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课时提升作业(十二) 2.4.2

圆学子梦想 铸金字品牌

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课时提升作业(十二)
二次函数的性质

(30 分钟 50 分) 一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1.二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的图像的顶点为(4,0),且过点(0,2),则 abc 等于 ( A.-6 B.11 C.D. )

【解析】 选 C.由题意知,

解之得

所以 abc= ×(-1)×2=- .

2.(2014·西安高一检测)函数 f(x)=ax2+bx+3 在(-∞,-1]上是增加的,在 [-1,+∞)上是减少的,则( A.b>0 且 a<0 C.b=2a>0 )

B.b=2a<0 D.a,b 的符号不定

【解析】选 B.由题意知,a<0 且- =-1,所以 b=2a<0. 【举一反三】若把本题改为“二次函数 f(x)=ax2+bx+3 在(-∞,-1]上是增加的, 则 a,b 满足的条件有 .”

【解析】由题意知 a<0,- ≥-1,即 b≥2a. 答案:a<0,b≥2a
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3.函数 f(x)=ax2+2(a-3)x+1 在区间(-2,+∞)上是减少的,则 a 的取值范围是 ( A.[-3,0] C.[-3,0) B.(-∞,-3] D.[-2,0] )

【解析】选 A.(1)当 a=0 时,显然正确. (2) 当 a ≠ 0 时 ,f(x)=ax2+2(a-3)x+1 在 (-2,+ ≦ ) 上 是 减 少 的 , 应 满 足

解得-3≤a<0. 由(1)(2)可知,a 的取值范围是[-3,0]. 【误区警示】本题易忽略 a=0 这种情况. 【变式训练】 如果函数 f(x)=x2+2(a-1)x+2 在区间(-∞,4]上是减少的,那么实数 a 的取值范围是( A.a≤-3 ) C.a≤5 D.a≥5 =1-a,要使函数 f(x)在区间

B.a≥-3

【解析】选 A.函数 f(x)的对称轴方程为 x=(-≦,4]上是减少的,必须 1-a≥4, 所以 a≤-3. 4.(2014·宜春高一检测)函数 y= A.[0,2] C.(-∞,4] B.[0,4] D.[0,+∞) = =2,

的值域为(

)

【解析】选 A.因为 y= ≤ 所以 y∈[0,2].

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5.已知函数 f(x)=x2-2x+3 在闭区间[0,m]上有最大值 3,最小值 2,则 m 的取值范 围是( ) B.[0,2] D.(-∞,2]

A.[1,+∞) C.[1,2]

【解题指南】画出 y=f(x)=x2-2x+3 的草图,结合图像求解. 【解析】选 C.因为二次函数的解析式已确定,而区间的左端点也确定,故要使函 数在区间[0,m]上有最大值为 3,最小值为 2,只有画出草图来观察,如图所示.

因为 f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2, f(0)=3,f(1)=2,且 f(2)=3. 可知只有当 m∈[1,2]时,才能满足题目的要求. 6.(2014·襄阳高一检测)生产季节性产品的企业,当它的产品无利润时就会及时 停产,现有一生产季节性产品的企业,一年中获得利润 y 与月份 n 之间的函数关 系式是 y=-n2+15n-36,那么该企业一年中应停产的月份是( A.1 月,2 月 C.3 月,12 月 B.1 月,2 月,3 月 D.1 月,2 月,3 月,12 月 )

【解析】选 D.令 y=0,则-n2+15n-36=0, 所以 n2-15n+36=0,
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所以(n-3)(n-12)=0, 所以 n1=3,n2=12, 因为 a=-1<0, 所以抛物线开口向下, 所以 n=1 和 n=2 时,y<0, 所以该企业一年中应停产的月份是 1 月,2 月,3 月,12 月. 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 7.(2014· 宝鸡高一检测)若二次函数 f1(x)=a1x2+b1x+c1 和 f2(x)=a2x2+b2x+c2,使得 f1(x)+f2(x)在 R 上是增函数的条件是 .

【解析】f1(x)+f2(x)=(a1+a2)x2+(b1+b2)x+c1+c2. 因为 f1(x)+f2(x)在 R 上是增函数, 所以 a1+a2=0,b1+b2>0. 答案:a1+a2=0,b1+b2>0 8.(2014·亳州高一检测)已知函数 y=2x2+ax-1 在区间(0,4)上不单调,则实数 a 的取值范围为 .

【解析】因为 y=2x2+ax-1,所以此函数对称轴为 x=- , 要使 y=2x2+ax-1 在(0,4)上不单调, 所以 0<- <4,即-16<a<0. 答案:(-16,0) 【举一反三】若把条件改为“在(0,4)上单调”,结果又如何? 【解析】方法一:取上题的解集的补集,所以 a∈(-≦,-16]∪[0,+≦). 方法二:- ≥4 或- ≤0,即 a≤-16 或 a≥0.

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9.函数 y=x2+ax+3(0<a<2)在[-1,1]上的最大值是 【解析】函数 y=x2+ax+3 的对称轴方程为 x=- , 因为 0<a<2,所以-1<- <0, 所以 f(x)max=f(1)=4+a, f(x)min=f(- )=3- . 答案:4+a 3三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 10.(2014·惠州高一检测)已知函数 f(x)=x2+4ax+2a+6. (1)若函数 f(x)的值域为[0,+∞),求 a 的值. (2)若函数 f(x)在[2,+∞)上是增加的,求 a 的取值范围. 【解析】(1)因为函数的值域为[0,+≦), 所以Δ=16a2-4(2a+6)=0, 即 2a2-a-3=0, 所以 a=-1 或 a= .

,最小值是

.

(2)函数 f(x)=x2+4ax+2a+6 在[-2a,+≦)上是增加的,要使函数 f(x)在[2,+≦)上 是增加的,只需-2a≤2,所以 a≥-1.故 a 的取值范围是[-1,+≦). 11.(2014·蚌埠高一检测)已知函数 f(x)=-x2+2ax-1,若 f(x)在[-1,1]上的最大 值为 g(a),求 g(a)的解析式. 【解析】f(x)=-(x-a)2+a2-1, (1)当 a≤-1 时,f(x)在[-1,1]上是减少的, 所以 f(x)max=f(-1)=-2a-2. (2)当-1<a<1 时,f(x)在[-1,a]上是增加的,在(a,1]上是减少的,
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所以 f(x)max=f(a)=a2-1. (3)当 a≥1 时,f(x)在[-1,1]上是增加的, 所以 f(x)max=f(1)=2a-2, 所以 g(a)= 【拓展延伸】二次函数在定区间上的最值 二次函数在给定区间上的图像是一段抛物线弧 .当所给区间上的抛物线弧段不 含抛物线顶点,即在给定区间上单调时,它的最值分别在抛物线弧段的两个端点 处取得;当所给区间上的抛物线弧段含抛物线顶点时 ,它的最值分别在抛物线的 顶点及抛物线弧段的两个端点之一取得.

(30 分钟 50 分) 一、选择题(每小题 4 分,共 16 分) 1.(2014·惠州高一检测)函数 y=x2-2x 的定义域为{0,1,2,3},那么其值域为 ( A.{-1,0,3} C.{y|-1≤y≤3} B.{0,1,2,3} D.{y|0≤y≤3} )

【解析】选 A.因为 y=x2-2x,x∈{0,1,2,3},所以 y∈{0,-1,3}. 2.(2014·南昌高一检测)对于函数 f(x)=-3x2+k,当实数 k 属于下列选项中的哪 一个区间时,才能确保一定存在实数对 a,b(a<b<0),使得当函数 f(x)的定义域为 [a,b]时,其值域也恰好是[a,b]( A.[-2,0) B.
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)

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C.

D.

【解题指南】讨论 y=f(x)在[a,b]上的单调性,可知 f(a)=a,f(b)=b,即-3x2+k=x 有 2 个负根. 【解析】选 D.因为 f(x)=-3x2+k,x∈[a,b](a<b<0), 所以 f(x)在[a,b]上单调递增. 所以 即-3x2+k=x 有 2 个负根.

所以 3x2+x-k=0.

所以

所以- <k<0. 【变式训练】(2014·济宁高一检测)若函数 f(x)=x2-4x-2 的定义域为[0,m],值 域为[-6,-2],则 m 的取值范围是 【解析】f(x)=x2-4x-2=(x-2)2-6, 令 f(x)=-2,则 x=0 或 x=4. 如图,所以 m∈[2,4]. .

答案:[2,4]

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3.(2014·武汉高一检测)如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,在 P 处有一棵 树与两墙的距离分别是 a 米(0<a<12)、4 米,不考虑树的粗细.现在想用 16 米长 的篱笆,借助墙角围成一个矩形的花圃 ABCD.设此矩形花圃的面积为 S 平方米,S 的最大值为 f(a),若将这棵树围在花圃内,则函数 u=f(a)的图像大致是( )

【解析】选 C.由题意设 BC 为 x,则 S=x·(16-x). 其中: 所以 S=-x2+16x =-(x-8)2+64,x∈[a,12], 当 a≤8 时,u=f(8)=64. 当 a>8 时,u=f(a)=-(a-8)2+64=-a2+16a, 所以 u=f(a)= 4.已知函数 f(x)=ax2+2(a-2)x+a-4,当 x∈(-1,1)时,恒有 f(x)<0,则 a 的取值范 围为( A.a≤2 ) B.a<2 C.0<a<2
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所以 a≤x≤12.

D.a<2 且 a≠0

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【解析】选 A.当 a=0 时,f(x)=-4x-4, 则此时 f(x)是减函数,且 f(-1)=0, 则当 x∈(-1,1)时,恒有 f(x)<f(-1)=0, 即 a=0 符合题意,排除 C,D; 当 a=2 时,f(x)=2x2-2, 由于 x∈(-1,1), 则有 f(x)=2x2-2<f(-1)=f(1)=0. 即 a=2 符合题意,排除 B,故选 A. 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.当 m∈ 时,函数 f(x)=(m-2)x2-3-2m 的图像总在 x 轴下方.

【解题指南】解决本题首先要考虑函数是不是二次函数 ,如果是二次函数,图像 总在 x 轴下方,即图像开口向下,最高点在 x 轴下方或图像开口向下,且图像与 x 轴无交点. 【解析】(1)当 m-2=0,即 m=2 时,f(x)=-7,符合题意. (2)当 m-2≠0 时,f(x)为二次函数. 函数 f(x)=(m-2)x2-3-2m 的图像总在 x 轴下方,则函数图像开口向下,且最高点 (顶点)在 x 轴下方,有 解得- <m<2. 综合(1)(2)知 m∈ .

6.(2014·延安高一检测)若函数 f(x)=x2-2x+m 在区间[2,+∞)上的最小值为-3, 则实数 m 的值为 .

【解析】因为 f(x)=x2-2x+m
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=(x-1)2+m-1, 所以 f(x)=x2-2x+m 在区间[2,+≦)上是增加的, 所以 f(x)min=f(2)=m=-3. 答案:-3 三、解答题(每小题 12 分,共 24 分) 7.(2014·郑州高一检测)正在建设中的郑州地铁一号线,将有效缓解市内东西方 向交通的压力.根据测算,如果一列车每次拖 4 节车厢,每天能来回 16 次;如果每 次拖 7 节车厢,则每天能来回 10 次;每天来回次数是每次拖挂车厢节数的一次函 数,每节车厢单向一次最多能载客 110 人,试问每次应拖挂多少节车厢才能使该 列车每天营运人数最多?并求出每天最多的营运人数.(注:营运人数指列车运送 的人数). 【解析】设该列车每天来回次数为 t,每次拖挂车厢数为 n,每天营运人数为 y. 由已知可设 t=kn+b,则根据条件得 解得 所以 t=-2n+24.

所以 y=tn×110×2=440(-n2+12n); 所以当 n=6 时,y 最大=15840. 即每次应拖挂 6 节车厢,才能使该列车每天的营运人数最多,最多为 15840 人. 【变式训练】渔场中鱼群的最大养殖量为 m 吨,为保证鱼群的生长空间,实际养 殖量不能达到最大养殖量,必须留出适当的空闲量.已知鱼群的年增长量 y 吨与 实际养殖量 x 吨和空闲率(1)的乘积成正比,比例系数为 k(k>0).

(1)写出 y 关于 x 的函数关系式,并求出定义域.
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(2)求鱼群的年增长量的最大值. (3)当鱼群的年增长量达到最大值时,求 k 所应满足的条件. 【解析】(1)由题意知,空闲率为 所以 y=kx (2)y=- x2+kx=因为- <0 且 0<x<m, 所以当 x= 时,ymax= . , (0<x<m). + , ,

(3)因为当 x= 时,ymax=

又实际养殖量不能达到最大养殖量, 所以此时需要 + <m,解得 k<2.

又因为 k>0,所以 0<k<2. 8.(2014·重庆高一检测)已知函数 f(x)=x2-x+a+1 (1)若 f(x)≥0 对一切实数 x 恒成立,求实数 a 的取值范围. (2)若 f(x)在区间[a,a+1]上是单调函数,求 a 的取值范围. 【解析】因为 f(x)=x2-x+a+1= (1)若 f(x)≥0 对一切 x∈R 恒成立, 所以 a+ ≥0,所以 a≥- . (2)f(x)在区间[a,a+1]上是单调函数, 所以 a≥ 或 a+1≤ , 即 a≥ 或 a≤- . +a+ ,所以 f(x)min=a+ .

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