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2017届高考数学大一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 2.7 函数的图像课件 文_图文

第二章 函数、导数及其应用

第七节

函数的图像

基础知识 自主学习

热点命题 深度剖析

思想方法 感悟提升

最新考纲

1. 在实际情境中,会根据不同的需要选择图像法、列表

法、解析法表示函数; 2.会运用函数图像理解和研究函数的性质,解决方 程解的个数与不等式解的问题。

J 基础知识

自主学习

知 识 梳 理
1.利用描点法作函数图像

其基本步骤是列表、描点、连线,具体为:
(1)首先:①确定函数的定义域;②化简函数解析式;③讨论函数的 性质(奇偶性、单调性、周期性);

(2)其次:列表(尤其注意特殊点:零点、最大值点、最小值点、与坐
标轴的交点); (3)最后:描点,连线。

2.函数的图像变换 (1)平移变换:

(2)对称变换: 关于x轴对称 -f(x) ①y=f(x) ――→ y=___________ ; 关于y轴对称 f(-x) ②y=f(x) ――→ y=__________ ; ③y=f(x)
x

关于原点对称 -f(-x) ――→ y=______________ ;

关于y=x对称 logax(a>0且a≠1) ④y=a (a>0 且 a≠1) ――→ y=____________________ 。

(3)翻折变换: ①y=f(x) 保留x轴上方图像 |f(x)| ; ――→ y=________ 将x轴下方图像翻折上去

保留y轴右边图像,并作其 f(|x|) 。 ②y=f(x) ――→ y=_______ 关于y轴对称的图像

基 础 自 测
[判一判] (1)当x∈(0,+∞)时,函数y=|f(x)|与y=f(|x|)的图像相同。( × )

解析

错误。函数y=|f(x)|的图像均在x轴上方或x轴上,而y=f(|x|)的

图像关于y轴对称。 (2)函数y=af(x)与y=f(ax)(a>0且a≠1)的图像相同。( × )

解析 错误。y=af(x)(a>0 且 a≠1)是由 y=f(x)的图像的纵坐标变为原 来的 a 倍得到的;y=f(ax)是由 y=f(x)图像的纵坐标不变,横坐标变为原来 1 的 倍得到的。 a

(3)函数y=f(x)与y=-f(x)的图像关于原点对称。( × ) 解析 错误。y=f(x)与y=-f(x)的图像关于x轴对称。 (4)若函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1-x),则函数f(x)的图像关于直线x=1

对称。( √

)

解析 正确。 (5)将函数y=f(-x)的图像向右平移1个单位得到函数y=f(-x-1)的图

像。( × )
解析 错误。y=f(-x)的图像向右平移1个单位得到函数y=f[-(x-1)] =f(-x+1)的图像。

[练一练]
?1? x 1.要得到函数 y=8· 2 的图像,只需将函数 y=? ? 的图像( ? 2?
-x

)

A.向右平移 3 个单位 C.向右平移 8 个单位
解析 y=8· 2 =2 答案 A
-x -x+3

B.向左平移 3 个单位 D.向左平移 8 个单位
?1?x - ,y=?2? =2 x,故选 A。 ? ?

2 .已知函数 f(x - 1) 是定义在 R 上的奇函数,且在 [0 ,+ ∞ ) 上是增函
数,则函数f(x)的图像可能是( )

解析

函数f(x-1)的图像向左平移1个单位,即可得到函数f(x)的图

像;因为函数 f(x-1)是定义在 R上的奇函数,所以函数f(x-1)的图像关 于原点对称,所以函数 f(x)的图像关于点 (- 1,0)对称,排除A,C,D, 选B。 答案 B

3.若函数y=logax(a>0,且a≠1)的图像如图所示,则下列函数图像正
确的是( )

解析

?1? x 由图像可知 loga3=1,所以 a=3。A 选项,y=3 =? ? 为指 ? 3?
-x

数函数,在 R 上单调递减,故 A 不正确。B 选项,y= x3 为幂函数,图 像正确。C 选项,y=(- x)3=- x3,其图像和 B 选项中 y=x3 的图像关于 x 轴对称,故 C 不正确。D 选项,y=log3(- x),其图像与 y=log3x 的图 像关于 y 轴对称,故 D 选项不正确。综上,可知选 B。 答案 B

? 1? ? 4.(2015· 浙江卷)函数 f(x)= x- ?cos x(-π≤x≤π 且 x≠0)的图像可能 x? ?

为(

)

? 1? ? 1? 解析 因为 f(-x)=?- x+ ?cos(- x)=-?x- ?cos x=-f(x),所以 x? x? ? ?

f(x)为奇函数。排除 A,B;
? 1? 1 又 f(π)=?π- ?cos π=-π+ <0,排除 C。故选 D。 π? π ?

答案 D

5.使log2(-x)<x+1成立的x的取值范围是( A.(-1,0) B.[-1,0)

)

C.(-2,0)
解析

D.[-2,0)

在同一坐标系内作出y=log2(-x),y=x+1的图像,知满足

条件的x∈(-1,0),故选A。

答案 A

R

热点命题

深度剖析

考点一

作函数的图像

【例1】 分别画出下列函数的图像: (1)y=|lg x|;
?lg x y=? ?-lg x

【解】

?x≥1?, 图像如图①。 ?0<x<1?

(2)y=2x+2;
【解】 将 y=2x 的图像向左平移 2 个单位。图像如图②。

(3)y=x2-2|x|-1;
【解】 x+2 (4)y=x+2。 (4)y=x-1。 x-1
?x2-2x-1 y=? 2 ?x +2x-1

?x≥0?, 图像如图③。 ?x<0?

3 3 3 3 【解】 因 y=1+ ,先作出 y=x的图像,将其图像向右平移 1个 【解】 (4)因 y=1 + x -1 ,先作出 y=x 的图像,将其图像向右平移 1 x-1 x+2 2 单位,再向上平移 1 个单位,即得 y= x+ 的图像,如图④。 个单位,再向上平移 1 个单位,即得 yx = -1 的图像,如图④。 x-1

【规律方法】 (1)常见的几种函数图像如二次函数、反比例函数、指 m 数函数、对数函数、幂函数、形如 y=x+ (m>0)的函数是图像变换的基础; x
(2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换等常用方法技巧,可以帮助我 们简化作图过程。

变式训练1 作出下列函数的图像:
(1)y=|log2(x+1)|; 解 将函数y=log2x的图像向左平移一个单位,再将x轴下方的部分沿x

轴翻折上去,即可得到函数y=|log2(x+1)|的图像,如图(1)所示。

(2)y=a|x|(0<a<1)。

a , x≥0, ? ? 解 ∵ y=? -x ?1?x (0<a<1), ? ? ? ?a =?a? ,x<0
x

?1? ∴只需作出函数 y=ax(0<a<1)中 x≥0 的图像和 y=? ?x(0<a<1)中 x<0 ? a?

的图像,合起来即得函数 y=a|x|的图像。如图(2)所示。

考点二 识图与辨图
高考对函数图像的考查主要有识图和辨图两个方面,其中识图是每年 高考的热点内容,题型多为选择题,难度适中。 角度一:借助实际问题情境探究函数图像 1.(2015·北京卷)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的 里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况。下 列叙述中正确的是( )

A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米 B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多 C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油 D.某城市机动车最高限速80千米/小时,相同条件下,在该市用丙车 比用乙车更省油

解析

对于选项 A ,从图中可以看出乙车的最高燃油效率大于 5,

故 A 项错误;对于选项 B ,同样速度甲车消耗 1 升汽油行驶的路程比乙 车、丙车的多,所以行驶相同路程,甲车油耗最少,故B项错误;对于 选项C,甲车以80千米 /小时的速度行驶,1升汽油行驶10千米,所以行 驶1小时,即行驶 80千米,消耗8升汽油,故C项错误;对于选项 D,速 度在80千米/小时以下时,相同条件下每消耗1升汽油,丙车行驶路程比 乙车多,所以该市用丙车比用乙车更省油,故D项正确。 答案 D

2. (2016·贵阳模拟)如图,下面的四个容器高度都相同,将水从容器顶
部一个孔中以相同的速度注入其中,注满为止。用下面对应的图像表示该 容器中水面的高度h和时间t之间的关系,其中不正确的个数为( )

A .1

B.2

C.3

D.4

解析

将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,容器中水

面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来。 图①应该是匀速的,故下面的图像不正确;②中的变化率应该是越来越 慢的,正确;③中的变化规律是先快后慢再快,正确;④中的变化规律 是先慢后快再慢,也正确。故只有①是错误的。 答案 A

角度二:借助动点探究函数图像
3.(2015·新课标全国卷Ⅱ)如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1, O 是 AB 的中点,点 P 沿着边 BC , CD 与 DA 运动,记∠ BOP = x 。将动点 P到

A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则y=f(x)的图像大致为(

)

? π? 解析 ①当点 P 在线段 BC 上时,如图,x∈?0, ?。 4? ?

PB= OBtan x=tan x,PA= PB2+AB2= tan2x+4, 所以 f(x)= PB+ PA=tan x+ tan2x+4。
? π? ? 显然函数 f(x)在 0, ?内单调递增, 4? ? ?π? 故 f(0)≤f(x)≤f? ?,即 2≤f(x)≤1+ 5。 ? 4?

?π π? ②取线段 CD 的中点 E,当点 P 在线段 CE 上时,x∈? , ?。 ? 4 2?

1 如图,过点 P 作 PH⊥AB,垂足为 H,则 OH= , tan x 1 BH=1- 。 tan x

所以 PB= PH2+BH2= PA= PH2+AH2= 所以 f(x)= PB+ PA= 线型,

? 1 ?2 ?, 12+?1- tan x ? ?

? 1 ?2 ?。 12+?1+ tan x? ? ? 1 ?2 ?+ 1+?1- tan x? ? ? 1 ?2 ? 轨迹为非 1+?1+ tan x ? ?

③当点 P 在点 E 处,f(x)= PB+ PA=2 2<1+ 5,
?π? ?π? 即 f? ?<f? ?。 ?2? ?4?

?π 3π? ④当点 P 在线段 DE 上时,x∈? , ?。 ?2 4 ?

由图形的对称性可知,此时函数图像与当点 P 在线段 CE 上时的图 π 像关于 x= 对称。 2

?3π ? ⑤当点 P 在线段 DA 上时,x∈? ,π?。 ?4 ?

由图形的对称性可知,此时的函数图像与当点 P 在线段 BC 上时的 π 图像关于 x= 对称。 2 综上选 B。 答案 B

4.如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始 边为射线 OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为点M,将 点 M 到直线 OP 的距离表示成 x 的函数 f(x) ,则 y = f(x) 在[0 , π] 的图像大致为 ( )

解析

? π? 由题意知, f(x)= |cos x|· sin x, 当 x∈?0, ?时, f(x)= cos x· sin x 2? ?

1 ?π ? 1 = sin 2x;当 x∈? ,π?时,f(x)=-cos x· sin x=- sin 2x,故选 B。 2 2 ?2 ? 答案 B

角度三:已知函数解析式确定函数图像 x 5.(2015· 山东济南期末)函数 y=ecos x(-π≤x≤π)的大致图像为(

)

解析 令 f(x)= cos x,则 f(-x)= cos?-x?=- cos x=-f(x),即函数的 e e e
?π? π π 图像关于原点对称,排除选项 C,D;当 x=2时,f?2?=2>0,排除选项 ? ?

x

-x

x

B;所以选 A。 答案 A

??x-1?x,x<0, 6.若函数 f(x-1)=? 2x-1 则函数 f(x)的图像大致是( 2 , x ≥ 0 , ?

)

解析 解法一:先画出函数 f(x-1)的草图,再把函数 f(x-1)的草图 向左平移 1 个单位长度,得到函数 f(x)的图像,故选 D。 解 法 二 : 因 为
??x- 1?x, x<0, f(x - 1) = ? 2x- 1 ,x≥0, ?2

所 以 f(x) =

??x+ 1?x, x<-1, ? 2x+ 1 由 f(-1)=2- 1,排除 B,C;由 f(0)=2,排除 A,选 ,x≥-1。 ?2

D。 答案 D

考点三

函数图像的应用

【例2】 (1)(2015·安徽卷)函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图像如图所示,则 下列结论成立的是( )

A.a>0,b<0,c>0,d>0 B.a>0,b<0,c<0,d>0

C.a<0,b<0,c>0,d>0
D.a>0,b>0,c>0,d<0

【解析】 由图像可知 f(0)=d>0,f′(x)=3ax2+2bx+c,x1,x2 为方程 2b c 3ax +2bx+c=0 的两根,因此 x1+x2=- ,x1· x2= 。由图像可知 x∈(- 3a 3a
2

2b ∞,x1)时,f′(x)>0,所以 a>0。而由图像知 x1,x2 均为正数,所以- >0, 3a c >0,由此可得 b<0,c>0,故选 A。 3a 【答案】 A

?|lg x|,x>0, (2)已知 f(x)=? |x| 则函数 y=2f2(x)-3f(x)+1 的零点个数是 ?2 ,x≤0,

5 。 ________

1 【解析】 方程 2f2(x)-3f(x)+1=0 的解为 f(x)= 或 1。作出 y=f(x) 2 的图像,由图像知零点的个数为 5。

(3)函数 f(x)是定义在[-4,4]上的偶函数,其在[0,4]上的图像如图所示, ? π ? ? π? ?- ,-1?∪?1, ? f?x? 2? ? 2 ? ? 那么不等式 <0 的解集为_____________________ 。 cos x ? π? 【解析】 在?0, ?上 y= cos x>0, 2? ?
?π ? 在? ,4?上 y=cos x<0。 ?2 ? ? π? f?x? ? 由 f(x)的图像知在 1, ?上 <0, 2? cos x ?

因为 f(x)为偶函数,y= cos x 也是偶函数, 所以 y= f?x? 为偶函数, cos x

f?x? ? π ? ? π? ? ? ? 所以 <0 的解集为 - ,-1 ∪ 1, ?。 cos x 2? ? 2 ? ?

【规律方法】 形结合思想;

(1)研究函数性质时一般要借助于函数图像,体现了数

(2)有些不等式问题常转化为两函数图像的上、下关系来解决; (3)方程解的问题常转化为两熟悉的函数图像的交点个数问题来解决。

变式训练2 (1)已知函数y=f(x)的周期为2,当x∈[-1,1]时f(x)=x2,那
么函数y=f(x)的图像与函数y=|lg x|的图像的交点共有( A.10个 B.9个 )

C.8个

D.1个

解析 观察图像可知,共有10个交点。

答案 A

(2)(2015· 黄冈调 研 ) 设函数 f(x) = |x + a| , g(x) = x - 1 ,对于任意的 x∈R,不等式f(x)≥g(x)恒成立,则实数a的取值范围是_______________ [-1,+∞) 。 解析 如图,要使f(x)≥g(x)恒成立,则-a≤1, ∴a≥-1。

S

思想方法

感悟提升

⊙1个注意点——图像变换中的易错点 在解决函数图像的变换问题时,要遵循“只能对函数关系式中的x,y 变换”的原则,写出每一次的变换所得图像对应的解析式,这样才能避免 出错。 ⊙2个区别——函数图像的对称问题 (1) 一个函数的图像关于原点对称与两个函数的图像关于原点对称不 同,前者是自身对称,且为奇函数,后者是两个不同的函数图像对称。 (2) 一个函数的图像关于 y 轴对称与两个函数的图像关于 y 轴对称也不

同,前者也是自身对称,且为偶函数,后者也是两个不同函数图像的对称
关系。

⊙2类方法——识辨函数图像的方法
(1)知式选图 ①从函数的定义域,判断图像左右的位置;从函数的值域,判断图像

的上下位置。
②从函数的单调性,判断图像的变化趋势。 ③从函数的奇偶性,判断图像的对称性。

④从函数的周期性,判断图像的循环往复。
(2)知图选式 ①从图像的左右、上下分布,观察函数的定义域、值域。

②从图像的变化趋势,观察函数的单调性。
③从图像的对称性,观察函数的奇偶性。 ④从图像的循环往复,观察函数的周期性。


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