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数学二轮复习专题3 三角函数与平面向量测试(教师版)


2011 届高考数学二轮专题三三角函数与平面向量质量评估卷 三
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。 ) 1、函数 f ( x ) =2sinxcosx 是 (A)最小正周期为 2π的奇函数 (C)最小正周期为π的奇函数 (B)最小正周期为 2π的偶函数 (D) 最小正周期为π的偶函数

解: f ( x ) =2sinxcosx=sin2x,周期为π的奇函数 2、设向量 a = (1, 0) , b = ( , ) ,则下列结论中正确的是

r

r

1 1 2 2

r r r r r 2 (C) a // b (D) a ? b 与 b 垂直 2 r r 1 1 r r r r r r b 解: a ? b = ( , ? ) , ( a ? b)? = 0 ,所以 a ? b 与 b 垂直. 2 2 2 3、已知 sin α = ,则 cos( x ? 2α ) = 3
(A) a = b

r

r

(B) a ? b =

r r

(A) ?

5 1 1 5 (B) ? (C) (D) 3 9 9 3 2 1 2 ∴ cos(π ? 2α ) = ? cos 2α = ?(1 ? 2sin α ) = ? 3 9

解:∵ sin A =

4、已知函数 y = sin(ω x + ? ), (ω > 0,| ? |< (A) ω = 1, ? = (C) ω = 2, ? =

π
2

) 的部分图象如题(6)图所示,则

π
6

(B) ω = 1, ? = ? (D) ω = 2, ? = ?

π
6

π

π

6

解析:Q T = π ∴? = 2 由五点作图法知 2 ×

π
3

6
+? =

π

2 6 uuu 2 r uuu uuur uuu uuur r r uuuu r 5、设点 M 是线段 BC 的中点,点 A 在直线 BC 外, BC = 16, AB + AC?=?AB ? AC?, 则?AM?= ?
(B)4 (C) 2 (D)1

,? = -

π

.

(A)8

解:由 BC =16,得|BC|=4 ,?AB + AC?=?AB ? AC?=| BC | =4 而?AB + AC?= 2?AM?故?AM?= 2


uuu 2 r

uuu uuur r

uuu uuur r

uuu r

uuu uuur r

uuuu r

uuuu r

答案:C 6、E,F 是等腰直角△ABC 斜边 AB 上的三等分点,则 tan ∠ECF = ( A. )

16 27

B.

2 3

C.

3 3

D.

3 4 4 , 解得 5

解 法 1:约 定 AB=6,AC=BC= 3 2 ,由余 弦定 理 CE=CF= 10 , 再由余弦定理得 cos ∠ECF =

tan ∠ECF =

3 4

解法 2: 坐标化。 约定 AB=6,AC=BC= 3 2 ,F(1,0),E(-1,0),C (0,3) 利用向量的夹角公式得 cos ∠ECF = 解得 tan ∠ECF =

4 , 5

3 。 4

7、设 ω >0,函数 y=s in( ω x+ (A)

π

2 3

(B)

4 3

3 3 (C) 2

)+2 的图像向右平移 (D)3

4π 个单位后与原图像重合,则 ω 的最小值是 3

解:将 y=sin( ω x+

π
3

)+2 的图像向右平移

4π 4π π 个单位后为 y = sin[ω ( x ? ) + ]+ 2 3 3 3

= sin(ω x +
所以选 C

π
3

?

4ωπ 4ωπ 3k 3k 3 ) + 2 ,所以有 =2k π ,即 ω = ,又因为 ω > 0 ,所以 k≥1,故 ω = ≥ , 3 3 2 2 2

8、设函数 f ( x ) = 4 sin(2 x + 1) ? x ,则在下列区间中函数 f ( x ) 不存在零点的是 . (A) [ ?4, ?2 ] (B) [ ?2, 0] (C) [ 0, 2] (D) [ 2, 4]

解:将 f ( x ) 的零点转化为函数 g ( x ) = 4 sin (2 x + 1)与h( x ) = x 的交点,数形结合可知答案选 A

uuu r
r uuu r b = 2, 则 CD =

r

uuu r

r

r

9、△ABC 中,点 D 在边 AB 上,CD 平分∠ACB,若 CB = a , CA = b , a = 1 ,

2 r 1 r 3 r 4 r 4 r 3r a + b (C) a + b (D) a + b 3 3 5 5 5 5 uuu uuu uuu r r r r r uuur 2 uuu 2 r 2 r r BD BC 1 解∵ CD 为角平分线,∴ = = ,∵ AB = CB ? CA = a ? b ,∴ AD = AB = a ? b , AD AC 2 3 3 3 uuu uuu uuur r 2 r 2 r 2 r 1 r r r ∴ CD = CA + AD = b + a ? b = a + b 3 3 3 3 uuu uuu v v 10、已知圆 O 的半径为 1,PA、PB 为该圆的两条切线 ,A、B 为两切点,那么 PA ? PB 的最小值为
(A) (B) (A) ?4 + 2 (B) ?3 + 2 (C) ?4 + 2 2 (D) ?3 + 2 2 A

1 r 2 r a + b 3 3

解 1 如图所示:设 PA=PB= x ( x > 0) ,∠APO= α ,则∠ APB= 2α ,PO= 1 + x , sin α =
2

1 1 + x2


O

P

B

uuu uuu uuu uuu v v v v uuu uuu v v x 2 ( x 2 ? 1) x 4 ? x 2 x4 ? x2 PA ? PB =| PA | ? | PB | cos 2α = x 2 (1 ? 2sin 2 α ) = = 2 ,令 PA ? PB = y ,则 y = 2 , x2 + 1 x +1 x +1
4 2 2 2 即 x ? (1 + y ) x ? y = 0 ,由 x 是实数,所以 ? = [ ?(1 + y )] ? 4 × 1× ( ? y ) ≥ 0 , y + 6 y + 1 ≥ 0 ,解得
2

uuu uuu v v y ≤ ?3 ? 2 2 或 y ≥ ?3 + 2 2 .故 ( PA ? PB )min = ?3 + 2 2 .此时 x =
uuu uuu v v ? ?

2 ?1 .

【解析 2】设 ∠APB = θ , 0 < θ < π , PA ? PB = ( PA )( PB ) cos θ = ? 1/ tan

θ?

2

? cos θ 2?

? 2 θ ?? 2θ ? ? 1 ? sin ??1 ? 2sin ? 2 ?? 2? 2 ? ?1 ? 2sin 2 θ ? = ? = ? ? θ ? θ 2? sin 2 sin 2 2 2
cos 2

θ

换元: x = sin

2

θ

uuu uuu (1 ? x )(1 ? 2 x ) v v 1 , 0 < x ≤ 1 , PA ? PB = = 2x + ? 3 ≥ 2 2 ? 3 2 x x

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中的横线上) 11、已知向量 a = (2,?1), b = (? 1, m ), c = (? 1,2 ) ,若 a + b ∥ c ,则 m = _________ . 解∵

( )

a + b = (1, m ? 1), c = (? 1,2) ,∴由 a + b ∥ c 得 1 × 2 ? (? 1) × (m ? 1) = 0 ? m = ?1 . r r r r 12、已知 a 和 b 的夹角为 120° , | a |= 1,| b |= 3 ,则 a ? b = .
r r2 r uu r uu r r r2 r2 r r
1 2

( )

解: a ? b = ( a ? b)? a ? b) = a + b ? 2a ? = 1 + 9 ? 2 × 1× 3 × ( ? ) = 13 ,故 a ? b = 13 ( b 13、在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a,b,c,若 a = 的大小为 解:由 sin B + cos B = .
]

r r

2 , b = 2 , sin B + cos B = 2 ,则角 A

2 得 1 + 2 sin B cos B = 2 ,即 sin 2B = 1 ,因为 0<B<π ,所以 B=45o ,又因为
2 2 1 = ,解得 sin A = ,又 a <b ,所以 o sin A sin 45 2

a = 2 , b = 2 ,所以在 ?ABC 中,由正弦定理得:
A<B=45o ,所以 A=30o 。
14、在△ABC 中,D 为边 BC 上一点,BD= 则 ∠ BAC=_______

1 DC, ∠ ADB=120°,AD=2,若△ADC 的面积为 3 ? 3 , 2 1 1 AD ? DC ? sin ∠ADC = × 2 × 2a sin 600 2 2

解析:设 BD = a ,则 DC = 2a ,由已知条件有 S ?ADC = 解析

= 3a = 3 ? 3 ? a = 3 ? 1 ,再由余弦定理分别得到 AB 2 = 6, AC 2 = 24 ? 12 3 ,再由余弦定理得

1 0 ,所以 ∠BAC = 60 . 2 r r r r r r r r r r 15、已知平面向量 a , b ( a ≠0, a ≠ b )满足| b |=1,且 a 与 b - a 的夹角为 120°,则| a |的取值范 cos ∠BAC =
围是________.

r → r → 解:如图,数形结合知 b =AB, a =AC,|AB|=1,C 点在圆弧上运动,∠ACB=60°,

设∠ABC=θ,由正弦定理知

r 2 3 2 3 = ,∴| a |= sin θ≤ , sin 60° sinθ 3 3
AB

r a

r ? 2 3? ? 2 3? 当 θ=90°时取最大值.∴| a |∈?0, ?.答案 :?0, ? 3 ? 3 ? ? ?
三、解答题(本大题 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16、设函数 f ( x ) = 3sin(ω x +

π
6

) , ω > 0, x ∈ (?∞, + ∞) ,且以

π
2

为最小正周期. (1)求 f (0) ; (2)

求 f ( x ) 的解析式; (3)若 f ?

?α π ? 9 + ? = ,求 sin α 的值. ? 4 12 ? 5

解: : (1)由题设可知 f (0) = 3 sin

3 . 6 2 π 2π π = 4 . ∴ f ( x) = 3 sin(4 x + ) . (2)Q f ( x ) 的最小正周期为 ,∴ ω = π 2 6 2

π

=

(3)由 f ?

3 4 9 π π? ?α π ? ? + ? = 3 sin ? α + + ? = 3 cos α = , ∴ cos α = .∴ sin α = ± 1 ? cos 2 α = ± 5 5 3 6? 5 ? 4 12 ? ?

5 3 , cos ∠ADC = ,求 AD . 13 5 3 π 12 4 解:由 cos∠ADC= >0,知 B< .由已 知得 cosB= ,sin∠ADC= . 5 2 13 5 4 12 3 5 33 从而 sin∠BAD=sin(∠ADC-B)=sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB= × ? × = 5 13 5 13 65 5 33 × AD BD BD ? sin B 13 = 25 由正弦定理得 = ,所以 AD = = 33 sin ∠BAD sin B sin ∠BAD 65 uuu uuur r 12 。 (Ⅰ)求 AB ?AC ;(Ⅱ)若 18、 ?ABC 的面积是 30,内角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c , cos A = 13
17、 ?ABC 中, D 为边 BC 上的一点, BD = 33 , sin B =

c ? b = 1 ,求 a 的值。
解:由 cos A =

12 2 5 12 1 ,得 sin A = 1 ? ( ) = .又 bc sin A = 30 ,∴ bc = 156 . 13 13 13 2 uuu uuur r 12 (Ⅰ) AB ? AC = bc cos A = 156 × = 144 . 13 12 2 2 2 2 (Ⅱ) a = b + c ? 2bc cos A = (c ? b) + 2bc (1 ? cos A) = 1 + 2 ?156 ? (1 ? ) = 25 ,∴ a = 5 . 13
19、 已知函数 f ( x ) =

1 π 1 1 ?π ? sin 2 x sin ? + cos 2 x cos ? ? sin ? + ? ? ( 0<?<π ) , 其图象过点 ( , ) Ⅰ) . ( 2 6 2 2 ?2 ? 1 , 纵坐标不变, 得到函数 y = g ( x ) 2

( 将函数 y = f ( x ) 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 求 ? 的值; Ⅱ)

的图象,求函数 g ( x ) 在[0,

π ]上的最大值和最小值. 4 π 1 1 1 π 2 π 解(Ⅰ)因为已知函数图象过点( , ) ,所以有 = sin 2 × sin ? + cos cos ? 6 2 2 2 6 6

3 3 π 1 ?π ? sin ? + cos ? ? cos ? ( 0<?<π ) = sin (? + ) , ? sin ? + ? ? ( 0<?<π ) ,即有 1 = 2 2 6 2 ?2 ?
所以 ? +

π
6

=

π
2

,解得 ? =

π


3 1 π π 1 ?π π ? sin 2 x sin + cos 2 x cos ? sin ? + ? ( 0<?<π ) 2 3 3 2 ?2 3?

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ? =

π
3

,所以 f ( x ) =

=

3 1 1 3 1 1+ cos 2x 1 1 π sin2x+ cos 2 x- = sin2x+ × - = sin (2x+ ) , 4 2 4 4 2 2 4 2 6

所以 g ( x ) =

1 π π π π 7π sin (4x+ ) ,因为 x ∈ [0, ],所以 4x+ ∈ [ , ], 2 6 4 6 6 6 π π 1 π 7π 1 所以当 4x+ = 时, g ( x ) 取最大值 ;当 4x+ = 时, g ( x ) 取最小值 ? 。 6 2 2 6 6 4
20、在△ABC 中,a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边,且 2asin A = (2a + c )sin B + (2c + b)sin C. (Ⅰ)

求 A 的大小; (Ⅱ)求 sin B + sin C 的最大值. 解: (Ⅰ)由已知,根据正弦定理得 2a 2 = (2b + c)b + (2c + b)c 即 a = b + c + bc 由余弦定理得 a = b + c ? 2bc cos A 故 cos A = ?
2 2 2 2 2 2

1 ,A=120°……6 分 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得: sin B + sin C = sin B + sin(60° ? B ) = 故当 B=30°时,sinB+sinC 取得最大值 1。…12 分

3 1 cos B + sin B = sin(60° + B ) 2 2

21、某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位:m) ,如示意图,垂直放置的标杆 BC 的高度 h=4m,仰角 ∠ABE= α ,∠ADE= β 。该小组已经测得一组 α 、β 的值,tan α =1.24,tan β =1.20,请据此算出 H 的值; (1)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离 d (单位:m) ,使 α 与 β 之差较大,可以提高测量精确度。若电视塔的 实际高度为 125m,试问 d 为多少时, α - β 最大? [解析] 本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。

(1)

H H H h = tan β ? AD = , 同理:AB = ,BD = 。 AD tan β tan α tan β H H h h tan α 4 × 1.24 ? = ,解得: H = = = 124 。 tan β tanα tan β tan β ? tan α 1.24 ? 1.20

AD—AB=DB,故得

因此,算出的电视塔的高度 H 是 124m。 (2)由题设知 d = AB ,得 tan α =

H H h H ?h , tan β = = = , d AD DB d H H ?h ? tan α ? tan β hd h d d tan(α ? β ) = = = 2 = 1 + tan α ? tan β 1 + H ? H ? h d + H ( H ? h) d + H ( H ? h) d d d H ( H ? h) d+ ≥ 2 H ( H ? h) , (当且仅当 d = H (H ? h) = 125 ×121 = 55 5 时,取等号) d

故当 d = 55 5 时,tan(α ? β ) 最大。 因为 0 < β < α < 最大。故所求的 d 是 55 5 m。

π

2

, 0 <α ?β < 则

π

2

, 所以当 d = 55 5 时, - β α


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