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第6周集体备课:一元二次不等式及其解法 课件_图文

3.2.1一元二次不等 式及其解法 导.学. 固. 思 1.体会一元二次不等式与二次函数的关系,掌握一元二 次不等式的解法. 2.运用分类讨论思想解含参型的一元二次不等式. 3.解决简单一元二次不等式与函数的综合性问题. 导.学. 固. 思 为促进某品牌彩电的销售,厂家设计了两套降价方案. 方案①:先降价x%,再降价x%(x>0);方案②:一次性降价 2x%,问哪套方案降价幅度大? 导.学. 固. 思 问题1 一元二次不等式 一般地,含有 二次 一个 未知数,且未知数的最高次数为 的不等式,叫作一元二次不等式. 成立的实数 叫作这个一元二 使某个一元二次不等式 次不等式的解. 一元二次不等式的 解 次不等式的解集. 组成的集合,叫作这个一元二 问题2 二次函数、二次方程、二次不等式间的关系如下表,设 f(x)=ax2+bx+c(a>0). 导.学. 固. 思 Δ=b2-4ac y=f(x)的 Δ>0 Δ=0 Δ<0 示意图 f(x)=0的 根 f(x)>0的 解集 f(x)<0的 x1,x2 (-∞,x1)∪ (x2,+∞) (x1,x2) ? 没有实数根 (-∞,+∞) 解集 ? 问题3 解含参数的一元二次不等式的一般步骤 导.学. 固. 思 对字母系数分类讨论时,要注意确定分类的标准,而且分类时要 不重不漏.一般方法是: (1)当二次项系数不确定时,按二次项系数 大于零 、 等于零 、 小于零 三种情况进行分类. 大小 (2)判别式大于零时,还需要讨论两根的 (3)判别式不确定时,按判别式 大于零 . 、 小于零 、 等于零 三种情况讨论.结合方程的根、函数的图像得到解集. 问题4 (1)函数f(x)=ax2+bx+c>0在R上恒成立,则 Δ<0 a>0 且 . (2)若函数f(x)=logm(ax2+bx+c)的定义域为R, 导.学. 固. 思 (2)若函数f(x)=logm(ax2+bx+c)的定义域为R, 则 或者 . (3)若函数f(x)=logm(ax2+bx+c)的值域为R, 则 或者 . 1 不等式x-x2+2>0的解集是( B ). A.(-2,1) C.(-∞,-2)∪(1,+∞) B.(-1,2) D.(-∞,-1)∪(2,+∞) 导.学. 固. 思 【解析】原不等式可化为 x -x-2<0,即(x-2)(x+1)<0. ∴原不等式的解集为(-1,2). 2 2 二次函数 y=ax2+bx+c 的图像如图所示,则不等式 ax2+bx+c≤0 的解集为( D ). A.(-∞,-1] B.[-1,1] C.[-1,2] D.[-1,3] 【解析】观察图像可发现方程两根是-1,3,所以选 D. 3 已知不等式 x2+ax+4<0 的解集为空集,则 a 的取值范围 是 [-4,4] . 【解析】欲使不等式 x +ax+4<0 的解集为空集,则 Δ =a -16≤0, ∴- 4≤a≤4. 2 2 导.学. 固. 思 4 已知x=1是不等式k2x2-6kx+8≥0(k≠0)的解,求k的取值范围. 【解析】由条件可知:k ×1 -6k×1+8≥0, 2 即 k -6k+8≥0,解得 k≥4 或 k≤2 且 k≠0. 即 k 的取值范围为 (-∞,0)∪(0,2]∪[4,+∞). 2 2 导.学. 固. 思 解一元二次不等式 解下列不等式:(1)x2+2x-15>0;(2)x2>2x-1;(3)x2<2x-2. 【解析】 (1)x2+2x-15>0?(x+5)(x-3)>0?x<-5 或 x>3, ∴不等式的解集是{x|x<-5 或 x>3}. 2 2 2 (2)x >2x-1?x -2x+1>0?(x-1) >0?x≠1, ∴不等式的解集是{x|x≠1}. (3)x2<2x-2?x2-2x+2<0. 2 ∵ Δ =(-2) -4×2=-4<0, ∴方程 x 2-2x+2=0 无解, ∴不等式 x2<2x-2 的解集是?. 导.学. 固. 思 含参型的一元二次不等式 已知 a≠0,解关于 x 的一元二次不等式 ax2+(a+2)x+2>0. 【解析】由 ax +(a+2)x+2=0 得方程的根为 x=- ,x=-1. 2 若 - >-1,则 - >0,解得 a<0 或 a>2, ∴当 a<0 时,- >-1,不等式的解集为(-1,- ); 当 0<a<2 时,- <-1,不等式的解集为(-∞,- )∪(-1,+∞); 当 a=2 时,-=-1, 不等式的解集为 {x ≠ - }; 当 a>2 时,->-1,不等式的解集为(-∞,-1)∪(-,+∞). 导.学. 固. 思 一元二次不等式与函数的综合 已知函数 f(x)=log2(mx2+mx+3)的定义域为 R,求实数 m 的取 值范围. 2 【解析】依题意有 mx +mx+3>0 对任意 x∈R 都成立, 即 mx 2 +mx+3>0 的解集为 R, ∴m>0 且 Δ =m2-12m<0,解得:0<m<12. 2 [ 问题 ] 不等式 mx +mx+3>0 一定是一元二次不等式吗 ? [ 结论 ] 不一定是.要对字母 m 进行讨论 . 于是 , 正确解答如下: 依题意有 mx2+mx+3>0 对任意 x∈R 都成立, 即 mx 2 +mx+3>0 的解集为 R, 当 m=0 时,上述不等式恒成立,解集为 R, 当 m≠0 时,上述不等式是一元二次不等式, ∴m>0 且 Δ =m2-12m<0,解得:0<m<12, 综上 ,m 的取值范围是[0,12). 导.学. 固. 思 求下列一元二次不等式的解集. 2 2 2 (1)4x -4x+1≤0;(2)-x +7x>6;(3)-x +6x-9>0. 【解析】 (1)4x -4x+1≤0,即(2x-1)

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