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广东省清远市第三中学2017届高三上学期第四次周考数学(理)试题 Word版含答案

广东省清远市清城区三中高三第一学期第四次周考 数学(理)试题
(本卷满分 150 分,时间 120 分钟)

一、选择题(60 分,每题 5 分) 1.已知集合 A. B. , C. ,则 D.

2.复数 A.第一象限

的共轭复数对应的点在复平面内位于 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.已知 、 都是实数,那么“ A.充分不必要条件 C.充分必要条件

”是“

”的

B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

4.某程序的框图如图所示,执行该程序,若输入的N =3,则输出i= A.6 B.7 C.8 D.9

5.若

,则

的大小关系

A.

B.

C.

D.

6.已知

,则

的值是

A.

B.-

C.-2

D.2

7.函数

是偶函数,

是奇函数,则

A.1

B.

C.

D.

8.若某圆柱体的上部挖掉一个半球,下部挖掉一个圆锥后所得的几何 体的三视图中的正视图和俯视图如图 2 所示,则此几何体的表面积是 A. B. C. D.

9.已知 取值范围是 A.(-1,+ )

,且函数

恰有 3 个不同的零点,则实数 的

B.(-2,0)

C.(-2,+



D.(0,1]

10.已知椭圆 率 的取值范围为

与双曲线

有相同的焦点, 则椭圆

的离心

A. 11. 已知函数

B.

C.

D. 的最小正周期是 ,将函数 图

象向左平移

个单位长度后所得的函数图象过点

,则函数

A.在区间

上单调递减

B.在区间

上单调递增

C.在区间 12. 设函数 是

上单调递减 (

D.在区间 )的导函数,

上单调递增 ,且 ,则

的解集是

A.

B.

C.

D.

二、填空题(20 分,每题 5 分) 13.已知 log14 7 ? a,14b ? 5, 用 a , b 表示 log35 70 ? . 14.在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中, ?ABC ? 90 AB ? 6,BC ? 8,AA 1 ?8,
0

则三棱柱 ABC—A1B1C1 外接球的表面积是



b ?8, C= 15. 在 ?ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c . 若 a ? 3,
16.

?
3

, 则边 c =



? [1 ?
0

2

1 ? ( x ? 1) 2 ]dx =_________

三、解答题(70 分) 17.(本小题 10 分) 已知函数 y ? (1)求 M (2)当 x ? M 时,求 f ( x) ? 4 x ? 2 x ? 2 的最小值.

1? x ? lg(3 ? 4 x ? x 2 ) 的定义域为 M 1? x

18. (本小题 12 分) ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,且
2 cos C (a cos B ? b cos A) ? c .

(1)求 C (2)若 c ? 7 , S?ABC ?
3 3 ,求 ?ABC 的周长. 2

19. (本小题 12 分)在如图所示的空间几何体中,平面 ACD ? 平面 ABC , ?ACD 与 V ACB 都是边长为 2 的等边三角形, BE ? 2 , BE 与平面 ABC 所成的角为 60o ,且点 E 在 平面 ABC 上的射影落在 ?ABC 的平分线上. (1)求证: DE / / 平面 ABC ; (2)求二面角 E ? BC ? A 的余弦值.

20. (本小题 12 分)如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,角 ? 的顶点在原点,始边与

? ? x 轴的非负半轴重合,终边交单位圆于点 A, ? ? [ , ] ,将角 ? 的终边绕原点逆 4 2
时针方向旋转

?
3

交单位圆于点 B,过 B 作 BC ? y 轴于 C.

(1)若点 A 纵坐标为

3 ,求点 B 的横坐标; 2

(2)求 ?AOC 面积 S 的最大值. 21. (本小题 12 分)已知椭圆

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,以椭圆的一个短轴 2 a b 2 a 2 2 2 端点及两个焦点构成的三角形的面积为 3 ,圆 C 方程为 ( x ? a) ? ( y ? b) ? ( ) . b
uur uur

(1)求椭圆及圆 C 的方程; (2)过原点 O 作直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点,若 CA ? CB ? ?2 ,求直线 l 的方程.

22. (本小题 12 分)已知函数 f1 ( x) ? x , f 2 ( x) ? e x ,

f 3 ( x) ? lnx .

1 (1)设函数 h( x) ? mf1 ( x) ? f 3 ( x), 若 h( x) 在区间 ( , 2] 上单调,求实数 m 的取值范围; 2

(2)求证: f 2 ( x) ? f3 ( x) ? 2 f1?( x) .

数学(理)答案 一、BABCD ADCDA BB 二、 13.

1? b a?b

14. 164?

15.7.

16. 2 ?

?
2

三、

?1 ? x ?0 ? 17. 解(1) ?1 ? x ? ?1 ? x ? 1 ? M ? [?1,1) ..................................................6 分 ?3 ? 4 x ? x 2 ? 0 ?
1 (2) f ( x) ? (2 x ) 2 ? 4a ? 2 x ? 4a 2 ? 4a 令 t ? 2 x ? [ , 2) 2 1 ? g (t ) ? t 2 ? 4t ? (t ? 2) 2 ? 4 , t ? [ , 2) 2 ? f ( x) min ? g (t ) min ? g 1 25 9 ? ? 4 ? .....................................................................................12 分 2 4 4 1 ? ?C ? 2 3 .....................................................................6 分

18. 解: (1)由已知可得 2cos C (sin A cos B ? sin B cos A) ? sin C
? 2 cos C sin( A ? B) ? sin C ? cos C ?

(2)S?ABC ?

1 3 1 3 ab sin C ? 3 ? ab ? ? ab ? 6 2 2 2 2 ................................................................8 分

又 Q a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ? c 2

? (a ? b)2 ? 25 ? a ? b ? 5 .............................................................................10 分 ? a 2 ? b 2 ? 13 ,
??ABC 的周长为 5 ? 7 ........................................................................................................12 分

19. 解: (1)由题意知 ?ABC 、 ?ACD 为边长 2 的等边 ? 取 AC 的中点 O ,连接 BO , BO , 则 BO ? AC ,DO ? AC . 又平面 ACD ? 平面 ABC , 作 EF ? 平面 ABC , ? DO ? 平面 ABC , 那 么 EF / / DO , 根 据 题 意 , 点 F 落 在 BO 上 , Q BE 和 平 面 ABC 所 成 的 角 为 60o ,

? EF ? DO ? 3 , ??EBF ? 60o , Q BE ? 2 , ? DE / / OF . ? 四边形 DEFO 是平行四边形,
Q DE ? 平面 ABC, OF ? 平面 ABC , ? DE / / 平面 ABC ............................................6 分

(2)建立如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz , 则 B(0, 3,0) , C (?1, 0, 0) , E (0, 3 ? 1, 3) ,
uuu r ? BC ? (?1, ? 3, 0) uu u r ? BE ? (0, ?1, 3)

平面 ABC 的一个法向量为 n1 ? (0,0,1) ...................................................................................8 分
u u v 设平面 BCE 的法向量 n2 ? ( x, y, z )

r u u v uuu ? ?n2 ? BC ? 0 , 则 ?u u r u v uu ? ?n2 ? BE ? 0

?? x ? 3 y ? 0 ? ?? ? ?? y ? 3z ? 0

u u v 取 z ? 1 ,? n2 ? (?3, 3,1) ....................................................................................................10 分
u v u u v u vu u v n1 ? n2 13 ,又由图知,所求二面角的平面角是锐角,二面角 E ? BC ? A ? cos(n1 , n2 ) ? u v u u v ? 13 | n1 | ? | n2 |

的余弦值为

13 . 13

..........................................................................................................12 分

20. 解 :( 1 ) 定 义 得 A (cos ? ,sin ? ), B(cos(? ?
sin ? ? 3 ? ? ? , 所 ,? ? ( , ) , 所 以 ? ? 2 4 2 3 ? 2? 1 cos(? ? ) ? cos ?? . 3 3 2 .............................................5 分

?
3

),sin(? ?
B

?
3

)) , 依 题 意 可 知













? ? 1 (2)因为 | OA |? 1 , | OC |? sin(? ? ), ?AOC ? ? ? , 所以 S ? | OA | ? | OC | ? sin ?AOC 3 2 2
1 ? ? ? sin(? ? ) ? sin( ? ? ) 2 3 2

1 1 3 ? ( sin ? ? cos? ) cos? 2 2 2

1 1 3 ? ( sin ? cos? ? cos2 ? ) 2 2 2

1 1 3 1 ? cos 2? ? ( sin 2? ? ? ) 2 4 2 2 1 1 3 3 ? ( sin 2? ? cos 2? ) ? 4 2 2 8 1 ? 3 ? sin(2? ? ) ? 4 3 8 ............................................................9 分

? ? ? 5? 4? ? 5? ? ? 又因为 ? ? [ , ) ,所以 2? ? ? ( , ) ,当 2? ? ? ,即 ? ? 时, sin(2? ? ) 取 4 2 3 6 3 3 6 4 3
得最大值为 分
1? 3 1 ,所以以 S 的最大值为 ............................................................................12 8 2

21. 解: (1) 设椭圆的焦距为 2c, 左、 右焦点分别为 F1 (?c,0), F2 (c,0) , 由椭圆的离心率为

3 2

a 2 ? b2 3 c 3 3 ? ? a ? 2b, b ? c 2 4 ,所以 2 ,即 a 3 ...............................................................3 可得 a
分 以 椭 圆 的 一 个 短 轴 端 点 及 两 个 焦 点 为 顶 点 的 三 角 形 的 面 积 为 1 b ? 2c ? 3 , 即 2

1 3 ? c ? 2c ? 3 ,? c ? 3 , 2 3
所以椭圆的方程

a ? 2,

b ?1

x2 ? y2 ? 1 , 圆的方程为 ( x ? 2)2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 .............................................5 分 4

(2)①当直线 l 的斜率不存时,直线方程为 x ? 0 ,与圆 C 相切,不符合题意..................6 分 ②当直线 l 的斜率存在时,设直线方程 y ? kx ,

? y ? kx 由? 可得 (k 2 ? 1) x 2 ? (2k ? 4) x ? 1 ? 0 , 2 2 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 4 ?

3 由条件可得 ? ? (2k ? 4) 2 ? 4(k 2 ? 1) ? 0 , 即 k ? ? ................................................................8 分 4 2k ? 4 1 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? 2 , x1 x2 ? 2 k ?1 k ?1
2k 2 ? 4k k2 2 , y y ? k x x ? 1 2 1 2 k2 ?1 k2 ?1 uur uur 而圆心 C 的坐标为(2,1)则 CA ? ( x1 ? 2, y1 ? 1), CB ? ( x2 ? 2, y2 ? 1) , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ?
uur uur 所以 CA ? CB ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? ( y1 ? 1)( y2 ? 1) ? ?2 ,

即 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? y1 y2 ? ( y1 ? y2 ) ? 5 ? ?2 所以
4 1 2k ? 4 k2 2k 2 ? 4k ? 2 ? ? ? ? 5 ? ?2 解得 k ? 0 或 k ? ...............................10 分. 2 2 2 2 3 k ?1 k ?1 k ?1 k ?1

? l : y ? 0 或 4 x ? 3 y ? 0 ...........................................................................................................12 分
22. 解: (1)由题意得 h( x) ? mx ? ln x ,所以 h?( x) ? m ? 1 ,因为 1 ? x ? 2 , x 2 所以 1 ? 1 ? 2 ....................................................................................................................2 分 2 x 若函数 h( x) 在区间 ( 1 , 2] 上单调递增,则 h?( x) ? 0 在 ( 1 , 2] 上恒成立,即 m ? 1 在 ( 1 , 2] 上恒 2 2 x 2

成立,所以 m ? 2 ..........................................................................................................4 分 若函数 h( x) 在区间 ( 1 , 2] 上单调递减,则 h?( x) ? 0 在 ( 1 , 2] 上恒成立, 2 2 即 m ? 1 在 ( 1 , 2] 上恒成立,所以 m ? 1 .............................................................................5 分 x 2 2 综上,实数 m 的取值范围为 (??, 1 ] U [2, ??) ...................................................................6 分 2 (2)设 g ( x) ? f ( x) ? f ( x) ? 2 f ?( x) ? e x ? ln x ? 2 2 3 1 则 g ?( x) ? e x ? 1 , 设 ? ( x) ? e x ? 1 ,则 ? ?( x) ? e x ? 1 ? 0 ,所以 ? ?( x) ? e x ? 1 在 (0, ??) 上单调 x x x2 x 递增,

1 由 ? ( 1 ) ? 0 , ? (1) ? 0 得,存在唯一的 x0 ? ( 1 ,1) 使得 ? ( x0 ) ? e x 0 ? ? 0 , x 2 2 0
所以在 (0, x0 ) 上有 ? ( x) ? ? ( x0 ) ? 0 ,在 ( x0 , ??) 上有 ? ( x) ? ? ( x0 ) ? 0 所以 g ( x) 在 (0, x0 ) 上单调递减,在 ( x0 , ??) 递增...................................................................10 分

g ( x) min ? g ( x0 ) ? e x 0 ? 1nx0 ? 2 ?

1 1 1 ? 1n x 0 ? 2 ? x0 ? ? 2 ? 0 x0 e x0

所以 g ( x) ? 0 ,故 ?x ? (0, ??), f 2 ( x) ? f 3 ( x) ? 2 f1?( x) ..........................................................12 分