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数学理卷·2014届广东省执信中学高二下学期期末考试(2013.07)

2012-2013 学年度第二学期

高二级数学科(理)期末考试试卷
本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分为 150 分.考试用时 120 分钟
注意事项:1、答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封 线内相应的位置上,用 2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。 2、选择题每小题选出答案后,有 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净 后,再选涂其他答案;不能答在试卷上。 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答,答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相 应位置上,超出指定区域的答案无效;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅 笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。

(共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.函数 f ( x ) = sin x cos x 的最小正周期是(*) A. 2p B.

第一部分选择题

3p 2

C. p
2

D.

p 2

2.集合 M = { x | lg x > 0} , N = {x | x ? 9} ,则 M I N = (*) A. (1,3) B. (1,3] C. (0,3] D. [1, 3]

3.已知复数 z1 , z2 在复平面内对应的点分别为 A(0,1), B ( -1, 3) ,则 A. -1 + 3i B. -3 - i C. 3 + i

z2 = (*) z1
D. 3 - i

4.设 x, y ? R ,则“ x = 0 ”是“复数 x + yi 为纯虚数”的(*) A.充分而不必要条件 C.充分必要条件
2 2

B、必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5.双曲线 x - my = 1 的实轴长是虚轴长的 2 倍,则 m = (*) A.

1 4

B.

1 2

C. 2

D. 4

6.在实验员进行一项实验中,先后要实施 5 个程序,其中程序 A 只能出现在第一步或最后 一步,程序 C 和 D 实施时必须相邻,则实验顺序的编排方法共有(*) A、15 种 B、18 种 C、44 种 D、24 种

第 1 页 共 15 页

7.已知三棱锥的底面是边长为 1 的正三角形,其正视图与俯视图 如图 1 所示,则其侧视图的面积为(*) A.

6 4

B.

6 2

C.

2 2

D. 2

8.对于函数 y = f ( x ) ,如果存在区间 [m, n] ,同时满足下列条件: ① f ( x) 在 [m, n] 内是单调的;②当定义域是 [m, n] 时, f ( x) 的值域 也是 [m, n] ,则称 [m, n] 是该函数的“和谐区间” .若函数 f ( x) = 谐区间”,则 a 的取值范围是(*) A. (0,1) B. (0, 2) C. ( , )

a +1 1 - (a > 0) 存在“和 a x

1 5 2 2

D. (1,3)

第二部分 非选择题 (共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分
9.如图2,在 eO 中,直径 AB 与弦 CD 垂直,垂足 E 在 半径 AO 上 ( AE < AO ) , EF ^ BC ,垂足为 F ,若 AB = 6 ,

CF × CB = 5 ,则 AE = ___ .

10.计算

ò

1? ? ? 2 x + ÷dx = 1 x? è
e

.

11.若执行图 3 中的框图,输入 N = 13 ,则输出的数等于______ 12.若二项式 ( x +

1 2 x

) n 的展开式中,第 4 项与第 7 项的二项式
.(用数字作答)

系数相等,则展开式中 x 6 的系数为

13.观察下列不等式: ①

1 1 1 1 1 1 < 1 ;② + < 2 ;③ + + < 3 ;… 2 2 6 2 6 12


则第⑤个不等式为

14.设函数 f ( x) 的定义域为 D ,若存在非零实数 l 使得对于任意

第 2 页 共 15 页

x ? M ( M ? D) ,有 x + l ? M ,且 f ( x + l ) ? f ( x) ,则称 f ( x) 为 M 上的 l 高调函数,如
果定义域为 R 的函数 f ( x) 是奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) = | x - a | - a ,且 f ( x) 为 R 上
2 2

的 8 高调函数,那么实数 a 的取值范围是 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 12 分) ???量 m = (cos x,sin x ), (1) 若 m ^ n ,求 m - n 若 (2)设 f ( x) = m × n , f (a ) =

uv

v 2 2 n=( , ), 2 2

ur

r

ur r

ur r

3p 3 ,求 f (2a + ) 的值. 5 4

16.(本小题满分 12 分) 某市举行一次数学新课程骨干培训活动,共邀请 15 名使用不同版本教材的数学教师,具 体情况数据如下表所示: 版本 性别 人数 6 人教 A 版 男教师 女教师 人教 B 版 男教师 4 女教师

a

b

现从这 15 名教师中随机选出 2 名, 2 人恰好是教不同版本的女教师的概率是 则 (1)求实数 a , b 的值

2 .且 a > b . 35

(2)培训活动现随机选出 2 名代表发言,设发言代表中使用人教 B 版的女教师人数为 x ,求 随机变量 x 的分布列和数学期望 E (x ) . 17.(本小题满分 14 分) 如图(4) ,在等腰梯形 CDEF 中,CB、DA 是梯形的高, AE = BF = 2 , AB = 2 2 ,现将梯 形沿 CB、DA 折起,使 EF / / AB 且 EF = 2 AB ,得一简单组合体 ABCDEF 如图(5)示, 已知 M , N , P 分别为 AF , BD , EF 的中点. (1) 求证: MN // 平面 BCF ; (2)求证: AP ^ DE ; (3)当 AD 多长时,平面 CDEF 与平面 ADE 所成的锐二面角为 60o ?
C D

C N B F A M P

D

F

B

A

E

E

图(4) 18. (本小题满分 14 分)

图(5)

第 3 页 共 15 页

在平面直角坐标系 xOy 中,已知 F1 (-4, 0) ,直线 l : x = -2 , 动点 M 到 F1 的距离是它到定 直线 l 距离的 2 倍. 设动点 M 的轨迹曲线为 E . (1) 求曲线 E 的轨迹方程. (2) 设点 F2 (4, 0) , 若直线 m 为曲线 E 的任意一条切线,且点 F1 、

F2 到 m 的距离分别为 d1 , d 2 ,试判断 d1d 2 是否为常数,请说明理由.
19.(本小题满分 14 分) 已知 a ? R, 函数 f ( x) = 2 x - 3(a + 1) x + 6ax,
3 2

x?R

(1) 已知任意三次函数的图像为中心对称图形,若本题中的函数 f ( x) 图像以 P (2, m) 为对称 中心,求实数 a 和 m 的值 (2) 若 a > 1 ,求函数 f ( x) 在闭区间 é 0, 2 a ù 上的最小值 ? ? 20.(本小题满分14分) 已 知 数 列 {a n } 的 前 n 项 和 为

Sn ,

a1 = 1 , 对 于 任 意 的 n ? 2, 恒 有

S n = 2 Sn -1 + n, (n ? N *)
(2)若 cn =

(1) 求数列 {an } 的通项公式 a n

1 23 , 证明: c1 + c2 + L + cn < × an +1 - n - 1 12

第 4 页 共 15 页

2012-2013 学年度第二学期

高二级数学科(理)期末考试答卷
O?????????????????????? 密?????????????????????? O?????????????????????? 封 ?????????????????????? O?????????????????????? 线??????????????????????O 成绩: 注意事项: 1、本答卷为第二部分非选择题答题区.考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在各题目指定区域
内的相应位置上答题,超出指定区域的答案无效. 2、如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液,不按以上要 求作答的答案无效.

题号 得分





15

16

17

18

19

20

总分

班级:_______________姓名:_______________学号:_______________

二.填空题 (本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答卷的相应位置) 10、___________; 11、___________; 12、__________;

9、___________;

13、____________________________________________; 14、__________. 三、解答题:(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15、 (本小题满分 12 分)

16、 (本小题满分 12 分)

第 5 页 共 15 页

17、本小题满分 14 分

17、 (本小题满分 14 分)
C D

F

B

A

E

C

D N

第 6 页 共 15 页

18、 (本小题满分 14 分)

???????? 封 ?????????????????????? ????????O

第 7 页 共 15 页

学号:_______________

???????????????? 封 ?????????????????????? ????????????????O

19、(本小题满分 14 分)

第 8 页 共 15 页

20、(本小题满分 14 分)

第 9 页 共 15 页

2012-2013 学年度第二学期

高二级数学科(理)期末试题答案
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分 CBCB DDAA

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分 9). 1 ; 10). e ; 11). 14). [- 2, 2] 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 15、 (本小题满分 12 分) 解: (1) 由 m ^ n , 则 m × n = 0 , 故 m-n = m
2

1 1 1 1 1 12 ; 12). 9 ; 13) . + + + + < 5 ; 13 2 6 12 20 30

ur

r

ur r

ur r 2

( ) ()
2

ur

r 2 ur r ur r + n - 2mn = 1 + 1 = 2 , \ m - n = 2 2 2 p 3 cos x + sin x = sin( x + ) ,由 f (a ) = , 5 2 2 4

(2) f ( x) = m × n =

ur r

第 10 页 共 15 页

故 cos a + sin a =

3 2 18 7 2 2 ,平方后得: sin a + cos a + 2 cos a sin a = ,\ sin 2a = , 5 25 25

f (2a +

3p 7 ) = s in(2a + p ) = - sin 2a = 4 25

16、 (本小题满分 12 分)
2 解:(1)从 15 名教师中随机选出 2 名共 C15 种选法, 所以这 2 人恰好是教不同版本的女教

师的概率是

1 1 Ca Cb 2 = . 计算可得 ab = 6, Q a + b = 5 ,且 a > b ,则 a = 3, b = 2 2 C15 35

(2)由题意得 x

= 0,1, 2
P (x = 1) =
1 1 C2C13 26 C 2C 0 1 = ; P (x = 2) = 2 2 13 = 2 C15 105 C15 105

P (x = 0) =

2 0 C13C2 26 = ; 2 C15 35

故 x 的分布列为

x
p
故数学期望 E (x ) = 0 ?

0

1

2

26 35

26 105

1 105

26 26 1 4 + 1? + 2? = 35 105 105 15

17.(本小题满分 14 分) . (1)证明:连 AC ,∵四边形 ABCD 是矩形, N 为 BD 中点, ∴ N 为 AC 中点,--------------------------------------------------------------1 分 在 DACF 中, M 为 AF 中点,则 MN 为 DACF 的中位线 故 MN // CF --------------------------3 分 ∵ CF ? 平面 BCF , MN ? 平面 BCF ,\ MN // 平面 BCF ;---4 分 (其它证法,请参照给分) (2)依题意知 DA ^ AB, DA ^ AE 且 AB I AE = A ∴ AD ^ 平面 ABFE ∵ AP ? 平面 ABFE ,∴ AP ^ AD ,------------------5 分 ∵ P 为 EF 中点,∴ FP = AB = 2 2
F C N B A M P E D

结合 AB // EF ,知四边形 ABFP 是平行四边形 ∴ AP // BF , AP = BF = 2 ----------------------------------------------------7 分 而 AE = 2, PE = 2 2 ,∴ AP + AE = PE
2 2 2

∴ ?EAP = 90o ,即 AP ^ AE -----8 分

又 AD I AE = A

∴ AP ^ 平面 ADE ,

第 11 页 共 15 页

∵ DE ? 平面 ADE ,

∴ AP ^ DE .------------------------------------------------9 分

(3)解法一:如图,分别以 AP , AE , AD 所在的直线为 x, y , z 轴建立空间直角坐标系 设 AD = m ( m > 0) ,则 A(0, 0, 0), D (0, 0, m), E (0, 2, 0), P (2, 0, 0) 易知平面 ADE 的一个法向量为 AP = (2, 0, 0) ,-----------10 分 设平面 DEF 的一个法向量为 n = ( x, y, z ) , PE = (-2, 2, 0)
Z C N B A M X P E y D

uuu r

r

uur

r uur F ì n × PE = 0 uuu r ì -2 x + 2 y = 0 ì x- y =0 ? DE = (0, 2, -m) 则 í r uuu 故í ,即 í r ? 2 y - mz = 0 ? 2 y - mz = 0 n × DE = 0 ? ? r 2 2 令 x = 1 ,则 y = 1, z = ,故 n = (1,1, ) ----------------------------------------11 分 m m uuu r r uuu r r AP × n 2 r ∴ cos < AP, n >= uuu r = , 4 | AP || n | 2 2+ 2 m
依题意,

2 2 2+ 4 m2

=

1 ,解得 m = 2 ,-------------------------------------------------------13 分 2

即 AD =

2 时,平面 CDEF 与平面 ADE 所成的锐二面角为 60o .------------------------14 分

【解法二:过点 A 作 AM ^ DE 交 DE 于 M 点,连结 PM,则 DE ^ PM , ∴ ?AMP 为二面角 A-DE-F 的平面角,---------------------------------------------------------11 分

AP 2 3 ,-------------------------------------12 分 = o tan 60 3 2 3 又 AD × AE = AM × DE 得 2 AD = × 22 + AD 2 , 3 解得 AD = 2 , AD = 2 时, 即 平面 CDEF 与平面 ADE 所成的锐二面角为 60o . --------14
由 ?AMP =600,AP=BF=2 得 AM = 分 18、 (本小题满分 14 分) 解 : (1) 由 题 意 , 设 点 M ( x, y ) , 则 有 MF1 =

( x + 4) 2 + y 2 , 点 M ( x, y ) 到 直 线 的 距 离

d = x - (-2) = x + 2 ,故 ( x + 4) 2 + y 2 = 2 x + 2 ,化简后得: x 2 - y 2 = 8 .
故动点 M 的轨迹方程为 x - y = 8
2 2

(2) d1d 2 是常数,证明如下: 若切线 m 斜率不存在,则切线方程为 x = ±2 2 ,此时 d1d 2 = (c + a )(c - a ) = b = 8
2

第 12 页 共 15 页

当切线 m 斜率存在时,设切线 m : y = kx + b ,代入 x - y = 8 ,整理得:
2 2

x 2 - (kx + b) 2 = 8,\ (1 - k 2 ) x 2 - 2bkx - (b 2 + 8) = 0 D = ( -2bk ) + 4(1 - k 2 )(b 2 + 8) = 0 ,化简得: b 2 = 8k 2 - 8
2

又由 m : kx - y + b = 0 , d1 =

-4k + b k 2 +1

,

d2 =

4k + b k 2 +1

,

d1d 2 =

16k 2 - b 2 k 2 +1

=

16k 2 - (8k 2 - 8) k 2 +1

= 8 =常数.

综上,故对任意切线 m , d1d 2 是常数

19、 (本小题满分 14 分) 解: (1)由函数 f ( x) 图像以 P (2, m) 为对称中心,则 f (1) + f (3) = 2 f (2) ,代入计算得:

3a - 1 + 27 - 9a = 8,\ a = 3 ,故 f ( x) = 2 x3 - 12 x 2 + 18 x,
则 m = f (2) = 16 - 48 + 36 = 4 (1)另解:由 f ( x) = 2 x - 3(a + 1) x + 6ax,\ f ?( x ) = 6[ x - ( a + 1) x + a ]
3 2 2



a +1 = 2 ,则 a = 3 ,故 f ( x) = 2 x3 - 12 x 2 + 18 x, 2

则 m = f (2) = 16 - 48 + 36 = 4 (2)由 f ?( x ) = 6[ x - ( a + 1) x + a ] = 6( x - a )( x - 1)
2

因为 a > 1,\ a < -1或a > 1 ,讨论: 1. 若 a < -1 ,如下表:

x f ?( x) f ( x)

(0,1)

1
0

(1, 2 a )
+ Z

]

3a - 1

则此时 f min ( x ) = f (1) = 3a - 1 2. 若 a > 1 时,如下表:

x

(0,1)

1

(1, a)

a

( a, 2 a )

第 13 页 共 15 页

f ?( x)

+

0

3a - 1

0

+

f ( x)

Z

]

3a 2 - a 3

Z

由 f (0) = 0 , f (a ) = 3a - a = a (3 - a )
2 3 2

i ) 当 1 < a ? 3 时, f (a) ? f (0) ,则 f min ( x) = f (0) = 0 ii ) 当 a > 3 时, f (a) < f (0) ,则 f min ( x) = f (a ) = 3a 2 - a 3 ì ?3a - 1 , (a < -1) ? f min ( x) = í0 , (1 < a ? 3) 综上所述: ? ?3a 2 - a 3 .(a > 3) ?
20、 (本小题满分 14 分) 解: (1) 当 n ? 2 时, S n = 2 S n -1 + n, 又 S n +1 = 2 S n + n + 1, 两式相减得:

an +1 = 2an + 1 \ an +1 + 1 = 2(an + 1).
又 a1 = 1 , S 2 = 2 S1 + 2, 得 a2 = 3 ,满足 a2 + 1 = 2(a1 + 1).

\ 数列 {an + 1} 是以 a1 + 1 = 2 为首项,2 为公比的等比数列.
得 an + 1 = 2 × 2
n -1

= 2n , \ an = 2n - 1, n ? N * .
n * n +1

(3) 证明:由(1)可知\ an = 2 - 1, n ? N ,\ an +1 = 2 由 cn = 因为 2
n +1

-1

1 1 = n +1 an +1 - n - 1 2 - n - 2
0 1 2 n +1 - n - 2 = (1 + 1) n +1 - n - 2 = Cn +1 + Cn +1 + Cn +1 + LCn +1 - n - 2

0 1 2 ? Cn +1 + Cn +1 + Cn +1 - n - 2 =

( n + 1) n
2

故 cn =

2

n +1

1 1 2 2 23 1 5 23 ? = ,由 c1 = 1 < ; c1 + c2 = 1 + = < - n - 2 n(n + 1) n n + 1 12 4 4 12 2

当n ? 3

第 14 页 共 15 页

时,

1 1 ? 5 1 ? 5 2 23 ?1 1? ?1 1? ?1 ?1 c1 + c2 + L + cn = 1 + + 2 ? - ÷ + 2 ? - ÷ + L 2 ? ÷ = + 2? ÷< + = 4 è3 4? è 4 5? è n n +1 ? 4 è 3 n + 1 ? 4 3 12
则不等式成立. 另解: cn =

1 1 = n +1 an +1 - n - 1 2 - n - 2

2n +1 - n - 2 = 2n + (2n - n - 2) ,当 n ? 2 时,总有 2n ? n + 2 (用数学归纳法证明,略)
当 n = 1, c1 = 1 < 2 则 n ? 2 时, cn = 故

2

n +1

1 1 1 = n ? n n - n - 2 2 + (2 - n - 2) 2

1 ?1? (1 - ? ÷ ) n n 2 3 1 ?1? ?1? 1 ?1? 3 23 4 ?1? è2? = 1+ - ? ÷ < < c1 + c2 + L + cn ? + ? ÷ + ? ÷ + L? ÷ = 1 + 1 1 è2? è2? 2 è2? 2 12 è2? 12
则不等式成立.

n -1

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