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概率统计第二章第一讲 离散型随机变量及其分布律


第一讲
离散性随机变量及其分布

1

随机变量
定义1 定义 是随机试验, 设E是随机试验,它的样本空为 ?, 是随机试验 如果X=X(e)是定义在 ?上的单值实值函 如果 是定义在 即对于每一个样本点{e}都有一个 数, 即对于每一个样本点 都有一个 实数X=X(e)与之对应,则称X为随机变 实数 与之对应,则称 为 与之对应 量.

2

考察“一枚硬币抛一次, 例1 考察“一枚硬币抛一次,观察出 现正反面的情况”这个试验。 现正反面的情况”这个试验。 考察“ 例2 考察“一颗骰子掷一次观察出现 点数” 点数”。 测试灯泡寿命(单位 的试验。 单位:h)的试验 例3 测试灯泡寿命 单位 的试验。

3

二、离散型随机变量及其分布律

1. 离散型随机变量的分布律 2. 重要的离散型随机变量的概率分布

4

1.离散型随机变量的分布律 1.离散型随机变量的分布律 若某个随机变量X 定义 若某个随机变量X的全部可能取值是有 限个或可列多个,则称这个随机变量是离散型 限个或可列多个,则称这个随机变量是离散型 随机变量. 随机变量. 定义

5

1. 2.

pk ≥ 0, k =1,2,...,

∑p
k =1



k

=1,

则称 P{X = xk } = pk , k =1 2,... 为随机变量 的 , 为随机变量X的 概率分布律,简称分布律. 概率分布律,简称分布律 X的分布律也可用如下的表格形式来表示: 的分布律也可用如下的表格形式来表示: 的分布律也可用如下的表格形式来表示 X
pk

x1 p1

x2
p2

L

xk pk

L

L

L
6

另外还可用图形来表示分布律:线条图、概率直方图. 另外还可用图形来表示分布律:线条图、概率直方图
P 0.6 0.4 0.2 0 1 2 X P 0.6 0.4 0.2 0.075 0 1 2 X 0.325 0.6

线条图

概率直方图

7

伯努利概型
伯努利概型:设随机试验 只有 伯努利概型:设随机试验E只有 A 和 A 两种可能结 则称试验E为伯努利试验 为伯努利试验, 果, 且 P ( A) = p ,则称试验 为伯努利试验,若将 试验E独立地重复进行 n 次,则称这 n 次试验为n 试验 独立地重复进行 重伯努利试验或为伯努利概型。 重伯努利试验或为伯努利概型。 定理(伯努利定理):在一次试验中, 定理(伯努利定理):在一次试验中,事件 A发 ):在一次试验中 Pn 生的概率为 (k ) (0 < p < 1) 。则在n重伯努利试 , 则在 重伯努利试 验中事件 发生 次的概率为 A k
k P ({ X = k}) = C n p k (1 ? p ) n ? k k = 0,1,2, L , n

8

例1 购买一张彩票中奖的概率为P=0.01 , 问需要买多少张彩票才能使至少中一次奖的 问需要买多少张彩票才能使至少中一次奖的 概率不小于0.95 0.95? 概率不小于0.95?

9

一平面上的质点, 例2 一平面上的质点,从原点出发作随机 游动若每秒走1步 步长为1), ),设其向右 游动若每秒走 步(步长为 ),设其向右 走的概率为 p (0<p<1) , 向上走的概率为 q,(q=1-p),求 , (1)该质点 秒钟走到点 质点8秒钟走到点 的概率为多少? 质点 秒钟走到点A(5,3)的概率 的概率 (2)已知它 秒钟走到点 已知它8秒钟走到点 求它是前5 已知它 秒钟走到点A(5,3) ,求它是前 步均向右走, 步均向上走的概率。 步均向右走,后3步均向上走的概率 步均向上走的概率

10

2.重要的离散型随机变量的概率分布 2.重要的离散型随机变量的概率分布
两点 分布
只可能取a与 两个值 设随机变量 X 只可能取 与b两个值 , 它的分 布律为
X pk
a
b

1? p

p

(其中 0<p<1) 其中

则称 X 服从 两点分布

11

(0—1) 当a=0,b=1时两点分布称为 (0 1) 分布 , 时
只可能取0与 两个值 即: 设随机变量 X 只可能取 与1两个值 , 它的 分布律为
X pk

0 1? p

1 p

(其中 0<p<1) 其中

分布或伯努利分布. 则称 X 服从 (0—1) 分布或伯努利分布.

12

实例1 抛硬币 试验,观察正 抛硬币” 观察正、 实例 “抛硬币”试验 观察正、反两面情 况. ?0, 当e = 正面 , X = X (e ) = ? ? 1, 当e = 反面. 随机变量 X 服从 (0—1) 分布 分布. 其分布律为
X

pk

0 1 2

1
1 2

13

实例2 200件产品中 有190件合格品 件不合格 件产品中,有 件合格品,10件不合格 实例 件产品中 件合格品 现从中随机抽取一件,那末 品,现从中随机抽取一件 那末 若规定 现从中随机抽取一件 那末,若规定 取得不合格品, ?1, 取得不合格品 X =? 取得合格品. ?0, 取得合格品

X

0

1
10 200

pk

190 200

服从(0 分布. 则随机变量 X 服从 —1)分布 分布
14

说明 两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有 两点分布是最简单的一种分布 任何一个只有 两种可能结果的随机现象, 两种可能结果的随机现象 比如新生婴儿是男还是 明天是否下雨、种籽是否发芽等, 女、明天是否下雨、种籽是否发芽等 都属于两点 分布. 分布

15

(2)二项分布 )
1) 重复独立试验 将试验 E 重复进行 n 次, 若各次试验的结果互 不影响 , 即每次试验结果出现的概率都不依赖于其 它各次试验的结果, 则称这 n 次试验是相互独立的, 它各次试验的结果 次试验是相互独立的 相互独立 重复独立试验 试验. 或称为 n 次重复独立试验

16

2) n 重伯努利试验

伯努利资料

设试验 E 只有两个可能结果 : A 及 A, 则称 E 为 伯努利( Bernoulli )试验 .设 P ( A) = p ( 0 < p < 1), 此时P ( A) = 1 ? p.
  将   将 E 独立地重复地进行 n 次 , 则称这一串重 复的独立试验为 n 重伯努利试验 .

17

实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面. 若将硬 实例 抛一枚硬币观察得到正面或反面 就是n重伯努利试验 币抛 n 次,就是 重伯努利试验 就是 重伯努利试验. 实例2 抛一颗骰子n次 观察 点数” 实例 抛一颗骰子 次,观察 “出现 点数”, 就 重伯努利试验. 是 n重伯努利试验 重伯努利试验 3) 二项概率公式

若 X 表示 n 重伯努利试验中事件 A 发生的次数 ,

则 X 所有可能取的值为

0, 1, 2, L, n.
18

当 X = k ( 0 ≤ k ≤ n ) 时,
即 A 在 n 次试验中发生了 k 次.

A ALA A ALA , 123 123 4 4 4 4
k次

n?k 次

A ALA LA A LA 123 A A 1ALA LL 4 4 4 4 23
k?1 次
n?k?1 次

? n? 得 A 在 n 次试验中发生 k 次的方式共有 ? ? 种, ?k? 且两两互不相容. 且两两互不相容
19

因此 A在 n 次试验中发生 k 次的概率为
? n? k n? k 记 q = 1 ? p ? ? p (1 ? p ) ?k?
得 X 的分布律为 X 0 1 ? n ? n ?1 n pk q ? ? pq ?1 ?

? n ? k n? k ? ?pq ?k?
k L n
pn

? n ? k n? k L ? ?p q L ?k? 称这样的分布为二项分布 二项分布.记为 称这样的分布为二项分布 记为 X ~ B(n, p).
二项分布
n=1

L

两点分布
20

注意: 贝努里概型对试验结果没有等可 注意 能的要求,但有下述要求: 能的要求,但有下述要求: (1)每次试验条件相同; )每次试验条件相同; (2)每次试验只考虑两个互逆结果 或 A, )每次试验只考虑两个互逆结果A或 P 且P(A)=p , ( A) =1? p; (3)各次试验相互独立. )各次试验相互独立. 二项分布描述的是n重贝努里试验中出现 二项分布描述的是 重贝努里试验中出现 成功”次数X的概率分布 的概率分布. “成功”次数 的概率分布
21

次射击,每 例如 在相同条件下相互独立地进行 5 次射击 每 次射击时击中目标的概率为 0.6 ,则击中目标的次 则击中目标的次 的二项分布. 数 X 服从 B (5,0.6) 的二项分布

X

0

1
?1?

2
? 2?

3
?5? 3 2 ? ?0.6 ? 0.4 ?3?

4

5

pk (0.4)5 ?5?0.6? 0.44 ?5?0.62 ? 0.43 ? ? ? ?

?5? 4 ? ?0.6 ? 0.4 0.65 ?4?

22

例3 设某种产品总数为 个其中一级品 设某种产品总数为100个其中一级品
30个,现从这批产品中任取5次,每次取 个 现从这批产品中任取 次 1个,取后放回。试求所取的 个产品中 个 取后放回。试求所取的5个产品中 最可能的一级品数是多少? 最可能的一级品数是多少?

X PK

0
0.1681

1
0.3602

2
0.3087

3
0.1302

4

5

0.0283 0.0024

23

例4 设随机变量并且

X ~ b(2, p ), Y ~ b(4, p )

5 P{ X ≥ 1} = , 求P{Y 9

≥ 1}

24

例5 设每一个飞机引擎在飞行中正常运行的 概率为p,且各引擎是否正常运行是相互独立 概率为 且各引擎是否正常运行是相互独立 如果有至少50%的引擎能正常运行 飞机 的引擎能正常运行,飞机 的,如果有至少 如果有至少 的引擎能正常运行 就可以成功飞行,问对于多大的 而言,4引擎 问对于多大的p而言 就可以成功飞行 问对于多大的 而言 引擎 飞机比2引擎飞机更可靠 引擎飞机更可靠? 飞机比 引擎飞机更可靠

25

例6

设一汽车在开往目的地的道路上需经过三盏 信号灯,每盏信号灯以 概率允许或禁止汽车 信号灯 每盏信号灯以0.5概率允许或禁止汽车 每盏信号灯以 通过,以X表示汽车停车次数(设各信号灯的工 通过,以X表示汽车停车次数(设各信号灯的工 表示汽车停车次数 作是相互独立的), 的分布率. 作是相互独立的 求X的分布率 的分布率

26

例7(几何分布 某人独立地向某一目标射 几何分布) 几何分布 每次射击的命中率为p(0<p<1), 以X表示 击,每次射击的命中率为 每次射击的命中率为 表示 首次击中目标所需射击次数,求 的分布律 的分布律. 首次击中目标所需射击次数 求X的分布律

27

4 巴斯卡(Pascal)分布
例7中,随机变量可看作是独立重复随机试验 中 中首次成功所需的试验次数。 中首次成功所需的试验次数。若为独立重复随 机试验中直到成功r次为止所需的试验次数 次为止所需的试验次数, 机试验中直到成功 次为止所需的试验次数, P( 设为一次试验中成功的概率为0 < p < 1) , 则 X的分布律为 的分布律为
?1 P{X = k} = Ckr?1 pr qk ?r , k = r, r + 1,L(q = 1 ? p)

服从参数为r, 的巴斯卡 的巴斯卡( 称X服从参数为 ,P的巴斯卡(Pascal)分布 服从参数为 )
28

例8
袋中有红色球30个 蓝色球 蓝色球70个 现从袋中 袋中有红色球 个,蓝色球 个,现从袋中 任取5只球 代表取到的红色球个数,试求 任取 只球,X代表取到的红色球个数 试求 只球 代表取到的红色球个数 X的分布律 的分布律. 的分布律

超几何分布 (hypergeometric distribution) )
一般地,如果某产品总数为N,其中次品 个数为M,从中任取n个产品,以X表示 取出的n个产品中次品的个数
29


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