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高中新课标数学选修(2-2)3.1~3.2测试题(1)

高中新课标数学选修(2-2)3.1~3.2 测试题

一、选择题 1.下面四个命题:① a,b 是两个相等的实数,则 (a ? b) ? (a ? b)i 是纯虚数;②任何两个复
2 数不能比较然而小;③若 z1 , z2 ?C ,且 z12 ? z2 ? 0 ,则 z1 ? z2 ? 0 ;④两个共轭虚数的差为

纯虚数.其中正确的有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 答案:A

D.4 个

2.设集合 A ? ?z| z ? C且1 ? z ≤10? ,则在下列四个复数中,不属于 A 的复数的为( A. z1 ? cos 60° ? i sin 30 B. z2 ? cos30° ? i sin 60 C. z3 ? 10cos60° ? ( 10 sin 30°)i D. z4 ? 10cos 60° ? (10sin 60°)i 答案:A



3.经过原点及复数 3 ? i 对应的直线的倾斜角为( A.



π 6

B.

5π 6

C.

7π 6

D.

2π 3

答案:B 4.设 ?1 ? a ? 1 , z 为复数且满足 (1 ? ai) z ? a ? i ,则 z 在复平面内对应的点在( A. x 轴下方 C. y 轴左方 答案:B B. x 轴上方 D. y 轴右方 )

???? ???? ? ? 5.若非零复数 z1,z2 满足 z1 ? z2 ? z1 ? z2 ,则 OZ1 与 OZ2 所成的角为(
A. 30° 答案:D 6.已知 z ? 1 ,且 z 2 ? ?1 ,则复数 B. 45° C. 60° D. 90°



z 为( z ?1
2



A.实数 B.纯虚数 C.是虚数但不一定是纯虚数 D.可以是虚数也可以是实数 答案:A 二、填空题 7.已知 M ? 1 2, 2 ? 3a ? 1) ? (a2 ? 5a ? 6)i ,N ? ??1 3? ,M ? N ? ?3? ,则实数 a ? , ,(a 答案: ?1 8.已知复数 z1 ? 3 ? 4i , z2 ? t ? i ,且 z1 与 z 2 共轭复数的积是实数,则实数 t 的值为 答案: .

?

?



3 4
3 1 ? i 是实系数一元二次方程 ax 2 ? bx ? 1 ? 0 的一个根, a ? 则 2 2

9. 已知

,b ?



答案:1, ? 3

· 10.利用公式 a2 ? b2 ? (a ? bi)(a ? bi) ,把 x2 ? 2cos ? x ?1 分解成一次因式的积为



答案: ( x ? cos ? ? i sin ? )( x ? cos ? ? i sin ? ) 11.已知 z1 ?
(1 ? 2i ) 4 z , z2 ? 1 ,则 z2 的值是 (3 ? i )3 2?i



答案:

2 4

12.对于任意两个复数 z1 ? x1 ? y1i , z2 ? x2 ? y2i ( x1,y1,x2,y2 为实数) ,定义运算“ ⊙ ” 为: z1 ⊙ z2 ? x1 x2 ? y1 y2 。设非零复数 ?1,?2 在复平面内对应的点分别为 P1 , P2 ,点 O 为坐 标原点.如果 ?1 ⊙ ?2 ? 0 ,那么在 △POP2 中, ?POP2 的大小为 . 1 1 答案:

π 2

三、解答题

13.已知 z ? 1 ? i , a , b ? R ,若

z 2 ? az ? b ? 1 ? i ,求 a , b 的值. z2 ? z ? 1

解:∵ z ? 1 ? i ,∴ z 2 ? 2i ,



z 2 ? ax ? b 2i ? a ? ai ? b (a ? 2)i ? (a ? b) ? ? ? a ? 2 ? (a ? b)i ? 1 ? i , z2 ? z ? 1 2i ? 1 ? i ? 1 i

, , ?a ? 2 ? 1 ?a ? ?1 ∴? ∴? , ?a ? b ? 1 ?b ? 2.

14.已知复数 z 满足 z ? 2 , z 2 的虚部是 2. (1)求复数 z ; (2)设 z,z 2,z ? z 2 在复平面上的对应点分别为 A,B,C ,求 △ ABC 的面积.

解: (1)设 z ? a ? bi(a,b ? R) ,则 z 2 ? a 2 ? b2 ? 2abi , 由题意得 a 2 ? b2 ? 2 且 2 ab ? 2 , 解得 a ? b ? 1 或 a ? b ? ?1 , 因此 z ? 1 ? i 或 z ? ?1 ? i . (2)当 z ? 1 ? i 时, z 2 ? 2i , z ? z 2 ? 1 ? i , ,, 2) , 所以得 A(11) B(0,,C (1 ? 1) , 所以 S△ ABC ? 1 . 当 z ? ?1 ? i 时, z 2 ? 2i , z ? z 2 ? 1 ? 3i , , 2) , 所以得 A(?1 ? 1),B(0,,C (?1 ? 3) , 所以 S△ ABC ? 1 . 15.设 z 为虚数,求证: ? ?

z ?1 为纯虚数的充要条件是: z ? 1 . z ?1

证明:∵ z 为虚数,∴? ?

z ?1 ?0, z ?1
z ?1 z ?1 ? ? 0 ? ( z ? 1)( z ? 1) ? ( z ? 1)( z ? 1) ? 0 z ?1 z ?1

则 ? 为纯虚数 ? ? ? ? ? 0 ?
2

? z z ?1? z ?1? z ?1. ·


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