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2019年人教版选修2-2高中数学第1章导数及其应用1.6优质课课件_图文

?1.6 微积分基本定理 ? ? 1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义. 2.会利用微积分基本定理求函数的定积分. ? ? ? 已知函数f(x)=2x+1,F(x)=x2+x, [问题1] f(x)和F(x)有何关系? [提示1] F′(x)=f(x). [问题 2] [提示2] ?2 利用定积分的几何意义求? ?0 (2x+1)dx 的值. ?2 由定积分的几何意义得? ?0 (2x+1)dx=6. ? [问题3] 求F(2)-F(0)的值. ? ? [提示3] F(2)-F(0)=4+2=6. [问题4] 你得出什么结论? [提示4] ?2 ? f(x)dx=F(2)-F(0),且F′(x)=f(x). ?0 微积分基本定理 连续 函数,并且 内 如果f(x)是区间[a,b]上的_______ 容 F′(x)=_______ f(x) ,那么 f(x)dx=____________ F(b)-F(a) a ?b ? ? ? 符 号 ?b ? ? ?a ?b F(b)-F(a) f?x?dx=F?x?? = __________ a ? 定积分和曲边梯形面积的关系 设曲边梯形在x轴上方的面积为S上,在x轴下方的面积为S 下. 则 (1)当曲边梯形的面积在x轴上方时,如图①,则 ?b ? ? ?a f(x)dx= S上 ______ . (2)当曲边梯形的面积在 x 轴下方时,如图②,则 f(x)dx= ?b ? ? ?a -S下 . __________ (3)当曲边梯形的面积在 x 轴上方、x 轴下方均存在时,如 ?b ? ? ?a ?b ? ? ?a S上-S下 ,若 S 图③,则 f(x)dx = __________ 0 ________. 上 =S 下 ,则 f(x)dx = 对微积分基本定理的理解 (1)微积分基本定理表明,计算定积分 ?b ? ? ?a f(x)dx的关键是找 到满足F′(x)=f(x)的函数F(x),通常,我们可以运用基本初等 函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F(x). (2)牛顿-莱布尼兹公式指出了求连续函数定积分的一般 方法,把求定积分的问题,转化成求原函数(F(x)叫做f(x)的原 函数)的问题,揭示了导数和定积分之间的内在联系,同时也 提供计算定积分的一种有效方法. 1.下列值等于 1 的是( A. xdx C. 1dx 0 ?1 ? ? ? ?1 ? ? ?0 ) B. (x+1)dx 1 D. 2dx 0 ?1 ? ? ? ?1 ? ? ?0 解析: ?1 ? ? ?0 ?1 ? ? ?0 1 ?1 2 ? 1 21 1 ? 3 ? 1 ? ? ? | | xdx=2x 0=2;? (x+1)dx= 2x +x 0=2; 0 ? ? ?1 1 1 1 ? 1 1 ? | 1dx=x 0=1;? 2dx=2x| 0=2. 0 答案: C 2. A.π (1+cos x)dx 等于( B.2 ) C.π-2 D.π+2 解析: ? π?? ?π π? ? π =?2+sin2?-?-2+sin?-2??=π+2. ? ?? ? ? ? 答案: D 1? 3.若 2x+x ?dx=3+ln 2,则a的值是________. ? ? 解析: ?a? ? ? ? ? ?a? ? ? ? ?1 1? 2x+x ?dx=(x2+ln x)| a 1 1? ? =(a2+ln a)-(1+ln 1)=(a2-1)+ln a=3+ln 2. ?a2-1=3, ? ∴?a>1, ?a=2, ? ∴a=2. 答案: 2 4.已知 2 ? ?x , f(x)=? ? ?cos x-1, ?1 x≤0, 试求? f(x)dx. ? - 1 x>0, 解析: ?1 ?1 ? f(x)dx=?0-1x2dx+? ? (cos ? ? ?-1 0 x-1)dx 1 30 2 1 =3x | -1+(sin x-x)| 0=sin 1-3. 合作探究 课堂互动 求简单函数的定积分 ? ?2 ? ? ?0 求下列定积分: (1) (3x2+x-1)dx; (2) (cos x+sin x)dx; (3) ?0 ? ? ?-π ?2π ? ? ?π (ex-cos x)dx. [思路点拨] 先求被积函数的原函数,然后利用 微积分基本定理求解. ? ? 3 1 2 ? (1)∵?x +2x -x?′=3x2+x-1, ? ? ∴ (3x 0 ?2 ? ? ? 2 ? 3 1 2 ? +x-1)dx=?x +2x -x?| 2 0 ? ? ? 3 1 2 ? 2 -2?-0=8. =?2 +2· ? ? (2)∵(sin x-cos x)′=cos x+sin x, ∴ (cos x+sin x)dx=(sin x-cos x)| 2π π =(sin 2π-cos 2π)-(sin π-cos π) =(0-1)-[0-(-1)] =-1-1=-2. ?2π ? ? ?π (3)∵(ex-sin x)′=ex-cos x, ∴ ?0 ? ? ? -π (ex-cos x)dx=(ex-sin x)| 0 -π - =(e0-sin 0)-[e π-sin(-π)] =1-e-π. ? ? 求简单的定积分关键注意两点: (1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则,正 确求解被积函数的原函数,当原函数不易求时,可将 被积函数适当变形后再求解; (2)精确定位积分区间,分清积分下限与积分上 限. ? 1.求下列定积分. (1) (2) (3) ?1 ? xndx; ?0 ?3 ? ? ?2 ?3? ? ? ? ?1? (2-x2)(3-x)dx; 1? 2 x+ ? 6xdx. x? ? ?1

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