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巧用不等关系解圆锥曲线的最值与范围问题
赵思博 中学一级教师 甘肃省民乐县第一中学 (734500) 18993667673 解析几何中的最值与范围问题一直是高考热点之一, 由于教材对这些问题没有作 专门介绍,因此也成了高中数学的难点之一。范围与最值的确定,其背景多依赖于一 个不等关系, 解题的关键就在于如何依据解析几何本身的特点, 建立起这一不等关系。 一、结合定义,利用图形中的几何量之间的大小关系 例 1 已知 A(4,0), B(2,2) , M 是椭圆 9x 2 ? 25y 2 ? 225 上的动点,求

MA ? MB 的最大值与最小值 解:由题意,点 A(4,0) 为椭圆的右焦点, 设左焦点为 A1 (?4,0) ,由椭圆的定义有: MA ? MB ? 2a ? ( MB ? MA1 ).
在△ A1 BM 中,

y

A1

B O A

MB ? MA1 ? A1 B ? 2 10
所以, ? 2 10 ? MB ? MA1 ? 2 10 。 又 2a ? 10 ,故 MA ? MB 的最大值为 M

x

10 ? 2 10 ,最小值为 10 ? 2 10 。
本例利用了“三角形两边之差小于第三边”这一平面几何知识,结合圆锥曲线的 定义与平面几何知识求解,直观而方便。 二、利用题中隐含的不等关系求解

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,过 a2 b2 点 F1 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A, B 两点,若△ ABF 2 为锐角三角形,求该 双曲线离心率 e 的取值范围。 ? 解:依题意得, 0 ? ?AF2 F1 ? ,故 0 ? tan?AF2 F1 ? 1 , 4 2 b 2 2 a ? c ? a ? 1 ,即 e ? 1 ? 2, e 2 ? 2e ? 1 ? 0, (e ? 1) 2 ? 2 则 2c 2ac e 所以 1 ? e ? 1 ? 2 .
例 2 已知点 F1 、 F2 分别是双曲线 已知条件没有给出相关量之间明确的不等关系, 可根据题目所提供的信息, 挖掘 出合适的不等关系,建立不等式求范围。 三、利用题中已知的不等关系(或参变量范围)转化求解

x2 y2 例 3 已知椭圆: 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点分别为 F1 、F2 , 斜率为 k a b 的直线 l 过左焦点 F1 且与椭圆的交点为 A、B , 与 y 轴交点为 C , 若 B 为线段 CF1 的
中点, k ?

14 ,求椭圆离心率 e 的取值范围. 2 解:设 F1 (?c,0) ,则直线 l 的方程为 y ? k ( x ? c) .
令 x ? 0 得 y ? kc ,∴点 C 的坐标为 (0, kc) ,从而点 B 的坐标为 (? ∵点 B 在椭圆上,

c kc , ). 2 2



c2 k 2c 2 k 2e2 c2 k 2c 2 2 ? ? 1 e ? ?4. 即 ,即 ? ? 1 4a 2 4b 2 1 ? e2 4a 2 4(a 2 ? c 2 )
2

(4 ? e 2 )(1 ? e 2 ) e2 2 (4 ? e )(1 ? e 2 ) 7 14 又k ? ,∴ ? ,即 2e 4 ? 17e 2 ? 8 ? 0 , 2 2 2 e 1 1 2 2 2 2 解得 ? e ? 8 又 0 ? e ? 1 ,∴ ? e ? 1 ,∴ ? e ?1. 2 2 2
∴k ? 利用已知参数的范围, 求新参数的范围, 解这类问题的核心是在两个参数之间建 立等量关系。 四、巧用基本不等式 例 4 已知 F1 、 F2 是椭圆的两个焦点, P 为椭圆上一点, ?F1 PF2 ? 60o ,求椭 圆离心率的范围。 解:设椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) , a2 b2 PF1 ? m, PF2 ? n 则 m ? n ? 2a
m?n 2 ) 2

在△ PF1 F2 中,由余弦定理可知,

4c 2 ? m 2 ? n 2 ? 2mn cos 60 o ? (m ? n) 2 ? 3mn ? 4a 2 ? 3mn ? 4a 2 ? 3(

? 4a 2 ? 3a 2 ? a 2 (当且仅当 m ? n 时取等号). 1 c2 1 ∴ 2 ? ,即 e ? . 2 4 a ?1 ? 又 0 ? e ? 1 ,∴e 的取值范围是 ? ,1? . ?2 ?
基本不等式的特点是和化乘积要缩小,等号成立取最小;乘积化和就放大,等号 成立取最大,解析几何中涉及和与积的问题,就可以思考用基本不等式求解。 五、利用一元二次方程的判别式、韦达定理或根的分布理论求解
2 2 例 5 若直线 y ? kx ? 2 与双曲线 x ? y ? 6 的右支交于不同的两点,求 k 的取 值范围.

解:由 ?

? y ? kx ? 2 2 2 得 (1 ? k ) x ? 4kx ? 10 ? 0 . 2 2 ?x ? y ? 6

直线与双曲线右支有两个不同交点,则

? 1? k 2 ? 0 ? 2 2 ?? ? 16k ? 4(1 ? k ) ? (?10) ? 0 ? 4k ? x1 ? x 2 ? ?0 1? k 2 ? ? 10 ? x1 x 2 ? ?0 ? 1? k 2 ?
解得 ?

15 15 ? k ? ?1 ,即 k 的取值范围为 (? ,?1) 3 3

本例把直线与双曲线右支有两个公共点的问题转化为一元二次方程有两个相异 正根的问题,结合韦达定理及根的分布理论求解。 六、利用圆锥曲线上的点的坐标的取值范围解决

x2 y2 ? ? 1 ,A, B 是双曲线右支上的两点, 线段 AB 的垂直平 16 9 分线与 x 轴相交于点 P( x0 ,0) ,求 x0 的取值范围。
例 6 已知双曲线 解:由题知,点 P 在线段 AB 的垂直平分线上,所以 AP ? BP , 若设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则有 ( x1 ? x0 ) 2 ? y1 ? ( x2 ? x0 ) 2 ? y2 因 A, B 在双曲线上,所以 y1 ? 代入①化简得: x 0 ?
2

2

2



9 x1 9x 2 ? 9, y 2 ? 2 ? 9 , 16 16

2

2

25 25 ( x1 ? x 2 ) ,由 x1 ? 4, x2 ? 4 得 x 0 ? 32 4

利用圆锥曲线上的点的坐标的取值范围建立不等式, 是解决范围问题的一条重要 途径。 七、利用点在圆锥曲线内(外)的充要条件 例 7 已知点 O 为原点,点 B(10,5) 。是否存在实数 a ,使得抛物线

y ? ax2 ? 1 (a ? 0) 上总有关于直线 OB 对称的两个点?若存在,求出 a 的取值范
围 ;若不存在,说明理由 。 解:假设存在实数 a ,使得抛物线 y ? ax2 ? 1 上总有两个点

C( x1 , y1 ),D( x2, y2 ) 关于直线 OB : y ?
那么

1 x 对称,线段 CD 的中点为 M ( x0 , y0 ) , 2

? y1 ? ax1 2 ? 1 ? y1 ? y 2 ? a( x1 ? x 2 )(x1 ? x 2 ) , ? 2 ? y 2 ? ax2 ? 1
∴ k CD ?

y1 ? y 2 ? a( x1 ? x2 ) ? 2ax0 x1 ? x2
1 1 1 1 ? ?2, ∴ x0 ? ? , y 0 ? x0 ? ? a 2 2a k OB
2

∵ CD ? OB ,∴ k CD ? ?

∵点 M ( x0, y0 ) 在抛物线内,∴ y0 ? ax0 ? 1 ,即 ? 解得 a ?

1 1 ? a(? ) 2 ? 1 , 2a a

3 。 2

解析几何中的最值与范围问题的解法(二)
一、数形结合化抽象为直观 从数中去认识形, 从形中去认识数, 数量关系的抽象概念和解析式被赋予一定的几 何意义,往往会变得非常直观。 例 1 若直线 y ? k ( x ? 2) ? 4 与曲线 y ? 1 ? 4 ? x 2 有两个不同的交点, 求 k 的取 值范围。 解 : 由 题 意 知 , 直 线 恒 过 点 A(2,4) , 曲 线 y ? 1 ? 4 ? x 2 化 为

x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4( y ? 1) ,它表示的是以(0,1)为圆心,半径为 2 的圆的上半部分,
如图所示, 当直线 l 移到经过 B(?2,1), A(2,4) 的直线 l1 时,斜 率 k 最大,此时对应的值为: k ?

3 ;当直线 l 移到过 4

A(2,4) 与圆相切的直线 l 2 时,斜率 k 最小,此时 k 应满足:

? 1 ? 4 ? 3k k 2 ?1

? 2 解得

k?

5 ? 5 3? ,所以 k 的取值范围是 ? , ? 12, ? 12 4 ?
六、利用参数方程三角化 利用三角代换,化为三角函数问题,再利用三角函数的有界性求解。 例 6 已知点 P( x, y) 在曲线

x2 y2 ? 2 ? 1 上,且 a 2 ? b 2 ? 3 ,求 x ? y 的最小值. 2 a b

解:设 x ? a cost , y ? b sin t , (0 ? t ? 2? ) , 则 x ? y ? a cost ? b sin t ? 因此,当 a 2 ? b 2 ?

a 2 ? b 2 cos(t ? ? )

3, cos(t ? ? ) ? ?1 时, x ? y 取得最小值 ? 3

十、建立目标函数,运用求函数最值或值域的方法求解 例 10 已知椭圆 C :

3 1 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 经过点 M (1, ) ,其离心率为 。 2 2 2 a b 1 ) 与椭圆 C 相交于 A、B 两点,以线段 OA 、OB 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l : y ? kx ? m( k ?

为邻边做平行四边形 OAPB ,顶点 P 恰好在椭圆 C 上,O 为坐标原点,求 OP 的取值 范围. 解:(1)椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1。 4 3

(2)由 ? x 2

? y ? kx ? m ? ,消去 y 化简整理得: (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8kmx? 4m 2 ? 12 ? 0 y2 ? ? 1 ? 3 ?4

? ? 64k 2 m2 ? 4(3 ? 4k 2 )(4m 2 ? 12) ? 48(3 ? 4k 2 ? m2 ) ? 0 ①
设 A、B、P 点的坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x2, y2 ), ( x0 , y0 ) , 则 x0 ? x1 ? x 2 ? ?

8km 6m , y 0 ? y1 ? y 2 ? k ( x1 ? x 2 ) ? 2m ? 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2
2 2

x y 由于点 P 在椭圆 C 上,所以 0 ? 0 ? 1 . 4 3
从而

16k 2 m 2 12m 2 ? ? 1 ,化简得 4m 2 ? 3 ? 4k 2 ,经检验满足①式. (3 ? 4k 2 ) 2 (3 ? 4k 2 ) 2

OP ? x0 ? y 0 ? ?

2

2

64k 2 m 2 36m 2 ? (3 ? 4k 2 ) 2 (3 ? 4k 2 ) 2

4m 2 16k 2 ? 9 16k 2 ? 9 3 ? ? 4? 2 2 2 2 (3 ? 4k ) 3 ? 4k 4k ? 3
1 3 3 13 2 ? 1 ,故 3 ? OP ? ,得 3 ? 4k ? 3 ? 4 ,有 ? . 2 2 4 4k ? 3 2

因为 0 ? k ?

综上,所求 OP 的取值范围是 ? 3 ,

? ?

13 ? ?. 2 ?

函数思想是求参数范围的一把利剑, 寻求目标参数的函数关系式, 是解决这类问题 的灵魂。


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