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2018课标版文数一轮(4)第四章-三角函数、解三角形5-第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式


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第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式及 二倍角公式

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教材研读
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin(α±β)=① sin αcos β±cos αsin β , cos(α±β)=② cos αcos β?sin αsin β , tan(α±β)=③

?

tan α ? tan β 1 ? tan α tan β

.

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α=④ 2sin αcos α ,

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cos 2α=⑤ cos2α-sin2α =⑥ 2cos2α-1 =⑦ tan 2α=⑧

1-2sin2α ,

?

2tan α 1 ? tan 2α

.

3.有关公式的逆用、变形 (1)tan α±tan β=tan(α±β)⑨ (1?tan αtan β) ; (2)cos2α=⑩

?

1 ? cos 2α 2

,sin2α=?

?

1 ? cos 2α 2

;

(3)1+sin 2α=(sin α+cos α)2,1-sin 2α=(sin α-cos α)2.

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?
判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)存在实数α,β使等式sin(α+β)=sin α+sin β成立.? (√) (2)在锐角△ABC中,sin Asin B和cos Acos B的大小不确定.(×)
tan α ? tan β (3)公式tan(α+β)=? 可以变形为tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β), 1 ? tan α tan β

且对任意角α,β都成立.? (×)

(4)存在实数α,使tan 2α=2tan α.? (√)
(5)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.? (√)

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1.(2015课标Ⅰ,2,5分)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=? ( A.-?
3 2

)

B.?

3 2

C.-?

1 2

D.?
1 2

1 2

答案 D 原式=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin(20°+10°)=sin 30°=? , 故选D. 2.已知α∈? ,则cos? ? α ? ? =? ( ? 0, ? ,cos α=? 6 3 2
?

? ?? ? ?

3

? ?

??

)

1 6 2 6 6 1 C.-? +? 2 6

A.? -?

B.1-? D.-1+?
? 2?

6 6

6 6

3 6 ? ? ? ,cos α=? 答案 A ∵α∈? , ∴ sin α = ? . 0, ? ? 3

3

3 3 6 1 1 6 ?? ? -sin αsin? ? =? ? ∴cos? =cos α cos ? × ? -?×? =? -? . α ? ? ?
? 6?

6

6

3

2

3

2 2

6

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1 3.(2016课标全国Ⅲ,6,5分)若tan θ=-? ,则cos 2θ=? ( 3 1 1 4 4 A.-? B.-? C.? D.? 5 5 5 5 cos 2θ ? sin 2θ 2 2 答案 D 解法一:cos 2θ=cos θ-sin θ=?2 cos θ ? sin 2θ 1 ? tan 2θ 4 =? 2 = ? .故选D. 1 ? tan θ 5 1 1 解法二:由tan θ=-? ,可得sin θ=±? , 3 10

)

因而cos 2θ=1-2sin2θ=? .

4 5

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tan15? 4.? 2 = . 1 ? tan 15? 3 答案 ? 6 3 3 tan15? 1 1 解析 ? 2 =? tan 30°=? ×?=?. 6 1 ? tan 15? 2 2 3

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考点突破
考点一 三角函数公式的基本应用
?? ?2 ? ?

典例1 已知α∈? ? , ? ? ,sin α=?.
? ? (1)求sin? ? ? α ? 的值;

5 5

?

?4 ? ? 5? ? (2)求cos? ? 2α ? 的值. ? ? 6 ? 5 ? ? ? ,sin α=? 解析 (1)因为α∈? , , ? ? ? 5 ?2 ? 2 5. 所以cos α=-?1 ? sin 2 α =-? 5

? cos α+cos? ? sin α ?? ? =sin? 故sin? ? α ? ?
4 ?4 ? 5 2 × ? 2 5 ? +? 2 ×? =? ?? ? 5 2 ? 5 ? 2 4

?

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=-? .
5 ? 2 5? 4 (2)由(1)知sin 2α=2sin αcos α=2×?× ? ? , ? =-? 5 ? 5 ? 5

10 10

?

? 5? 3 2 cos 2α=1-2sin α=1-2× ? ? =? , 5 5 ? ?

?
5? 6

2

? ? ? 2 α 所以cos? ? ? =cos?cos 2α+sin?sin 2α ?

5? ? 6

5? 6

? 3? 3 1 ? 4? = ? ? ? ×? +? ×? ?? ? 2 ? ? 5 2 ? 5? 4?3 3 =-? . 10

?

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方法指导 三角函数公式的应用策略 (1)使用两角和与差的三角函数公式,首先要记住公式的结构特征. (2)使用公式求值,应先求出相关角的函数值,再代入公式求值.

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1-1 设sin 2α=-sin α,α∈? ? , ? ? ,则tan 2α的值是

?? ?2

? ?

.

答案 ?3
? ? 解析 ∵sin 2α=2sin αcos α=-sin α,α∈? , ? ? ?, ?2 ?

?

1 2 3 ∴sin α=?,tan α=-?3 , 2

∴cos α=-? ,

?2 3 2tan α ∴tan 2α=? = ? 2

1 ? tan α 1 ? (? 3)

2

=? 3 .

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考点二

三角函数公式的逆用及变形应用
sin110? sin 20? 的值为? ( cos 155? ? sin 2155? 3 3 C.? D.-? 2 2

典例2 (1)计算? 2 A.-?
1 2

)

B.?

1 2

(2)在△ABC中,若tan Atan B=tan A+tan B+1,则cos C的值为? ( A.-? 答案 解析
2 2

)

B.? (1)B (2)B

2 2

C.?

1 2

D.-?

1 2

cos 155? ? sin 155? 1 sin 40? cos 20? sin 20? 2 1 =? = =? . sin 40? 2 cos50?

sin110? sin 20? sin 70? sin 20? (1)? = ? 2 2

cos310?

?

tan A ? tan B =-1,即tan(A+B)=-1,又A (2)由tan Atan B=tan A+tan B+1,可得? 1 ? tan A tan B 2 3? ? +B∈(0,π),所以A+B=?,则C=? ,cos C=?. 2 4 4

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方法指导

三角函数公式的活用技巧
(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同,创造条件逆用公式. (2)tan αtan β,tan α+tan β(或tan α-tan β),tan(α+β)(或tan(α-β))三者中可以 知二求一,注意公式的正用、逆用和变形使用.

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2-1 (2016江西新余三校联考)已知cos? ,则sin? ? ? 2 x ? =-? ? x ? ? 的值为 3 3 8
?
?(

?? ?

? ?

7

? ?

??

)
B.?
7 8 ? 2? ?? ?? ? ? ? ? 2 x 2 x ? 因为cos? =cos ? ? ?? ? ? 3 ? ?3 ?? ? 7 8

A.?

1 4

C.±?

1 4

D.±?

答案 C
? 8 ? 16

?? 1 ? 7 2? x ? = ? , 所以有 sin ? × ? ? ? =? 3 8 2 ? ? ?

? ? 的值为±? 1 ,从而求得sin? 1 ,故选C. ? ? 7 ? =? ? x ? 1 ? ? ? ? ?
? 3?

4

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考点三

角的变换
3 5 1 3

典例3 已知α,β均为锐角,且sin α=? ,tan(α-β)=-? . (1)求sin(α-β)的值; (2)求cos β的值.
? ? ? ?? 解析 (1)∵α,β∈? , ∴ ? < α β < ? . 0, ? ? ? 1 又∵tan(α-β)=-? <0,∴-? <α-β<0.
? 2?

2

2

2 3 sin 2 (α ? β ) ? cos 2 (α ? β ) 1 10 2 ∴?2 =? =1+tan ( α β )= ? , 2 cos (α ? β ) cos (α ? β ) 9 3 10 ∴cos(α-β)=? , 10
10 . ∴sin(α-β)=-? 10

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3 (2)∵α为锐角,且sin α=? , 5 4 ∴cos α=? . 5 3 10 10 由(1)可得,cos(α-β)=? ,sin(α-β)=-? . 10 10

则cos β=cos[α-(α-β)] =cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)
4 3 10 3 ? 5 10 5 ? 9 10 =? . 50

=? ×? +? ×? ??

10 ? ? 10 ?

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方法技巧 利用角的变换求三角函数值的策略 (1)当“已知角”有两个时,一般把“所求角”表示为两个“已知角” 的和或差的形式; (2)当“已知角”只有一个时,应着眼于“所求角”与“已知角”的和 或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.

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变式3-1 在本例条件下,求sin(α-2β)的值.
9 10 50 3 10 10 又∵sin(α-β)=-? ,cos(α-β)=? , 10 10

解析 ∵cos β=? ,β为锐角,∴sin β=?

13 10 . 50

∴sin(α-2β)=sin[(α-β)-β]=sin(α-β)cos β-cos(α-β)· sin β=-?.

24 25

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变式3-2

3 3 若将本例中“sin α=? ”变为“tan α=? ”,其他条件保持不变, 5 5 3 5 1 3

求tan(2α-β)的值.
解析 ∵tan α=? ,tan(α-β)=-? ,
3 1 ? tan α ? tan(α ? β ) 2 ∴tan(2α-β)=tan[α+(α-β)]=? = 5 3 =? . 3 1 1 ? tan α tan(α ? β ) ? ? 9 1? ? ? ? ? 5 ? 3?

?

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3-3 已知0<β<? <α<π,且cos? ,sin? ,求cos? 的值. ? α ? ? =-? ? ? β ? =? 2 2 2 2 9 3
?

?

? ?

β?

1

?α ?

? 2 ?

α? β

解析 ∵0<β<? <α<π,
∴? <α-? <π,-? <? -β < ? ,
4 4 2
1 ? cos 2 ? α ? ? =? , ∴sin? ? α ? ? =? 2 9 2
? ? ? β?

?

?

β 2

?

2

α 2

?

? ?

β? 4 5 ?
5

? ? ? 2? 1 ? sin ? β cos? = ? ? β ? ? =? , ? ? 2 2 3

α

α

?

?

?

?

?? β? ?α α? β ?? ∴cos? =cos? α ? ? ? β ? ? ?? ?? 2 2 2 ? ? ? ?? ?

7 5 β? β? ?α ? ?α ? +sin? ? ? =? =cos? cos ? sin ? . α ? ? β α ? ? β ? ? ? ? ? ? ? ? 2? 2? ?2 ? ?2 ? ? ? 27


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