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高中数列专题常见求和方法总结


专题:数列及其数列求和 专题:数列及其数列求和 ?重点、考点精读与点拨 重点、 重点
一、基本知识
1.定义: .定义: (1) .数列:按一定次序排序的一列数 (2) 等差数列:一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一 个常数,则这个数列叫做等差数列 (3) 等比数列:一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一 个常数,则这个数列叫做等比数列 2. 通项公式与前 n 项和公式 .

{a n } 为等差数列: a n = a1 + (n ? 1)d
{bn } 为等比数列: S n = na1 + n(a1 + a n ) n(n ? 1) d= 2 2

bn = b1q

n ?1

(q ≠ 1)

a1 (1 ? q n ) a1 ? a n q Sn = = (q ≠ 1) 1? q 1? q

3. 常用性质 .

{a n } 为等差数列,则有
(1) 从第二项起,每项是前一项与后一项的等差中项, a n = (2)

a n +1 + a n ?1 (n>1) 2

a n = a m + ( n ? m) d

(m, n ∈ N * )

(3) 若 m+n = p+q , 则:a m + a n = a p + a q ,特殊的:若 m+n=2r ,则有:a m + a n = 2a r (4) 若 a m = n, a n = m, 则有: a m + n = 0 (5) 若 S m = n, S n = m, 则有:S m + n = ?(m + n) (6) {a n } 为等差数列 ? a n = pn + q ( p, q 为常数) ? S n = pn + qn
2

( p, q ∈ R )

(7) S m ,

S 2 m ? S m , S 3m ? S 2 m ┅┅仍成等差数列

(8) {a n }, {bn } 为等差数列,则 { pa n + qbn } 为等差数列(p,q 为常数) (9)若项数为偶数 2n, S 偶-S 奇=nd ,

S奇 S偶



an a n +1 = n n ?1

若项数奇数 2n-1, S 奇-S 偶

= an ,

S奇 S偶

(10) ?

?a n = S n ? S n ?1 (n ≥ 2 ?)a1 = S1

{a n } 为等比数列,则有
(1) 只有同号的两数才存在等比中项 (2)

a n = a m q n?m

(m, n ∈ N * )
2

(3) 若 m+n = p+q , 则: a m ? a n = a p ? a q ,特殊的:若 m+n=2r ,则有: a m ? a n = a r (4) {a n }, {bn } 为等比数列,则 {a n ? bn } , {

an } ,{ ca n }为等比数列( c ≠ 0 ) bn

(5) 等比数列中连续 n 项之积构成的新数列仍是等比数列, q ≠ 1 时, 当 连续项之和仍为 等比数列 (6)

a n = cq n

(c ≠ 0, q ≠ 0)

S n = kq n ? k (q ≠ 0, q ≠ 1)

二、在数列中常见问题: 在数列中常见问题:
1、等差数列的通项公式是关于 n 的一次函数, a n = dn + ( a1 ? d ) (定义域为正整数集) , 一次项的系数为公差;等差数列的前 n 项和公式是关于 n 的二次函数,

sn =

d 2 d n + (a1 ? )n 二次项系数为公差的一半,常数项为 0. 证明某数列是等差(比) 2 2

数列, 通常利用等差 (比) 数列的定义加以证明, 即证:a n +1 ? a n = 常数,(

a n +1 = 常数) an
?a n ≥ 0 确 ?a n +1 < 0

2、等差数列当首项 a1>0 且公差 d<0 时(递减数列),前 n 项和存在最大值。利用 ? 。 定 n 值,即可求得 sn 的最大值(也可以用二次函数的性质或图象解)

等差数列当首项 a1<0 且公差 d>0 时(递增数列) ,前 n 项和存在最小值。 3、遇到数列前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系的问题应利用 a n = ?

?S1 KK n = 1 ?S n ? S n ?1 KK n ≥ 2

4、满足 ?

?a1 = a 的数列,求通项用累加(消项)法, ?a n+1 = a n + f (n)

如:已知数列{an}中,a1=1,an+1=an+2n, 求 an ; 满足 ?

?a1 = a 的数列,求通项用累乘(消项)法, ?a n+1 = a n f (n)
n an, 求 an ; n +1

如:已知数列{an}中,a1=1,an+1=

三、数列求和的常用方法: 数列求和的常用方法:
(1)公式法 公式法:必须记住几个常见数列前 n 项和 公式法 等差数列: S n =

n(a1 + a n ) n(n ? 1)d = na1 + ; 2 2

?na1 KK q = 1 ? 等比数列: S n = ? a1 (1 ? q n ) ; ? 1 ? q KK q ≠ 1 ?
(2)分组求和 分组求和:如:求 1+1, 分组求和

1 1 1 + 4 , 2 + 7 ,…, n ?1 + 3n ? 2 ,…的前 n 项和 a a a 1 1 1 1 可进行分组即: 1 + + 2 + 3 + LL + n ?1 + 1 + 4 + 7 + LL 3n ? 2 a a a a
前面是等比数列,后面是等差数列,分别求和

? (3n + 1)n KK a = 1 ? ? 2 ) (注: S n = ? ? (3n ? 1)n KK a ≠ 1 ? ? 2
(3) 裂 项 法 : 如 a n =

1 n ( n + 2)

, 求 Sn

,常用的裂项

1 1 1 = ? , n(n + 1) n n + 1

1 1 1 1 1 1 1 1 = ( ? ); = [ ? ] n ( n + 2) 2 n n + 2 n(n + 1)(n + 2) 2 n(n + 1) (n + 1)(n + 2)
(4) 错 位 相 减 法 : 其 特 点 是 cn=anbn 其 中 {an} 是 等 差 , {bn} 是 等 比 如:求和

Sn=1+3x+5x2+7x3+……+(2n-1)xn

-1

注意讨论 x,

?n 2 KK x = 1 ? S n = ? (2n ? 1) x n+1 ? (2n + 1) x n + (1 + x) KK x ≠ 1 ? (1 ? x) 2 ?
(5)倒序求和:等差数列的求和公式就是用这种方法推导出来的。如求证:Cn0+3Cn1+5Cn2+… 倒序求和: 倒序求和 +(2n—1) Cnn=(n+1)2n

?名题归类例释 名题归类例释
错位相减法: 错位相减法:
例1 例2

Sn =

1 2 3 4 n + + + + …… + n 求和 2 4 8 16 2
Sn=1+3a+5a2+7a3+…+(2n-1)an-1, (1)

求数例 1,3a,5a2,7a3,…(2n-1)an-1,…(a≠1)的前 n 项和. 解:因

(1)×a 得 aSn=a+3a2+5a3+…(2n-3)an-1+(2n-1)an, (2) 两式相减得 (1-a)Sn=1+2a+2a2+2a3+…+2an-1-(2n-1)an =2(1+a+a2+a3+…+an-1)-(2n-1)an-1 =2

1( ? a n ) ?1 ? (2n ? 1)a n ? 1 1? a 2(1 ? a n ) (2n ? 1)a n + 1 ? 1? a (1 ? a ) 2
2 an 2 , an +1 = , n = 1, 2, 3, …. 3 an + 1

所以: S n =

例 3.已知数列 {an } 的首项 a1 =

(Ⅰ)证明:数列 {

1 ? 1} 是等比数列; an

(Ⅱ)数列 {

n } 的前 n 项和 Sn . an 2 an , an + 1

(Ⅰ)Q an +1 = 解:



a +1 1 1 1 1 = n = + ? , an +1 2 an 2 2 an 1 1 1 ? 1 = ( ? 1) an +1 2 an
又 a1 =



2 1 1 ,∴ ? 1 = , 3 a1 2

∴ 数列 {

1 1 1 ? 1} 是以 为首项, 为公比的等比数列. an 2 2 1 1 1 1 1 1 n n ? 1 = ? n ?1 = n ,即 = n + 1 ,∴ = n + n . an +1 2 2 2 an 2 an 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

设 Tn =

1 2 3 n + 2 + 3 +…+ n , ① 2 2 2 2 1 1 2 n ?1 n 则 Tn = 2 + 3 + … + n + n +1 ,② 2 2 2 2 2 由① ? ②得

1 1 (1 ? n ) 1 1 1 1 n 2 ? n = 1? 1 ? n , Tn = + 2 + … + n ? n +1 = 2 1 2 2 2 2 2 2n +1 2n 2 n +1 1? 2 1 n n(n + 1) ∴ Tn = 2 ? n ?1 ? n .又 1 + 2 + 3 + … + n = . 2 2 2 n 2 + n n(n + 1) n 2 + n + 4 n + 2 ∴ 数列 { } 的前 n 项和 S n = 2 ? n + = = n . an 2 2 2 2
n 例 4:已知数列{an}是等差数列,且 a1=2,a1+ a2+ a3=12,令 bn= anx (x∈R),

求数列{bn}的前 n 项和公式。 裂项相消法 裂项相消法: 相消
例1 求和:1+

1 1 1 1 + + +L + ,(n∈N*) 1+2 1+2+3 1+2+3+4 1+2+3+L n +

解:Q a k =

1 2 = , 1 + 2 + … + k k ( k + 1) 1 1 1 + +…+ ] 1? 2 2 ? 3 n ( n + 1)

∴ Sn = 2[

1 ? 2n ? 1 ? ? 1 1? ?1 1 ? ? = 2[?1 ? ? + ? ? ? + …+ ? ? ? = 2?1 ? ?= ? 2 ? ? 2 3? ? n n + 1? ? n + 1? n + 1

新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源th源p/源源源gy源源源cx/ 源 w : w j.x t m /w k o .c 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王kc@ 王新 王 新1 o.c王 x t 2 6 m w 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p源源源gy源源源cx/ 源 /: w j.x t m /w w k o .c 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王 王 x @ 2 .6 m 王 w t 1 新 王kc新王oc王

例 2:数列{an}通项公式是 a n =

1 n + n +1

,若前 n 项的和为 10,求项数。

例 3:求和 S n =

22 42 ( 2n ) 2 + +L+ 1? 3 3 ? 5 (2n ? 1) ? (2n + 1)

分部求和法: 分部求和法:
例1 已知等差数列 {a n } 的首项为 1,前 10 项的和为 145,求 a 2 + a 4 + L + a 2 n .

解:首先由 S10 = 10a1 +

10 × 9 × d = 145 ? d = 3 2
n

则 an = a1 + ( n ? 1) d = 3n ? 2 ? a2n = 3 ? 2 ? 2

∴a2 +a4 +L+a2n =3(2+22 +L+2n) ?2n = 3

2(1? 2n ) ? 2n = 3? 2n+1 ? 2n ? 6 1? 2

{a } 例 2 已知数列 n 的通项公式为 a n = ?

5 ?6n ? (n为奇数) ,求其前 n 项和 Sn n 2(n为偶数) ?

例 3:1,1+2,1+2+3,…,1+2+3+…+n;

1 2 1 1 ) + (x 2 + 2 )2 + L + (x n + n )2 x x x 倒序相加法: 倒序相加法: sin21°+ sin22°+ sin23°+……+ sin288°+ sin289°的值 例1
例 4: ( x + 例 2 设 数 列 {a n } 是 公 差 为 d , 且 首 项 为 a 0 = d 的 等 差 数 列 , 求 和 :
0 1 n S n+1 = a 0 C n + a1C n + L + a n C n

解:因为 S n +1 = a 0 C n + a1C n + L + a n C n
0 1

n

(1) (2)

n n 0 S n +1 = a n C n + a n ?1C n ?1 + L + a 0 C n

(1)+(2)得
0 1 ∴ 2 S n +1 = (a0 + an )C n + (a1 + an ?1 )Cn + L + (an + a0 )Cnn 0 1 = (a0 + an )(Cn + Cn + L + Cnn ) = (a0 + an )2n

∴ S n +1 = (a0 + an ) ? 2n ?1
例 3 设 f ( x) =

1 2 + 2
x

,利用课本推导等差数列的前 n 项和公式的方法,可求得

f(-5)+ f(-4)+…+ f(5)+ f(6)的值。


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