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2017高考数学一轮复习 第四节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与三角函数模型的简单应用习题 理


第四节
[基础达标]

函数 y=Asin(ω x+φ )的图象与三角函数模型的简单应用

一、选择题(每小题 5 分,共 35 分) 1.函数 f(x)=cos (x∈R,ω >0)的最小正周期为 π ,为了得到 f(x)的图象,只需将

函数 g(x)=sin ω x+

的图象

(

)

A.向左平移 个单位长度

B.向右平移 个单位长度

C.向左平移 个单位长度

D.向右平移 个单位长度

1.C 【解析】由于函数 f(x)=cos

(x∈R,ω >0)的最小正周期为 π =

,∴

ω =2,f(x)=cos

,故

g(x)=sin

=sin

=cos 2x+

=cos 2x-

,∴把函数

g(x)=cos

的图象向左平移 个单位长度,可得

y=cos 2 x+

-

=cos

=f(x)的图象.

2. (2015·银川一中四模) 把函数 y=sin

图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵

坐标不变),再将图象向右平移 个单位,那么所得图象的一条对称轴方程为

(

)

A.x=

B.x=-

C.x=-

D.x=

1

2.C 【解析】函数 y=sin

图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍所得图象解析式为

y=sin

,再向右平移 个单位得解析式为 y=sin 2 x-

+

=sin 2x-

=-cos

2x,其对称轴方程为 2x=kπ ,x=-

,k∈Z,因此当 k=1 时,其中一条对称轴方程为 x=- .

3. (2015·杭州二中模拟) 函数 f(x)=Asin (ω x+φ ) 其中 A>0,|φ |< 了得到 g(x)=sin ω x 的图象,则只要将 f(x)的图象

的图象如图所示,为 ( )

A.向右平移 个单位长度

B.向右平移

个单位长度

C.向左平移 个单位长度

D.向左平移

个单位长度

3.A 【解析】 由图象可知 A=1,

,T=π ,所以 ω =

=2,令 2× +φ =π ,得 φ = ,

所以 f(x)=sin 2x+

,设其向左平移 θ 个单位,则有 sin

=sin 2x,即

2θ + =2kπ ,解得 θ =- +2kπ ,k∈Z,观察知 A 项正确. 4.把函数 y=cos 2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),然后向左平 移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的图象是( )

4.A 【解析】原函数变换后所得的三角函数为 y=cos(x+1),结合四个选项,可得 A 项符合. 2

5. (2015·江淮十校联考) 已知函数 y=2sin(2x+φ ) 的一个对称中心点为 A. B. C. D.

的图象经过点(0,1),则该函数 ( )

5.C 【解析】由题知 2sin φ =1,得 sin φ = ,∵|φ |< ,∴φ = ,∴y=2sin

.当

x=

时,y=2sin 2×

=2sin π =0,即

是该函数的一个对称中心点.

6. (2016·河南林州一中质检) 已知函数 f(x)=

sin ω x+cos ω x(ω >0)的图象与 x 轴交

点的横坐标构成一个公差为 的等差数列,把函数 f(x)的图象沿 x 轴向左平移 个单位,得到 函数 g(x)的图象.关于函数 g(x),下列说法正确的是 A.在 上是增函数 ( )

B.当 x∈

时,函数 g(x)的值域是[-2 , 1]

C.函数 g(x)是奇函数 D.其图象关于直线 x=- 对称

6.B 【解析】f(x)=

sin ω x+cos ω x=2sin

与 x 轴交点的横坐标构成一个公

差为 的等差数列,则

,得 T=π ,从而 ω =

=2,所以 f(x)=2sin

,函数

f(x)的图象沿 x 轴向左平移 个单位得到 g(x)=2sin 2 x+

+

=2sin

=2cos 2x

的图象,故函数 g(x)的单调递增区间为-π +2kπ ≤2x≤2kπ ,即- +kπ ≤x≤kπ ,k∈Z,所以

3

A 错误;当 x∈

时,2x∈

,函数的值域为[-2,1],所以 B 正确;而 g(x)=2cos 2x

为偶函数,所以 C 错误;令 x=- ,g(x)=2cos 2x=2cos

=0,所以 D 错误.

7. (2015·湖南高考) 将函数 f(x)=sin 2x 的图象向右平移 φ

0<φ <

个单位后得到函数

g(x)的图象.若对满足|f(x1)-g(x2)|=2 的 x1,x2,有|x1-x2|min= ,则 φ =

(

)

A.

B.

C.

D.

7.D 【解析】 本题主要考查了三角函数的图象与性质.将 f(x)的图象向右平移 φ 个单位后, 得 g(x)=sin(2x-2φ ).因为|f(x1)-g(x2)|=2,不妨令 2x1= +2kπ ,2x2-2φ =- +2mπ ,k,m∈Z,

所以 x1-x2= +kπ + -mπ -φ = -φ +(k-m)π ,k,m∈Z.又因为|x1-x2|min= ,0<φ < ,所以

-φ = ,即 φ = .
二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 8.若 y=Asin(ω x+θ ) A>0,ω >0,|θ |< 的图象如图所示,则 y=

.

8.2sin

【解析】由题图知周期 T=

=π ,∴ω =

=2,且 A=2.∴

y=2sin(2x+θ ).把 x=0,y=1 代入上式得 2sin θ =1,即 sin θ = .又|θ |< ,∴θ = ,即

y=2sin

.

4

9. (2015·浙江宁波效实中学模拟) 已知函数 f(x)=2sin 5x+ 是

,则 f(x)的对称中心

.将函数 f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的 5 倍(纵坐标不变),得到函
,则 sin α 的值是

数 h(x),若 h(α )=

.

9.

,k∈Z

【解析】令 5x+ =kπ ,得 x=-

,k∈Z,所以对称中

心为

,k∈Z,f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的 5 倍(纵坐标不变)得

图象解析式为 h(x)=2sin

,当 h(α )=

- <α <

时,即

2sin

,sin

,由- <α < 得- <α +

,从而可知

0<α +

,因此 cos

,所以 sin

α =sin [高考冲关]

=sin α +

cos -cos

sin

.

1.(5 分) (2015·天津南开区二模) 已知函数 f(x)=sin ω x+

(x∈R,ω >0)的最小正周期为

π ,将 y=f(x)的图象向左平移|φ |个单位长度,所得图象关于 y 轴对称,则 φ 的一个值是 ( A. ) B. C. D.

1.D 【解析】由题可知 T=

=π ,得 ω =2,y=f(x)的图象向左平移|φ |个单位长度得

y=sin

=sin 2x+

,由于其图象关于 y 轴对称,所以

2|φ |+

+kπ ,k∈Z,得|φ |=

,k∈Z,所以当 k=0 时,φ = ,符合条件. 5

2.(5 分) (2016·鄂豫晋冀陕五省联考) 已知函数 f(x)=2sin x·sin 其中 φ ∈(0,π ),则函数 g(x)=cos(2x-φ )的图象 A.关于点 对称

是奇函数, ( )

B.可由函数 f(x)的图象向右平移 个单位得到

C.可由函数 f(x)的图象向左平移 个单位得到

D.可由函数 f(x)的图象向左平移

个单位得到

2.C 【解析】由已知得函数 f(x)为奇函数,则由 φ ∈(0,π )得 φ = ,所以 f(x)=sin

2x,g(x)=cos

=sin

=sin

,则将函数 f(x)的图象向左平移

个单位可得函数 g(x)的图象.

3.(5 分)电流强度 I(安)随时间 t(秒)变化的函数 I=Asin(ω t+φ ) A>0,ω >0,0<φ <

的图

象如图所示,则当 t=

秒时,电流强度是

(

)

A.-5 安

B.5 安

C.5



D.10 安

6

3.A 【解析】由图象知 A=10,

,∴ω =

=100π ,∴

I=10sin(100π t+φ ).观察知

,10 为五点中的第二个点,∴100π ×

+φ = ,∴φ = ,

∴I=10sin 100π t+

,当 t=

秒时,I=-5 安.

4.(5 分) (2015·濮阳质检) 将函数 y=sin 2x(x∈R)的图象分别向左平移 m(m>0)个单位,向右 平移 n(n>0)个单位,所得到的两个图象都与函数 y=sin 值为 A. B. C.π D. 的图象重合,则 m+n 的最小 ( )

4.C 【解析】将函数 y=sin 2x(x∈R)的图象向左平移 m(m>0)个单位,得函数

y=sin[2(x+m)]=sin(2x+2m),∵其图象与 y=sin

的图象重合,∴

sin(2x+2m)=sin

,∴2m= +2kπ (k∈Z),故 m=

+kπ (k∈Z),当 k=0 时,m 取得最

小值为

;将函数 y=sin 2x(x∈R)的图象向右平移 n(n>0)个单位,得到函数

y=sin[2(x-n)]=sin(2x-2n),∵其图象与 y=sin

的图象重合,∴

sin(2x-2n)=sin 2x+

,∴-2n= +2kπ (k∈Z),故 n=-

-kπ (k∈Z) ,当 k=-1 时,n 取得最

小值为

,∴m+n 的最小值为 π .

5.(5 分)定义行列式的运算:

=a1b2-a2b1,若将函数 f(x)=

的图象向左 ( )

平移 t(t>0)个单位,所得图象对应的函数为偶函数,则 t 的最小值为 A. B. C. D.

7

5.C 【解析】 本题考查三角函数的图象变换及奇偶性.f(x)=

cos x-sin x=2cos

,

平移后得到函数 y=2cos

,则由题意得 +t=kπ ,t=kπ - ,k∈Z,因为 t>0,所以 t

的最小值为

.

6.(10 分) (2015·湖北重点中学联考) 已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ ) x∈

R,A>0,ω >0,|φ |<

的部分图象如图所示.

(1)试确定函数 f(x)的解析式; (2)若 f ,求 cos 的值.

6.【解析】(1)由图象知,f(x)max=A=2,设函数 f(x)的最小正周期为 T,则

,

∴T=2,∴ω =

=π ,

∴函数 f(x)=2sin(π x+φ ).
又∵f

=2sin

=2,

∴sin

=1.

∵|φ |< ,即- <φ < ,∴-

+φ <

.

∴ +φ = ,解得 φ = ,

∴f(x)=2sin

.
8

(2)∵f

,

即 2sin

=2sin

,

∴sin

.

∴cos

=cos

=sin

= .

∴cos

=2cos2

-1

=2×

-1

=-

.

9


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