 . (1)求异面直线 BM 与 CC1 所成角的余弦值; (2)证明: BM // 面 DNC1 ; (3)求点 C 到面 DNC1 的距离.

3

19. (本小题满分 l4 分)为了测量两山顶 M , N 间的距离,飞机沿水平方向在 A , B 两 点进行测量,点 A 、 B 、 M 、 N 在同一个铅垂平面内(如示意图) ,飞机能够测量的数据 有俯角和 A , B 间的距离.请设计一个方案,包括:①画出求解图并指出需要测量的数据 (用字母表示,并在图中标出) ;②用文字和公式写出计算 M , N 间的距离的步骤.

20 . ( 本 小 题 满 分 l4 分 ) 已 知 数 列 {a n } 的 前 n 项 和 为 S n , 且 a1 ? 1 , S n ? 2a n ?1 ( n ? 1,2,3,... ) (1) 求数列 {a n } 的通项公式; (2) 设 bn ? 1 ? log 3 (3a n?1 ) ,证明: 1 ?
2

1 b1

?

1 b2

? ... ?

1 bn

? 2 n ?1 .

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) =

1 2 ax ? 2 x(a ? 0), g ( x) ? ln x, 2

(1) 若 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 存在单调增区间,求 a 的取值范围; (2) 是否存在实数 a >0,使得方程

g ( x) 1 ? f ?( x) ? (2a ? 1) 在区间 ( , e) 内有且只有两个不 e x 相等的实数根?若存在,求出 a 的取值范围?若不存在,请说明理由.

4

以数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 2n ?

n(n ? 1) 1 n 2 7n ? ? ? 2 2 4 4

7. 答:提示: sin ? ? sin((? ? ? ) ? ? ) ? sin(? ? ? ) cos ? ? cos( ? ? ? ) sin ? 8.答:C.提示:分别令 x ? A0 , A1 , A2 , A3 枚举验证。 二、填空题: 9.答:

3 4 3 sin ? 3 . cos? ? ? , sin ? ? ? , tan? ? ? 4 5 5 cos? 5

10.答: 2 . a ? 0, b ? 2

11.答:

S9 1 ? q 9 7 7 S6 1 ? q 6 3 ? ? ? ? 3 ? q ? 2 . , S6 1 ? q 6 3 3 S3 1 ? q 3

12.答:

1 . f (0) ? 0, x ? 0 时, f ( x) ? 2

1 x? 1 x

?

1 2

13.答: 6,6n .当 x ? 3,2,1 时,区域内的整点个数分别为 n,2n,3n 个,共 6n . 14.答: 2 3 . ? ? 4 cos? 表示圆心为 (2,0) 半径为 2 的圆国。

1 DC 1 1 1 15.答: .连结 AD,OD,OC,则 cos ?APD ? sin ?DAP ? sin ?DOC ? 2 ? 3 2 OD 3

5

要 f ( x) ? 3 ,则 a ? 4 ,?????????????????????????.5f 所以 p 是真命题时, a ? A ? {a | 2 ? a ? 4} ?????????????????6f 若 q 是真命题,则 0 ? a ? 1 ? 1 ???????????????????????.8f 即 a ? B ? {a | ?1 ? a ? 0} ?????????????????????????9f 由题,命题“ p 或 q ”是假命题,得 p, q 为假??????????????.??10f 即 a ? (C R A) ? (C R B) ? {a | a ? ?1 或 0 ? a ? 2 或 a ? 4} ?????????.?.12f 解法二、作出 f ( x) 的图象,如右:???2f 当 f ( x) ? 3 时, x ? 0,4 ???????..3f 当 f ( x) ? ?1 时, x ? 2 ????????4f 所以要值域为 [?1,3]

6

解法二、因 B1B//C1C,所以角 MBB1 为所求异面直线所成角(补角) ,???(略) (2)设面 NDC1 的法向量为 n ? ( x, y, z ) 则?

? ?n ? DN ? 0

?4 x ? 6 y ? 0 ??????????????????..??7f ?? ?n ? DC1 ? 0 ?6 y ? 6 z ? 0 ?

n 可取 (?3,2,?2) ????????????????????????????8f
BM ? n ? (?3) ? (?6) ? 2 ? (?6) ? (?2) ? 3 ? 0 ,即 BM ? n ????????.?.9f
且 BM ? 面 NDC1 ???????????????????????????.10f 所以 BM // 面 DNC1 ;?????????????????????????.10f 解法二、连结 MC,交 DC1 于 O,可证 ON//MB(略) (3) CN ? (4,0,0) ,设点 C 到面 DNC1 的距离为 d ,则 d ? 解法二、等体积法: VC ? DNC ? VC ? NDC (略)
1 1

| n ? CN | |n|

?

12 17 ?.14f 17

解法三、作垂线法:过 C 作面 NDC1 的垂线(略) 19.

7

方案二: ①需要测量的数据有: A 点到 M,N 点的俯角 ?1 , ?1 ;B 点到 M,N 点的府角 ? 2 , ? 2 ;A,B 的距离 d (如图所 示). ②第一步:计算 BM . 由正弦定理 BM ?

d sin ?1 sin(?1 ? ? 2 )




第二步:计算 BN . 由正弦定理 BN ?

d sin ?1 sin( ? 2 ? ?1 )

第三步:计算 MN . 由余弦定理 MN ?

BM 2 ? BN 2 ? 2 BM ? BN cos( ? 2 ? ? 2 )

20. 解:由题 S n ? 2a n ?1 ??.. ① 当 n ? 2 , S n ?1 ? 2a n ,???②????????????????????1f

8

所以 ?
1

1 2

1 2 b1

?

1 2 b2

? ... ?

1 2 bn

?
1

1 2 1

?

1 2 2

?

1 2 3

? ... ?

1 2 n ?1

?

1? 0

?

1 2? 1

? ... ?

n ?1 ? n

?????????????????.....10f

? ( 1 ? 0) ? ( 2 ? 1) ? ... ? ( n ? 1 ? n ) ???????????????.??.13f

? n ?1

即1?

1 b1

?

1 b2

? ... ?

1 bn

? 2 n ? 1 ??????????????????.?..14f

(2)解法二、 bn ? 1 ? log 3 (3a n ?1 ) ? 1 ? log 3 [ ( )
2 2

3 3 2 2

n ?1

] ? 1 ? n ?????..??.8f

下用数学归纳法证明 I. n ? 1,左边 ? 1 ?

1 2

? 2 2 =右边
.??.9f

结论成立??????????????????????

Ii . 假设 n ? k ?k ? 1? 时,结论成立,即 1 ?

1 2

? ... ?

1 k ?1
1 k?2

? 2 k ? 1 ??...10f
2 (k ? 1)( k ? 2) ? 1 k?2

那么? 1 ?

1 2

? ... ?

1 k ?1

?

1 ( k ? 1) ? 1

? 2 k ?1 ?

?

??????????????????????????????????11f

?

4k 2 ? 12 k ? 8 ? 1 k?2

?

4k 2 ? 12 k ? 9 ? 1 k?2

? 2 k ? 2 ?????????...13f

9

即不等式 ax +2x-1>0 有满足 (a, b), or(a,??) ? (0,??) ?????????.??4f
2

1 ? 2x 1 ? ( ? 1) 2 ? 1有解?????????????????????.5f 2 x x 1 2 令 t ? ? 0, y ? (t ? 1) ? 1 的最小值为 ? 1 ??????????????..??6f x
即a ? 结合题设得 a 的取值范围是(-1, 0)∪(0, +∞) ??????????????? 7f 解法三、同解法一???. 即不等式 ax +2x-1>0 有满足 (a, b), or(a,??) ? (0,??) ????????..??4f
2

(1)当 a ? ?1 , ? ? 4(1 ? a) ? 0 ,ax +2x-1>0 没有符合条解?????????5f
2

(2)当 ? 1 ? a ? 0, ? ? 0 ,方程 ax ? 2 x ? 1 ? 0 的两根是
2

x1 ?

?1? 1? a ?1? 1? a ? 0, x 2 ? ? 0, x1 ? x2 ,此时,区间 [ x1 , x2 ] 是所求的增区 a a

间。. ????????????????????????????????????6f (3) 当

a?0







ax2 ? 2 x ? 1 ? 0











x1 ?
(4)

?1? 1? a ?1? 1? a ? 0, x 2 ? ? 0, x1 ? x2 ,区 a a

10

(5) 当 x∈(0, 1)时, Hˊ(x)<0, 函数;

H(x)是减函数;

当 x∈(1, +∞)时, Hˊ(x)>0, H(x)是增

若 H(x)在( , e )内有且只有两个不相等的零点, 只须

1 e

? 1 a 2 1 ? 2a (1 ? 2e)a ? e 2 ? e ?1 ? ?0 ?H ( ) ? 2 ? e e e e2 ? ? ? H ( x) min ? H (1) ? a ? (1 ? 2a ) ? 1 ? a ? 0 ? 2 2 ? H (e) ? ae ? (1 ? 2e)a ? 1 ? (e ? 2e)a ? (e ? 1) ? 0 ? ?

?????..?13f

解得 1 ? a ?

e2 ? e e2 ? e , 所以 a 的取值范围是(1, ) ???????? ?..14f 2e ? 1 2e ? 1

11


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