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精英班第二章集合及其应用(一)_图文

第二章 集合及其应用 (一)

1. 子集: 考察下面两个集合: A 是育英中学高一年级全体男生组成的集合, B 是育英中学高一年级全体学生组成的集合。 显然集合 A 中的任何元素都属于集合 B 。 再考察:

C ? ?x x ? 6k , k ?Z? , D ? ?x x ? 2m, m ?Z? 。
显然,能被 6 整除的整数必是偶数,就是说集合 C 中任何一个元素都在集合 D 中。 集合之间的这种关系,我们经常会遇到。对于两个集合 A 和 B ,如果集合 A 中的任何一个元素都属于集合 ,读作“ A 包含于 B ”或“ B 包含 A ” 。 B ,那么集合 A 叫做集合 B 的子集,记作 A ? B (或 B ? A ) 我们规定,空集包含于任何一个集合,空集是任何集合的子集。 用平面区域来表示集合之间关系的方法叫做集合的图示法,所用图叫做文氏图。如图所示,表示的含义就 是A? B。

B A

2. 交集: 考察下面集合的元素:

A ? ?x x为 的正约数? , B ? ?x x为 的正约数? ,C ? ?x x为 与 的正公约数? 。若将它们分别用列举法表 10 15 10 15
示,则有 A ? ?1,2,5,10? , B ? ?1,3,5,15?, C ? ?1,5? ,可以看到,集合 C 的元素恰是集合 A 与 B 的所有公共元 素。 一般而言, 由集合 A 与集合 B 的所有公共元素组成的集合叫做 A 与 B 的交集, 记作 A∩B , “ A 交 B ” 读作 。

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即 A∩B ? ?x x ? A且x ? B? 。 3. 并集: 由所有属于集合 A 或者属于集合 B 的元素组成的集合叫做集合 A, B 的并集,记作 A∪B ,读作“ A 并 B ” , 即 A∪B ? ?x x ? A或x ? B? 。 4. 补集: 在研究集合与集合之间的关系时,这些集合往往是某个给定集合的子集。这个确定的集合叫做全集,常用 符号 U 表示。也就是说全集含有我们所要研究的各个集合的全部元素。例如,讨论方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 的 实数解时,是在实数集中讨论的,这时将实数集 R 指定为全集。讨论方程的有理数解时,又将有理数 Q 当 做全集。设 U 为全集, A 是 U 的子集,则由 U 中所有不属于 A 的元素组成的集合叫做集合 A 在集合 U 中 的补集,记作 ? U A ,读作“ A 补” 。我们通常用矩形的内部表示全集,如图所示,即在矩形内、集合 A 外 的阴影部分,表示 A 的补集 ? U A 。 ? U A ? ?x x ?U , x ? A? 。例如, U ? R 时, Q 的补集就是全体无理数组 成的集合; U ? Q 时, Q 的补集就是空集。我们还可以用 A 表示 A 的补集。

5. 德摩根定律: ① A, B 交集的补集等于 A, B 补集之并;② A, B 并集的补集等于 A, B 的补集之交。即:
A? B ? A? B和 A? B ? A? B。

【例1】

设 M ? ? ,3, x? , N ? x 2 ? x ? 1 ,若 M ? N ? N ,则 x 为( ) 。 1

?

?

A .1
【分析】

B . ?1 或 0 或 2

C . ?1 或 2

D .不存在

∵ N ? M ? N ? M , ∴ x 2 ? x ? 1 ? 1 或 x 2 ? x ? 1 ? 3 或 x 2 ? x ? 1 ? x , 解 得 x ? 0, x ? 1 ; 或
x ? ?1, x ? 2 ;或 x ? 1 。∴取 x ? 0, x ? ?1, x ? 2 。

【拓展】

已知集合 A ? x x 2 ? px ? q ? 0 ,集合 B ? x x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ,且 A ? B ? B ,求 p, q 的值或其关 系式。

?

?

?

?

【分析】

B ? ? ,2? ,∵ A ? B ? B ,∴ A ? B 。 1

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(1) 当 A ? ? 时, ? ? p 2 ? 4q ? 0 ,即 p 2 ? 4q ; (2) 当 A ? ?? 时,方程 x 2 ? px ? q ? 0 有两个相等实数根 x1 ? x 2 ? 1 , 1

∴ p ? ?( x1 ? x2 ) ? ?2, q ? x1 x2 ? 1 ;
(3) 当 A ? ?2? 时,方程 x 2 ? px ? q ? 0 有两个相等实数根 x1 ? x 2 ? 2 ,

∴ p ? ?( x1 ? x 2 ) ? ?4, q ? x1 x 2 ? 4 ;
(4) 当 A ? ? ,2? 时,方程 x 2 ? px ? q ? 0 有两个不等实数根 x1 ? 1, x 2 ? 2 , 1

∴ p ? ?( x1 ? x 2 ) ? ?3, q ? x1 x 2 ? 2 ; 综上所述,当 A ? ? 时, p 2 ? 4q ;当 A ? ?? 时, p ? ?2, q ? 1 ;当 A ? ?2? 时, p ? ?4, q ? 4 ; 1 当 A ? ? ,2? 时, p ? ?3, q ? 2 。 1

【例2】

对于实数集 A ? x x 2 2ax ? 4a ? 3 ? 0 和 B ? x x 2 ? 2 2ax ? a 2 ? a ? 2 ? 0 ,是否存在实数 a , 使得 A ? B ? ? ?若不存在,请说明理由;若存在,求出 a 的取值范围。 假设存在实数 a ,使得 A ? B ? ? ,则 A ? ? 且 B ? ? 。 若 A ? ? ,则 ? ? (?2a) 2 ? 4(4a ? 3) ? 0 ,解得 1 ? a ? 3 ; 若 B ? ? ,则 ? ? (?2 2a) 2 ? 4(a 2 ? a ? 2) ? 0 ,解得 ?1 ? a ? 2 。 ∴ a 的取值范围是 1 ? a ? 2 。 设集合 A ? ( x, y ) x 2 ? y 2 ? 1, x ? R, y ? R , B ? ( x, y ) x 2 ? y ? 0, x ? R, y ? R ,则集合 A ? B 中 元素个数为( ) 。 A .1个 B .2个 D.4个 C . 3个 A 表示单位圆上点的集合, B 表示抛物线上点的集合, A ? B 表示圆和抛物线交点的个数,即

?

?

?

?

【分析】

【拓展】

?

?

?

?

【分析】

? x 2 ? y 2 ? 1, ∴ y 2 ? y ? 1 ? 0, ? ? 1 ? 4 ? 5 ? 0 ,∴有两个不同解,即圆与抛物线有两个交点。 ? 2 ? x ? y ? 0,
【答案】 B 【例3】 设集合 A ? x y 2 ? 2 x, x ? R , B ? x y 2 ? x ? 1, x ? R ,则 A ? B ? ( ) 。

?

?

?

?

A . ?1?
【分析】

B . (1, 2 ), (1,? 2 )

?

?

C . ?x x ? 0?

D . ?x x ? ?1?

A ? x y 2 ? 2 x, x ? R ? ?x x ? 0?, B ? x y 2 ? x ? 1, x ? R ? ?x x ? ?1?,

?

?

?

?

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∴ A ? B ? ?x x ? 0?? ?x x ? ?1?? ?x x ? 0? 。 【答案】 C

【拓展】

已知集合 A ? x x 2 ? m x ? 1 ? 0 ,若 A ? R ? ? ,则实数 m 的取值范围是( ) 。

?

?

A.m? 4
【分析】

B.m?4

C .0 ? m ? 4

D.0 ? m ? 4

当 A ? ? 时, A ? R ? ? 。又在方程 x 2 ? m x ? 1 ? 0 中, m 在 m ? 0 时有意义,
? m ? 0, ∴? ∴0 ? m ? 4 。 【答案】 D 2 ?? ? ( m ) ? 4 ? 0,

【拓展】

? 1 ? 已知集合 M ? ?? 1,1? , N ? ? x ? 2 x ?1 ? 4, x ? Z ? ,则 M ? N ? ( ) 。 ? 2 ?

A . ?? 1,1?
【分析】

B . ?? 1?

C . ?0?

D . ?? 1,0?

? 1 ? 由 N ? ? x ? 2 x ?1 ? 4, x ? Z ? ? x 2 ?1 ? 2 x ?1 ? 2 2 , x ? Z ,∴ N ? ?? 1,0? ,∴ M ? N ? ?? 1? 。 ? 2 ?

?

?

【答案】 B 【例4】 【分析】 设 M ? x x 2 ? 3x ? 2 ? 0 , N ? x x 2 ? mx ? 2 ? 0 ,设 M ? N ? N ,求实数 m 。
1 ∵ M ? N ? N ,∴ N ? M .∵ M ? x x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ? ? ,2? ,

?

?

?

?

?

?

(1) 若 N ? ? ,则 ? ? m 2 ? 8 ? 0 ,可得 ? 2 2 ? m ? 2 2 ; (2) 若 M ? ? ,则方程 x 2 ? mx ? 2 ? 0 有根 1 和 2 ,可得 m ? 3 。

综上可得 m ? 3 或 ? 2 2 ? m ? 2 2 。

【拓展】

已知集合 A ? x x 2 ? 5 x ? 6 ? 0 ,集合 B ? x 2x ? 1 ? 3 ,则集合 A ? B ? ( ) 。

?

?

?

?

A . ?x 2 ? x ? 3?
【分析】

B . ?x 2 ? x ? 3?

C . ?x 2 ? x ? 3?

D . ?x ? 1 ? x ? 3?

法一:令 x ? 2 ,则不满足集合 B ,可排除选项 A 、 B ;再令 x ? 3 ,则同事满足集合 A 和 B ; 法二:由 x 2 ? 5x ? 6 ? 0 解得 2 ? x ? 3 ,由 2 x ? 1 ? 3 解得 x ? 2 或 x ? ?1 ,因此 2 ? x ? 3 。 【答案】 C

【例5】

已知 A ? x x2 ? ax ? a2 ? 19 ? 0 , B ? x x2 ? 5x ? 6 ? 0 , C ? x x2 ? 2x ? 8 ? 0 ,且
A ? B ? ? , A ? C ? ? ,求实数 a 的值。

?

?

?

?

?

?

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【分析】

B ? ?2,3? , C ? ?2, ?4? ,由 A ? B ? ? , A ? C ? ? ,知 3 ? A, 2 ? A, ?4 ? A ,将 3 代入方程
x 2 ? ax ? a 2 ? 19 ? 0 ,得 a ? ?2 或 5 。

当 a ? ?2 时,方程 x 2 ? 2 x ? 15 ? 0 ,得 x ? 3 或 x ? ?5 ,∴ A ? ?3, ?5? 满足条件。 当 a ? 5 时,方程 x2 ? 5x ? 6 ? 0 ,得 x ? 2 或 x ? 3 ,即 A ? ?2,3? ,与 A ? C ? ? 矛盾。 因此所求 a ? ?2 。 【例6】 已知全集 S ? ( x, y) x2 ? y2 ? 9 ,集合 A ? ( x, y) x ? 2, y ? 1 , B ? ( x, y) x2 ? y2 ? 5 ,则下 列式子表示空集的是( ) 。

?

?

?

?

?

?

A. A? B
【分析】

B . (C S A) ? B

C . A ? (C S B)

D . (C S A) ? (C S B)

S 集合是以圆心在原点、半径为 3 的园的内部的点为元素的集合, B 是以圆心在原点、半径为
5 的园内部(包括圆周)的点为元素的集合,集合 A 是以四条直线围成的矩形内部的点为元

素,且不含边 x ? ?2 上的点,含边 y ? ?1 上的点(不含矩形 4 个顶点) ,矩形的对角线交点为坐 标原点,矩形的顶点到坐标原点的距离为 5 ,所以 A ? B ,如图所示,因此 A ? ? CS B ? ? ? 。 【答案】 C
y

o

x

【例7】

若集合 S ? {小于 10 的整数}, A ? S , B ? S ,且

?CS A? ? B ? ?1,9? , A ? B ? ?2? , ?CS A? ? ?CS B ? ? ?4,6,8? ,求 A 和 B .
【分析】 ∵ ? CS A? ? B ? ?1,9? ,∴ 1,9 ? A , 1,9 ? B ; ∵ A ? B ? ?2? ,∴ 2 ? A, 2 ? B ; ∵ ? CS A? ? ? CS B ? ? ?4,6,8? ,∴ 4, 6,8 ? A, 4, 6,8 ? B .

S 中还有 3,5, 7 ,是否在 A, B 中:
由条件 ? CS A? ? ? CS B ? ? ?4,6,8? ,可见 3,5, 7 都不在集合 ?4,6,8? 中,这说明( 3,5, 7 中每一个, 以 5 为例) 5 要么在 A 中,要么在 B 中,要么同时在 A, B 中。 由条件 A ? B ? ?2? 可得, 5 同时在 A, B 中不可能;若 5 在 B 中,这与条件 ? CS A? ? B ? ?1,9? 集 合中没有 5 矛盾;若在 A 中,则满足题中的条件,所以 5 ? A ,同理, 3? A , 7 ? A 。

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综上, A ? ?2,3,5,7? , B ? ?1, 2,9? 。

【例8】

已知集合 A ? ?x x ? a? , B ? ?x 1 ? x ? 2? , A ? (CR B) ? R ,则实数 a 的取值范围是( ) 。

A . a ?1
【分析】

B . a ?1

C.a?2

D.a?2

∵ CR B ? ?x x ? 1 或 x ? 2? ,又 A ? ?x x ? a? ,观察 CR B, A 在数轴上所表示的区间,如图,可得 当 a ? 2 时, A ? (CR B) ? R 。 【答案】 C

【拓展】

若 集 合 P ? y y ? ? sin x ? cos x ?
P, Q, S 之间的关系为( ) 。

?

2

, x? R , 集合 Q ? y y ? x2 ? 2, x ? P , S ? x 2

?

?

?

?

x?2

?1 ,则

?

A. P?Q? S ??
【分析】

B.P?Q ? S

C .P?Q?S ? P?S

D . P ? S ?? ?

集合 P 中, y ? (sin x ? cos x)2 ? 1 ? sin 2 x, x ? R ,∴ P ? ? y 0 ? y ? 2? ; 集合 Q 中, y ? x2 ? 2, x ? P, 得 2 ? y ? 6 ,∴ Q ? ? y 2 ? y ? 6? ; 集合 S 中, 2 x ?2 ? 1, x ? 2 ? 0, x ? 2 ,∴ S ? ?2? . 综上可得 P ? Q ? S 。 【答案】 B 设集合 M ? ?1, 2,3, 4,5,6? , S1 , S2 , ? ? ?, S K 都是 M 的含有两个元素的子集,且满足:对任意的

【例9】

Si ? ?ai , bi ? , S j ? ?a j , bj ?,(i ? j 且 i, j ??1,2,3, ???, K?) ,都有
? a j bj ? ?a b ? ? ? ,则 K 的最大值是( ) 。 min ? i , i ? ? min ? , ? (min ?x, y? 表示 x, y 中较小者) bi ai ? bj a j ? ? ? ? ?

A . 10
【分析】

B . 11

C . 12

D . 13

M 的含有两个元素的子集共有 C62 ? 15 个,其中:

?1, 2? ,?2, 4? ,?3,6? 满足 min ? ?

1 2? ?2 4? ?3 6? 1 , ? ? min ? , ? ? min ? , ? ? , ?2,3? , ?4,6? 满足 ?2 2? ?4 2? ?6 3? 2

?2 3? ?4 6? 2 ?1 3 ? ?2 6? 1 min ? , ? ? min ? , ? ? , ?1,3? , ?2,6? 满足 min ? , ? ? min ? , ? ? ,所以 3 2? 6 4? 3 3 1? ? ? ? ?6 2? 3 15 ? 2 ? 1 ? 1 ? 11个。 【答案】 B

【拓展】

记函数 f ( x) ? lg(2 x ? 3) 的定义域为集合 M ,函数 g ( x) ? 1 ?
(1) 集合 M , N ; (2) 集合 M ? N , M ? N .

2 的定义域为集合 N ,求: x ?1

【分析】

(1) 由 2 x ? 3 ? 0, 得 x ?

? 3? 3 2 ,∴ M ? ?x x ? ? ;由 1 ? ? 0, 得 x ? 3, 或 x ? 1 ,∴ N ? ?x x ? 1 或 2? 2 x ?1 ?

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x ? 3? 。
3? (2) M ? N ? ?x x ? 3? , M ? N ? ?x x ? 1 或 x ? ? 。 2?

【例10】

已知全集 U ? {不大于 20 的整数}, M , N 是 U 的两个子集,且满足

M ? (CU N ) ? ?3,5? , (CU M ) ? N ? ?7,19? , (CU M ) ? (CU N ) ? ?2,17? ,求 M , N 。
【分析】 根据题目中的条件,做出 Venn 图,如图。
U M 11 N 7 17 3 5 13 19 2

7,19 ? 可知 N 中有 由 (CU M ) ? (CU N ) ? ?2,17? 可知集合 M , N 中没有元素 2,17 ;由 (CU M ) ? N ? ?
元素 7,19 ,而 M 中没有;由 M ? (CU N ) ? ?3,5? 可知 M 中有元素 3,5 ,而 N 中没有;剩下的元 素 11,13 不在 (CU M ) ? N , ? (CU N ) , CU M ) ? (CU N ) 三部分中, 只有 11 ? M ? N , 13 ? M ? N . M ( 所以 M ? ?3,5,11,13? , N ? ?7,11,13,19? 。

【拓展】

已知集合 A, B, C 为全集 I 的子集,图中阴影部分所表示的集合为( ) 。

A B C
B . ( A ? B) ? (CI ( A ? B)) D . ( A ? (CI ( B ? C ))) ? ( B ? (CI ( A ? C )))

I

A . (CI C ) ? ( A ? B)
C . ( A ? B) ? (CI ( A ? B ? C ))
【分析】

阴影部分有两部分:一部分在集合 A 的内部且在 ( B ? C ) 的补集内部,所以这部分是
A ? (CI ( B ? C )) ;另一部分在集合 B 的内部且在 ( A ? C ) 的补集内部,所以这部分是 B ? (CI ( A ? C )) ,因此图中阴影部分所表示的集合为 ( A ? (CI ( B ? C ))) ? ( B ? (CI ( A ? C )))

【例11】

在一次国际性数学大会上,共有 2002 位数学家参加,其中每个人至少与其他 1335 位曾经合作 过,证明:可以找到 4 位数学家,他们中的每两个人都合作过。 记数学家为 ai (i ? 1, 2, ???, 2002) ,与 ai 合作过的数学家记为 Ai (不含 ai 本人) ,不妨设数学家 a1

【分析】

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与 a 2 合作过,则 card ( A1 ? A2 ) ? card ( A1 ) ? card ( A2 ) ? card ( A1 ? A2 ) ? 2 ?1335 ? 2002 ? 0 ,从而必 有科学家 a3 ? A1 ? A2 ,而
card ( A1 ? A2 ? A ) ? card ( A1 ? A2 ) ? card ( A3 ) ? card (( A1 ? A2 ) ? A3 ) ? 3 ?1335 ? 2 ? 2002 ? 1 .这就

说明必有科学家 a4 ? A1 ? A2 ? A3 ,这样我们就找到了四位数学家 a1 , a2 , a3 , a4 , 他们两两之间合 作过。 设集合 S ? ? A1 , A2 , A3 , A4 ? ,在 S 上定义运算 ? 为 Ai ? Aj ? Ak ,其中 k 为 i ? j 被 4 除的余数,
i, j ? 0,1, 2,3 ,则满足关系式 ( x ? x) ? A2 ? A0 的 x ? x ? S ? 的个数为( ) 。

【例12】

A .1个
【分析】

B .2个

C . 3个

D.4个

逐个验证: ( A0 ? A0 ) ? A2 ? A0 ? A2 ? A2 ? A0 ,∴ A0 不满足关系式;
( A1 ? A1 ) ? A2 ? A2 ? A2 ? A0 ,∴ A1 不满足关系式; ( A2 ? A2 ) ? A2 ? A0 ? A2 ? A2 ? A0 ,∴ A2 不满足关系式; ( A3 ? A3 ) ? A2 ? A2 ? A2 ? A0 ,∴ A3 不满足关系式;

综上, A1 , A3 满足关系式。 【答案】B 设 ? 是 R 上的一个运算, A 是 R 的非空子集,若对任意 a, b ? A ,有 a ? b ? A ,则称 A 对运算 。 ? 封闭,下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是( ) A .自然数集 B .整数集 C .有理数集 D .无理数集 有理数的四则运算(除法中除数不为零)仍然是有理数,所以有理数对四则运算都封闭。 自然数集: 3 ? 5 ? ?2, ?2 不是自然数,对减法不封闭; 整数集: 3 ? 5 ? 0.6, 0.6 不是整数,对除法不封闭; 无理数集: 2 ? 2 ? 1,1 不是无理数,对除法不封闭。 【答案】 C

【拓展】

【分析】

【例13】

已知集合 A ? ?a1 , a2 , ???, ak ? (k ? 2) ,其中 ai ? Z (i ? 1, 2, ???, k ) 。由 A 中的元素构成两个相应的集 合:S ? ?? a, b? a ? A, b ? A, a ? b ? A? ,T ? ?? a, b? a ? A, b ? A, a ? b ? A? 。 其中 ? a, b ? 是有序数对, 集合 T 中的元素个数为 n 。若对于任意的 a ? A ,总有 ?a ? A ,则称集合 A 具有性质 P 。

?1? 检验集合 ?0,1, 2,3? 与 ??1,2,3? 是否具有性质 P ,并对其中具有性质 P 的集合写出相应的集
合 S 和T ;

? 2 ? 对任何具有性质 P 的集合 A ,证明 n ? k (k ? 1) 。
2

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【分析】

?1? 集合 ?0,1, 2,3? 中 0 与 ?0 ? 0 都属于该集合,所以不具有性质 P ,集合 ??1,2,3? 中的每一个数
的相反数都不在该集合,所以具有性质 P 。集合 ??1,2,3? 相应的集合 S 和 T 是
S ? ?? ?1,3? , ?3, ?1??, T ? ?? 2, ?1? , ? 2,3?? .

? 2 ? 证明:由 A 中的元素构成的有序数对 ? ai , a j ? 共有 k 2 个,因 0 ? A ,所以

? ai , ai ? ?T (i ? 1, 2, ???, k ) 。又因为当 a ? A 时, ?a ? A ,所以当 ? ai , a j ? ?T 时,

? a , a ? ?T (i ? 1,2,???, k ) ,从而,集合 T 中元素个数最多为 1 ? k 2
j i

2

? k? ?

k (k ? 1) k (k ? 1) 。 , 即n ? 2 2

【拓展】

非空集合 G 关于运算 ? 满足: ?1? 对任意 a, b ? G ,都有 a ? b ? G ; ? 2 ? 若存在 e ?G ,使得对 一切 a ? G ,都有 a ? e ? e ? a ? a ,则称 G 关于运算 ? 为“融洽集” ,现给出下列集合和运算: ① G ? {非负整数}, ? 为整数的加法; ② G ? {偶数}, ? 为整数的乘法; ③ G ? {平面向量}, ? 为平面向量的加法; ④ G ? {二次三项式}, ? 为多项式的加法; ⑤ G ? {虚数}, ? 为复数的乘法。 其中 G 关于运算 ? 为“融洽集”的是________.(写出所有“融洽集”的序号)

【分析】

对于①,满足条件 ?1? ,当 e ? 0 ,满足条件 ? 2 ? ,故符合条件; 对于②,满足条件 ?1? ,但一个数乘以 1 才有 a ? e ? e ? a ? a 成立,而 1? G ,故不符合条件; 对于③,满足条件 ?1? ,存在 e ? 0 ,使条件 ? 2 ? 成立,故符合条件; 对于④,当 a ? x2 ? x ? 1, b ? ? x2 ? x ? 1时, a ? b ? 0 不满足条件 ?1? ,故不符合条件; 对于⑤,当 a ? i, b ? i 时, a ? b ? ?1 ? G ,故不符合条件。 【答案】①③

? ? x ?0, x ? R ? ,则 A ? B ? ( ) 【练习1】 设集合 A ? x 4x ? 1 ? 9, x ? R , B ? ? x 。 ? x?3 ?

?

?
?

A . (?3,?2]

B . (?3,?2] ? ?0, ? ? 2?

5?

?5 ? C . (??,?3] ? ? ,?? ? ?2 ?

?5 ? D . (??,?3) ? ? ,?? ? ?2 ?

【分析】

? 5? ?5 ? A ? ? x x ? ?2或x ? ? , B ? x x ? ?3或x ? 0 ,∴ A ? B ? (??,?3) ? ? ,?? ? .【答案】 D 2? ?2 ? ?

?

?

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【练习2】 设 M , N 是非空集合,且 M ? N ? U ( U 为全集) ,则下列集合表示空集的是( ) 。

A . M ? (CU N )
【分析】

B . (CU M ) ? N

C . (CU M ) ? (CU N )

D.M ? N

M 是非空集合,对 M 中任一元素 x , x? M ,∵ M ? N ? U ,∴ x ? N ,∴ x ? CU N 。
又若 x ? CU N ,则 x ? N ,∵ M ? N ,∴ x? M 。∴ M ? (CU N ) ? ? 。

【练习3】 已知 A ? x x2 ? ( p ? 2) x ? 1 ? 0, x ? R ,且 A ? (? ∞, 0 ? ,求 p 的取值范围。 【分析】 ∵ A ? (? ∞, 0 ? ,∴方程 x2 ? ( p ? 2) x ? 1 ? 0 只有非正根或无解。 ∵方程两个根之积等于 1 ,∴方程若有两个根,则必然同号,且无零根。
?( p ? 2)2 ? 4 ? 0, 当方程只有负根时,则 ? ? p ? 0; ? p ? 2 ? 0,

?

?

当方程无解时,则 ( p ? 2)2 ? 4 ? 0 ,即 ?4 ? p ? 0 。 故若 A ? (0, ? ∞) ? ? ,则 p ? ?4 。 【练习4】 已知集合 A, B, C 为非空集合, M ? A ? C , N ? B ? C , P ? M ? N ,则( ) 。 A .一定有 C ? P ? C B .一定有 C ? P ? P D 一定有 C ? P ? ? C .一定有 C ? P ? C ? P 【分析】 做出 Venn 图 (如图) ∵ M ? A ? C ,N ? B ? C ,P ? M ? N , , 则必有 ( M ? N ) ? C ,即 P ? C 。 【答案】 B

A M

C N

B

【练习5】 某班级共有 50 名学生,已知全班有 25 名学生参加数学竞赛,有 33 名学生参加物理竞赛,则该 班级同时参加数学竞赛和物理竞赛人数的最大值和最小值分别是( ) 。 A . 23,10 B . 24,9 D . 26, 7 C . 25,8 【分析】 设 A ? {参加数学竞赛的学生}, B ? {参加物理竞赛的学生}, C ? {同时参加两科竞赛的学生}, 满足 card ( A ? B) ? card ( A) ? card ( B) ? card ( A ? B) ,如图, U ? { 50 名学生},∵ card ( A) ? 25 , card ( B) ? 33 , 33 ? 25 , ∴可得 card (C ) 的最大值为 25 。 若使 card (C ) 最小, 则必须 card ( A ? B) 最大,但 card ( A ? B) ? 50 ,∴ card ( A ? B) 最大等于 50 。而 card (C ) ? card ( A) ? card ( B) ? card ( A ? B) ,所以 card (C ) 的最小值为 33 ? 25 ? 50 ? 8 。 【答案】

U B
C

C

A

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第二章

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【练习6】 设 A, B 是 非 空 集 合 , 定 义 A ? B ? ?x x ? A ? B 且 x ? A ? B? . 已 知 A ? x y 2 x ? x 2 。 B ? y y ? 2x ,则 A ? B 等于( )

?

?,

?

?

A . [0,1] ? [2, ? ∞)
【分析】

B . [0,1] ? (2, ? ∞)

C . [0,1]

D . [0, 2]

A 集合中,由 2 x ? x 2 ? 0 ,得 0 ? x ? 2 ,∴ A ? ?x 0 ? x ? 2? ;
由 ∴ yy B 集合中, y ? 2x ,( x ? 0) 得 y ? 1 , B ? ? ∴ B ? ? 1? , A ? ?xx
? 0? ,A ? B ? ?x 1 ? x ? 2? ,

若 x ? A ? B 且 x ? A ? B ,如图,即 A ? B ? ?x 0 ? x ? 1 或 x ? 2? 。 【答案】 B

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